Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos · 04-12-09

Αρχική Δημοσίευση από μακροΠΟΥΛΟΣ:
limημ^2χ-χ^4/χ οταν το χ τηνει στο 0

ετσι οπως τα γραφεις μην περιμενεις και πολλα

ledzeppelinick · 04-12-09

Αρχική Δημοσίευση από μακροΠΟΥΛΟΣ:
limημ^2χ-χ^4/χ οταν το χ τηνει στο 0

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\eta \mu 2x - x^4}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\eta \mu 2x}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^4}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\eta \mu x\cdot \sigma \upsilon \nu x}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}x^3=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\eta \mu x}{x}\times \lim_{x\rightarrow 0}\sigma \upsilon \nu x-0=2\times 1\times 1=2$

jimmy007 · 04-12-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Αρχικά θα δείξουμε ότι $f:1-1$ με απαγωγή.

Έστω $f({x}_{1})=f({x}_{2})$ με ${x}_{1},{x}_{2}in R$ και ${x}_{1}neq {x}_{2}$

Όμως $f$ συνεχείς και παραγωγίσιμη στο $R$ οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle δηλαδή υπάρχει ${x}_{0}in ({x}_{1},{x}_{2})$ τέτοιο ώστε

$f '({x}_{0})=0$ άτοπο.

Θα αποδείξουμε ότι αν $f$ συνεχής συνάρτηση και $1-1$ τότε η f είναι γνησίως μονότονη.

Πάλι με απαγωγή θεωρούμε ότι η $f$ δεν είναι γνησίως μονότονη.

Τότε υπάρχουν ${x}_{1},{x}_{2}$ και ${x}_{3}$ με ${x}_{1}<{x}_{2}<{x}_{3}$ με $f({x}_{1})>f({x}_{2})$ και $f({x}_{2})<f({x}_{3})$

Σύμφωνα με το Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αν $eta in R$ με:

$f({x}_{2})<eta<min({f({x}_{1}),f({x}_{3})}) **$

τότε υπάρχει $alpha in ({x}_{1},{x}_{2})$ και $beta in ({x}_{2},{x}_{3})$

τέτοια ώστε $f(alpha)=f(beta)=eta$ και επειδή $f :1-1$ έπεται ότι

$alpha=beta$ που είναι πάλι άτοπο διότι

${x}_{1}<alpha<{x}_{2}<beta<{x}_{3}$

$** min({alpha,beta})= frac{alpha +beta -left|alpha -beta right|}{2}$

και $max({alpha,beta})= frac{alpha +beta +left|alpha -beta right|}{2}$

Σωστός ο παίκτης....:no1::no1:

g!orgos · 04-12-09

Αρχική Δημοσίευση από g!orgos:
Αφου f ' (x) διαφορη του μηδενος τότε f ' (x ) > 0 ή f ' (x) < 0 Αρα f γνησιως αυξουσα ή f γνησιως φθινουσα!

Αυτο που κολλαει???!!

jimmy007 · 04-12-09

Αφου f ' (x) διαφορη του μηδενος τότε f ' (x ) > 0 ή f ' (x) < 0 Αρα f γνησιως αυξουσα ή f γνησιως φθινουσα!

Αυτό ισχύει μόνο αν η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής συνάρτηση για το οποίο δεν έχουμε επαρκείς πληροφορίες..

Metal-Militiaman · 04-12-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Αυτό ισχύει μόνο αν η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής συνάρτηση για το οποίο δεν έχουμε επαρκείς πληροφορίες..

Άμα ήξερε το θεώρημα Darboux(ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου) θα ήταν σωστός συλλογισμός.Δυστυχώς όμως το συγκεκριμένο θεώρημα είναι εκτός ύλης.

jimmy007 · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Άμα ήξερε το θεώρημα Darboux(ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου) θα ήταν σωστός συλλογισμός.Δυστυχώς όμως το συγκεκριμένο θεώρημα είναι εκτός ύλης.

Μου λες λίγο τι λέει ή που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο??

blacksheep · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Άμα ήξερε το θεώρημα Darboux(ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου) θα ήταν σωστός συλλογισμός.Δυστυχώς όμως το συγκεκριμένο θεώρημα είναι εκτός ύλης.

ακριβως αυτο ρωτησα σημερα και μου ειπαν οτι ειναι εκτος υλης.
Και επειτα εκανα το δικο σου τροπο.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Μου λες λίγο τι λέει ή που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο??

διδασκεται στο πανεπιστημιο.Δεν εχει σχεση με τη λυκειακη θεωρια.

g!orgos · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από blacksheep:
ακριβως αυτο ρωτησα σημερα και μου ειπαν οτι ειναι εκτος υλης.
Και επειτα εκανα το δικο σου τροπο.
-----------------------------------------

διδασκεται στο πανεπιστημιο.Δεν εχει σχεση με τη λυκειακη θεωρια.

Aρα δεν ισχυει αυτο που λεγαμε οτι η f ' ειναι συνεχης...

blacksheep · 05-12-09

ισχυει αλλα δεν το ξερουμε το θεωρημα.

g!orgos · 05-12-09

Τοτε αν ισχυει απο συνεπειες του Bolzano η f ' διατηρει προσημο.. Αρα θα ειναι ειτε αρνητικη ειτε θετικη οποτε η f ειναι γνησιως μονοτονη...

jimmy007 · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από blacksheep:
ισχυει αλλα δεν το ξερουμε το θεωρημα.

Οπότε δεν μπορείς να υποστηρίξεις ότι η f' είναι συνεχής παρόλο που ισχύει.

blacksheep · 05-12-09

Ναι ο μονος τροπος ειναι συδυασμος Θετ και Rolle

g!orgos · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από blacksheep:
Ναι ο μονος τροπος ειναι συδυασμος Θετ και Rolle

Εγω μπερδευτηκα... Απο την εκφωνηση προκυπτει ή δεν προκυπτει οτι η f ' ειναι συνεχης..??

jimmy007 · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από g!orgos:
Εγω μπερδευτηκα... Απο την εκφωνηση προκυπτει ή δεν προκυπτει οτι η f ' ειναι συνεχης..??

Με αυτά που διδάσκεσαι μέχρι το τέλος του Λυκείου όχι.

g!orgos · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Με αυτά που διδάσκεσαι μέχρι το τέλος του Λυκείου όχι.

Οκ!!

blacksheep · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Με αυτά που διδάσκεσαι μέχρι το τέλος του Λυκείου όχι.

η καλυτερη απαντηση που εχω ακουσει. :lol:

jimmy007 · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από blacksheep:
η καλυτερη απαντηση που εχω ακουσει.

"Κεντάω" σήμερα.:no1: :lol:

Metal-Militiaman · 05-12-09

Επειδή λοιπόν βλέπω πολλά ποστ και απ ότι βλέπω σας ενδιαφέρει το συγκεκριμένο θεώρημα σας παραθέτω τις προυποθέσεις και την απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος.Το συγκεκριμένο θεώρημα αποδεικνύεται με γνώσεις Λυκείου απλά δεν εμπεριέχεται στο σχολικό βιβλίο.

Θεώρημα Darboux ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου:

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $[a,b]$ ,τότε (η παράγωγος της) $f '$ παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ $f '(a)$ και $f '(b)$ , δηλαδή το $f '([a,b])$ είναι διάστημα.

Απόδειξη

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ${f '}_{+}(α)>\lambda > {f '}_{-}(b)$ . Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει $c\in (a,b)$ τέτοιο, ώστε $f '(c)=\lambda$ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-\lambda x$ ,τότε η $g$ είναι συνεχής στο $[a,b]$ οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Μεγίστου-Ελαχίστου(Extreme Value Theorem) η $g$ παίρνει μια μέγιστη τιμή.Θα αποδείξουμε ότι η $f$ δεν παίρνει μέγιστη τιμή ούτε στο $a$ ούτε στο $b$ .

H g είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $[a,b]$ με $g '(x)=f '(x)-\lambda$ .
Οπότε, ${g'}_{+}(α)<0 < {g '}_{-}(b)$ .

Eπειδή όμως $\lim_{x\rightarrow {a}^{+}}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}>0 \Rightarrow \frac{g(x)-g(a)}{x-a}>0$ και επειδή $x\rightarrow {a}^{+} \Rightarrow g(x)>g(a)$ σε μια περιοχή του $a$ . Άρα στο $a$ η $g$ δεν παρουσιάζει μέγιστο.

Eπίσης , $\lim_{x\rightarrow {b}^{-}}\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0 \Rightarrow \frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0$ επειδή $x\rightarrow {b}^{-} \Rightarrow g(x)>g(b)$ .Άρα ούτε στο $b$ παρουσίαζει μέγιστο.

Συνεπώς υπάρχει $c\in (a,b)$ στο οποίο η $g$ παίρνει τη μέγιστη τιμή της.Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat $g '(c)=0$

Τελικά προκύπτει $g '(c)=0 \Rightarrow f '(c)=\lambda$ .

Δηλαδή για έναν αριθμό $\lambda$ μεταξύ των $f '(a)$ και $f '(b)$ υπάρχει $c\in (a.b)$ τέτοιο ώστε

$f '(c)=\lambda$ $\bullet$

Όπως βλέπεται δεν υπόθηκε πουθενά οτί η παράγωγος είναι συνεχής απλά αποδείχθηκε οτί ισχύει το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών για την παράγωγο συνάρτηση ανεξαρτήτως συνέχειας.

Ένας διαφορετικός τρόπος διατύπωσεις του παραπάνω θεωρήματος είναι:

Αν $f:I\rightarrow R$ είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ανοικτό $I$ , τότε για $a,b\in$ I με $f '(a)\cdot f'(b)<0$ , συνεπάγεται ότι υπάρχει ρίζα της (παραγώγου συνάρτησης) $f '$ στο $(a,b)$ ,δηλαδή υπάρχει $c\in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f '(c)=0$ .Γι' αυτόν το λόγο το θεώρημα Darboux ονομάζεται και θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου.

Όσον αφορα την άσκηση του jimmy007

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Αν f παραγωγίσιμη στο R και f'(x) διάφορη του μηδέν για κάθε x Ε R να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.

o g!οrgos είπε

Αρχική Δημοσίευση από g!orgos:
Αφου f ' (x) διαφορη του μηδενος τότε f ' (x ) > 0 ή f ' (x) < 0 Αρα f γνησιως αυξουσα ή f γνησιως φθινουσα!

Και θα ταν σωστός αν ήξερε το παραπάνω θεώρημα.

Έστω ότι δεν ισχύει, δηλαδή η παράγωγος συνάρτηση $f '$ δεν είναι ούτε αυστηρά θετική ούτε αυστηρά αρνητική.Τότε υπάρχουν $a,b\in R$ τέτοια ώστε $f '(a)\cdot f '(b)<0$ σύμφωνα όμως με το παραπάνω θεώρημα υπάρχει $c\in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f '(c)=0$ , άτοπο απ' την υπόθεση.

Δηλαδή αν $f '(x)\neq 0$ για κάθε $x\in \Delta$ (όπου $\Delta$ το διάστημα στο οποίο ορίζεται η $f '$ ) η παράγωγος συνάρτηση $f '$ διατηρεί σταθερό πρόσημo ανεξαρτήτως συνέχειας!

Άσχετο: Πέρσυ όταν ήμουν στην ηλικία σας(γ λυκείου) είχα ποστάρει την απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος εδώ https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=&page=3

Το thread λεγόταν ''μια περίεργη άσκηση'' και ο χρήστης είχε τη συγκεκριμένη απορία:
''αν f μια φορα παραγωγισιμη στο Δ
και η f '(x) δεν μηδενιζεται ,να δειξετε οτι η f ειναι γνησιως μονοτονη....να σημειωθει οτι δεν γνωριζετε αν η f '(x) ειναι συνεχης για να πειτε οτι διατηρει προσημο!!!!''

blacksheep · 05-12-09

Ευχαριστουμε πολυ.:thanks:

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος