Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

riemann80 · 16 Απριλίου 2009 στις 12:35

ναι συμμετεχουν πολλα γνωστα ονοματα.απο μαθηματικης αποψης το mathematica ειναι πολυ μπροστα παντως.το οτι γινεται της ποπης δεν ειναι απαραιτητα κακο..

εδω κολαει και το γνωστο ανεκδοτο:

οταν ο θεος ηθελε να φτιαξει τον κοσμο εφτιαξε εναν μαθηματικο.οταν θελησε να τον χαλασει εφτιαξε αλλον εναν!

καλο πασχα!

manos66 · 16 Απριλίου 2009 στις 18:16

Παιδιά, πρέπει κάποιος να τη λύσει. :bye:

lostG · 16 Απριλίου 2009 στις 19:31

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Παιδιά, πρέπει κάποιος να τη λύσει.

Μάνο σε παρακαλώ πάρε την άσκηση πάνω σου.Με δυσκολεύει αρκετά το latex.
Το βλέπω δύσκολο να ξαναπροτείνω άσκηση στα μαθηματικά

Undead · 17 Απριλίου 2009 στις 10:53

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Να υπολογιστεί το: $intfrac{1}{left(1+x^2right)^2}dx$

Στέλιος

$I=\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\frac{x}{x^{2}+1}-\int x d\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{x}{x^{2}+1}+\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\frac{x}{x^{2}+1}+\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx-\int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx \Rightarrow$
$\int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx=\frac{1}{2}[\frac{x}{x^{2}+1}+\arctan x]+C$

ΗΣΙΟΔΟΣ · 17 Απριλίου 2009 στις 12:11

Φίλε Γιώργο μπορείς να επιβεβαιώσεις την ορθότητα της άσκησης;
Για παράδειγμα:
g(x) = f(x) + x/2 -1
Από g(1) = 0 βρίσκουμε f(1) = 1/2
Από g(2) = 3 βρίσκουμε f(2) = 3
Η αρχική σχέση για x_1 = 2 και x_2 = 1 δίνει 5 < 1 !

lostG · 17 Απριλίου 2009 στις 13:38

Ναι αλλά γιατί μηδενίζεις την g(x) δύο φορές?
Είσαι βέβαιος ότι μπορεί να συμβαίνει αυτό και μάλιστα στα σημεία που παίρνεις αυθαίρετα?

mostel · 17 Απριλίου 2009 στις 14:41

Αρχική Δημοσίευση από giannis:
$I=int frac{1}{1+x^{2}},dx=frac{x}{x^{2}+1}-int x dfrac{1}{x^{2}+1}=frac{x}{x^{2}+1}+int frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}},dx=frac{x}{x^{2}+1}+int frac{1}{1+x^{2}},dx-int frac{1}{(1+x^{2})^{2}},dx Rightarrow$
$int frac{1}{(1+x^{2})^{2}},dx=frac{1}{2}[frac{x}{x^{2}+1}+arctan x]+C$

Γιάννη,

Χρόνια και ζαμάνια !

Πολύ ωραία λύση, αλλά δε ξέρω κάτα πόσο τα παιδιά του λυκείου είναι εξοικειωμένα με τη χρήση του διαφορικού dx και τη μετατροπή του σε άλλη μορφή (στην ουσία είναι απλώς μια παράγωγος, αλλά αυτό δε νομίζω πως διδάσκεται στο λύκειο!)

Στέλιος

ΗΣΙΟΔΟΣ · 17 Απριλίου 2009 στις 15:06

Δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις. Τα δεδομένα χρησιμοποιώ ή κάνω λάθος;

mostel · 17 Απριλίου 2009 στις 15:43

Αρχική Δημοσίευση από ΗΣΙΟΔΟΣ:
Δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις. Τα δεδομένα χρησιμοποιώ ή κάνω λάθος;

Δεν κάνεις κάποιο λάθος.

Αν ισχύει $g(1)=0$ , τότε προκύπτει ότι $f(1)=\frac{1}{2}$

Αντίστοιχα, αν $g(2)=3$ , τότε προκύπτει ότι $f(2) = 3$

Απ' την αρχική σχέση, θα έχουμε πως για κάθε $x_1,x_2$ , θα ισχύει:

$2\left(f(x_1)-f(x_2)\right)<|x_1-x_2|$

Αν όπου $x_1$ θέσουμε το $2$ και όπου $x_2$ θέσουμε το $1$ , θα έχουμε:

$2\left(f(2)-f(1)\right)<|2-1|$

$2\left(3-\frac{1}{2}\right)<1$

$5<1$ !

Άτοπο.

Φιλικά,

Στέλιος

lostG · 17 Απριλίου 2009 στις 17:56

Είναι μία άσκηση που δεν την έχω ελέγξει επαρκώς. Επί τού παρόντος έχω πολύ δουλειά και ζητώ συγγνώμη γιά την...αποχή.
Εύχομαι καλή Ανάσταση σε όλους.

lostG · 18 Απριλίου 2009 στις 12:22

Επειδή δεν βλέπω κουμπί επεξεργασίας στο μήνυμα #1, δίνω την άσκηση ξανά που τώρα πιστεύω ότι είναι διορθωμένη."Όποιος πιστεύει ότι είναι αλάνθαστος πρώτος τον λίθον βαλέτω"
Να πω εδώ ότι η άσκηση δεν είναι δική μου αλλά από κάποιο φροντιστήριο στο οποίο είχα δουλέψει παλιότερα και επειδή είχε λάθος στην εκφώνηση η ομάδα των μαθηματικων εκεί, τρέχω τώρα εγώ να διορθώσω τις..μαμακίες τους.Θα σας δώσω το link εν ευθέτω χρόνω αφού όμως πρώτα την προσπαθήσουν τα παιδιά.
Και πάλι καλό Πάσχα.
==========================================
Έστω συνάρτηση f : R-->R παραγωγίσιμη με $2(f({x}_{1})-f({x}_{2})) < \left|{x}_{1} -{x}_{2}\right|$ γιά κάθε x1, x2 $\in R$ με ${x}_{1} \neq {x}_{2}$ και $\int_{0}^{3}f(t)dt=\frac{11}{4}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $F(x)= \int_{0}^{x}f(t)dt + \frac{{x}^{2}}{4}-x$

i) Να δείξετε ότι η F είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε την F'.

ii) Να μελετήσετε την F ως προς την κυρτότητα.

iii) Έστω g: R-->R με g(R)=(R) όπου g(x)=F'(x). Να δείξετε ότι η g αντιστρέφεται και ότι η ${g}^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

iv) Αν η γραφική παράσταση της g(x) διέρχεται από τα σημεία Α(0,1) και Β(3,2) να βρείτε το εμβαδόν τού χωρίου

που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της ${g}^{-1}$ , τον άξονα x'x και τις ευθείες x=1 και x=2.
==========================================

@ΗΣΙΟΔΟΣ
Γιατί στάθηκες μόνο στο 25% της άσκησης? Το λέω αυτό γιατί εγώ άμα δω ότι ένας συνάδελφος έχει λάθος στην εκφώνηση, του στέλνω προσωπικό μήνυμα γιά να το διορθώσει.Ακριβώς γιά να μη βλέπουν δημόσια οι μαθητές και απογοητεύονται τις τυχόν διενέξεις των καθηγητών ειδικά ένα μήνα πριν τις εξετάσεις.
Και το έχω κάνει κάμποσες φορές.

Καί γιά να ευθυμήσουμε λιγάκι.
Όλοι οι δρόμοι οδηγούν εκεί!!!

kvgreco · 18 Απριλίου 2009 στις 15:30

Αρχική Δημοσίευση από giannis:
$I=int frac{1}{1+x^{2}},dx=frac{x}{x^{2}+1}-int x dfrac{1}{x^{2}+1}=frac{x}{x^{2}+1}+int frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}},dx=frac{x}{x^{2}+1}+int frac{1}{1+x^{2}},dx-int frac{1}{(1+x^{2})^{2}},dx Rightarrow$
$int frac{1}{(1+x^{2})^{2}},dx=frac{1}{2}[frac{x}{x^{2}+1}+arctan x]+C$

Από το $d\frac{1}{x^{2}+1}$ δεν προκύπτει και ένα 2 ή κάνω λάθος?

mostel · 18 Απριλίου 2009 στις 16:03

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Από το $dfrac{1}{x^{2}+1}$ δεν προκύπτει και ένα 2 ή κάνω λάθος?

Πάρε την παράγωγο (αυτό είναι ουσιαστικά το διαφορικό d, πολύ χοντρικά) και δες πόσο κάνει

kvgreco · 18 Απριλίου 2009 στις 16:14

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Πάρε την παράγωγο (αυτό είναι ουσιαστικά το διαφορικό d, πολύ χοντρικά) και δες πόσο κάνει

1. Πιστεύω ότι την έχω καταλάβει την έννοια του διαφορικού γενικώς και όχι μόνο την έννοια του dx αλλά όταν παραγωγίσουμε δεν βγαίνει ένα 2 στον αριθμητη? Η παραγωγος του χ^2 ?

2. Και μιά ερώτηση ακόμη. Στο συμβολΙσμό γιά την παράγωγο(του Leibnitz νομίζω δεν ήταν ιδέα?) μπορώ να χειριστώ τα διαφορικά σαν ποσότητες που υπακούουν στον συνήθη λογισμό των πράξεων?Να κάνω δηλαδή χιαστί έτσι? df/dx=f '=>df=f'dx ?
Ο μαθηματικός στο φροντιστήριο μας είπε ότι δεν είναι πρέπον.(Ακριβώς αυτη τη λέξη είπε).

3. Καί ένα τελευταίο

Η παράγωγος του τοξημχ είναι η 1/τετραγωνική ρίζα του 1-χ^2 ? Και ποιά ρίζα με το + ή με το - ?

4.Ε δεν παλεύομαι.Ένα-ένα μούρχονται.Το dx μπορεί να είναι αρνητικό μέσα στα ολοκληρώματα?Γενικά είναι "ποσότητα" μονίμως θετική?

Undead · 18 Απριλίου 2009 στις 19:31

1)Ως διαφορικό μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης ορίζεται η παράσταση
$df(x)=f^{\prime}(x)dx$ ,π.χ. στα ολοκληρώματα όταν θέσουμε
$e^{x}=t^{2}$ τότε ισχύει $de^{x}=dt^{2}\Rightarrow (e^{x})^{\prime}dx=(t^{2})^{\prime}dt\Rightarrow e^{x}dx=2tdt$

3)Η παράγωγος του τόξου ημιτόνου όπως πολύ σωστά ανέφερες είναι $(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
και αντιστίχος έχουμε $(\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , με x ανήκει σε κατάλληλο διάστημα

4) Το dx είναι παράσταση και δεν έχει νόημα να μιλάμε για πρόσημο

Φιλικά
Γιάννης

riemann80 · 18 Απριλίου 2009 στις 19:37

το dx συμβολιζει την απειροελαχιστη μετα βολη της ανεξαρτητης μεταβλητης χ.το συμβολο του leibniz,dy/dx συμβολιζει την απειροελαχιστη μετα βολη της y ως προς τη μεταβλητη χ.

ο κανονας της αλυσιδας μας επιτρεπει να μεταχειριζομαστε το συμβολο dy/dx ως "κλασμα" σε ορισμενες περιπτωσεις.

δεν εχει νοημα επομενως ηερωτηση για το προσημο.ειναι σα να ρωτας αν στην εκφραση f(x) το συμβολο f μπορει να ειναι αρνητικο.

επισης η εκφραση που γραφεις df/dx=f '=>df=f'dx ειναι απολυτως σωστη και τυχαινει να αναγνωριζουμε σ αυτον μια ιδιοτητα των κλασματων.

θα μπορουσα να σε ρωτησω αν η σχεση (df/dx) dx=df ειναι σωστη.τι θα ελεγες?

kvgreco · 18 Απριλίου 2009 στις 19:39

Ο καθηγητής στο φροντιστήριο μας είπε ότι το dx θεωρείται πάντα θετικό.Αν το θεωρούσμε αρνητικό τότε ο ορισμός του εμβαδού ως ολοκλήρωμα μιάς συνάρτησης >=0 δεν θα έδινε εμβαδόν.
Το dx έχει την έννοια μιάς ποσότητας που τείνει στο μηδέν.Και αυτό όπως ξέρουμε από τα όρια μπορείνα γίνει είτε μέσω θετικών είτε μέσω αρνητικών τιμών.Προσωπικά ασπάζομαι τη θέση του καθηγητή μου γιατί κατάφερε με κάποια τρυκ να με πείσει.
Αλλά τι λέμε τώρα!Μπήκα στο mathematica και είδα γνωστά ονόματα μαθηματικών να σκοτώνονται γιά τις αντίστροφες!

edit:

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
θα μπορουσα να σε ρωτησω αν η σχεση (df/dx) dx=df ειναι σωστη.τι θα ελεγες?

Γιά σωστή την κόβω.Αυτό επιβεβαιώνει ότι το dx είναι ποσότητα που τείνει στο μηδέν άρα δεν μπορεί να έχει ότι πρόσημο γουστάρει που λέει πιό κάτω ο Στέλιος.
Κύριε Χρήστο δεν μίλησα γιά το σύμβολο d αλλά γιά το dx ενώ εσείς μού αντιστοιχίσατε νοηματικά το σύμβολο f της συνάρτησης καί όχι τη τιμή f(x).
Δεν θέλω να κάνω τον έξυπνο αλλά κάποτε είχα διαβάσει γιά τους τελεστές κάπου.Το σύμβολο d όπως και το σύμβολο f της συνάρτησης είναι τελεστές που υπαγορεύουν ότι πρέπει να γίνει μιά διαδικασία.Μιά μεταβολή στην ανεξάρτητη μεταβλητή(dx) ή η εύρεση μιάς τιμής της συνάρτησης f(x).
Ο ίδιος ο συμβολισμός του Leibnitz (d/dx) είναι ένας τελεστής που δηλώνει την παραγώγιση.
Εκεί είχα δεί και ένα άλλο τελεστή σαν ανάποδο Δ αλλά δεν ξέρω τι σημαίνει αυτό.
Ελπίζω να μην με παρεξηγήσετε.
Καλή Ανάσταση.

Undead · 18 Απριλίου 2009 στις 19:40

Λύστε στο $\mathbb{R}$ την εξίσωση

$\sin^{x^{2}}\frac{\pi}{12} \cdot \cos ^{x}\frac{\pi}{12}+\sin^{x}\frac{\pi}{12} \cdot \cos ^{x^{2}}\frac{\pi}{12}=4^{-x}$

mostel · 18 Απριλίου 2009 στις 19:45

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
1. Πιστεύω ότι την έχω καταλάβει την έννοια του διαφορικού γενικώς και όχι μόνο την έννοια του dx αλλά όταν παραγωγίσουμε δεν βγαίνει ένα 2 στον αριθμητη? Η παραγωγος του χ^2 ?

2. Και μιά ερώτηση ακόμη. Στο συμβολΙσμό γιά την παράγωγο(του Leibnitz νομίζω δεν ήταν ιδέα?) μπορώ να χειριστώ τα διαφορικά σαν ποσότητες που υπακούουν στον συνήθη λογισμό των πράξεων?Να κάνω δηλαδή χιαστί έτσι? df/dx=f '=>df=f'dx ?
Ο μαθηματικός στο φροντιστήριο μας είπε ότι δεν είναι πρέπον.(Ακριβώς αυτη τη λέξη είπε).

3. Καί ένα τελευταίο
Η παράγωγος του τοξημχ είναι η 1/τετραγωνική ρίζα του 1-χ^2 ? Και ποιά ρίζα με το + ή με το - ?

4.Ε δεν παλεύομαι.Ένα-ένα μούρχονται.Το dx μπορεί να είναι αρνητικό μέσα στα ολοκληρώματα?Γενικά είναι "ποσότητα" μονίμως θετική?

1) Δεν έχω χρόνο να κάτσω να δω τη λύση. Για να το λές, έτσι θα 'ναι.

2) Δεν έχεις καταλάβει την έννοια του διαφορικού

. Δεν ισχύει αυτό που γράφεις, είναι προσεγγιστικά ίσο. Αυτό που έγραψες στην ουσία είναι το διαφορικό της συνάρτησης, όχι η παράγωγός της. Στην ουσία δηλαδή μια γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης σε μια περιοχή γύρω από ένα σημείο xo,yo. Τώρα, μπακαλέ, όσο το Δx τείνει στο 0, (δηλαδή η μεταβολή της συνάρτησης), τόσο η σχέση αυτή που έγραψες πιο πάνω, προσεγγίζει τη συνάρτησή μας. Γενικώς, άλλο διαφορικό και άλλο παράγωγος.

3) Λοιπόν. Από τη γνωστή σχέση:

$f'\left(f^{-1}(x)\right)=\frac{1}{f^{-1}'(x)}$

Θα έχουμε:

$(\arcsin x)'=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

4) To dx μπορεί να 'ναι ό,τι γουστάρεις.

Στέλιος
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Ο καθηγητής στο φροντιστήριο μας είπε ότι το dx θεωρείται πάντα θετικό.Αν το θεωρούσμε αρνητικό τότε ο ορισμός του εμβαδού ως ολοκλήρωμα μιάς συνάρτησης >=0 δεν θα έδινε εμβαδόν.
Το dx έχει την έννοια μιάς ποσότητας που τείνει στο μηδέν.Και αυτό όπως ξέρουμε από τα όρια μπορείνα γίνει είτε μέσω θετικών είτε μέσω αρνητικών τιμών.Προσωπικά ασπάζομαι τη θέση του καθηγητή μου γιατί κατάφερε με κάποια τρυκ να με πείσει.
Αλλά τι λέμε τώρα!Μπήκα στο mathematica και είδα γνωστά ονόματα μαθηματικών να σκοτώνονται γιά τις αντίστροφες! τΙ να λέμε κι εμείς τώρα?

Το dx δεν έχει κατασκευαστεί για ολοκληρώματα μόνο...

riemann80 · 18 Απριλίου 2009 στις 20:12

το αναποδο Δ ειναι το λεγομενο αναδελτα (εξ ου και η λεξη ανα-δελτα) και χρσιμοποιειται για συναρτησεις πολλων μεταβλητων.λεγεται και κλιση της συναρτησης και οριζεται ως ο τελεστης που αντιστοιχει καθε συναρτηση στο διανυσμα με συντεταγμενες τις μερικες παραγωγους της f ως προς καθε μεταβλητη.

χοντρικα οι τελεστες ειναι συναρτησεις που παιρνουν για ορισμα οχι αριθμους αλλα συναρτησεις.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος