Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

paganini666 · 07-04-09

Ρε παιδια το 2ο πώς λυνεται!!!!Εχει κατι αιωνες αλυτο....

manos66 · 07-04-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Ρε παιδια το 2ο πώς λυνεται!!!!Εχει κατι αιωνες αλυτο....

θέτω x = 2t και η εξίσωση γίνεται
$4^t + 81^t = 36^t+49^t$
η συνέχεια όπως το πρώτο ...

paganini666 · 07-04-09

wow!να φανταστειτε εχω 3 μαθηματικους να ψαχνονται πανω σαυτο!Βεβαια δεν εδωσα το πρωτο ερωτημα αλλα...εμεις να μαστε καλα!Ευχαριστω πολυ.

george_k214 · 07-04-09

Ακριβώς επειδή και εγώ φοβάμαι τη γεωμετρική λύση μου για το γ ερώτημα,μπορείτε να ποστάρετε και τη δική σας λύση?γιατί βλέπω οτι η συγκεκριμένη ανισότητα παίζει πολύ..(ευχαριστώ εκ των προτέρων).

manos66 · 07-04-09

Έστω 0 < x < 1
Θ.Μ.Τ. στα [0 , x] και [x , 1]
Με τη βοήθεια ότι η f΄ είναι γν. αύξουσα και έπειτα από πράξεις έχουμε :
f (x) < x [f (1) - f (0)] + f (0).

$f (x) \leq x [f (1) - f (0)] + f (0)$
και το "=" ισχύει μόνο για x = 0 ή 1.

$\\ \int_{0}^{1}f (x)dx < \int_{0}^{1}[x [f (1) - f (0)] + f (0)]dx \\ \int_{0}^{1}f (x)dx < \frac{f(0)+f(1)}{2}$

george_k214 · 07-04-09

Σας ευχαριστώ πολύ!

lostG · 09-04-09

Έστω συνάρτηση f : R-->R παραγωγίσιμη με $2(f({x}_{1})-f({x}_{2})) < \left|{x}_{1} -{x}_{2}\right|$ γιά κάθε x1, x2 $\in R$ με ${x}_{1} \neq {x}_{2}$ και $\int_{1}^{2}f(t)dt=2$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $F(x)= \int_{0}^{x}f(t)dt + \frac{{x}^{2}}{4}-x$

i) Να δείξετε ότι η F είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε την F'.

ii) Να μελετήσετε την F ως προς την κυρτότητα.

iii) Έστω g: R-->R με g(R)=(R) όπου g(x)=F'(x). Να δείξετε ότι η g αντιστρέφεται και ότι η ${g}^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

iv) Αν η γραφική παράσταση της g(x) διέρχεται από τα σημεία Α(1,0) και Β(2,3) να βρείτε το εμβαδόν τού χωρίου

που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της ${g}^{-1}$ , τον άξονα x'x και τις ευθείες x=0 και x=3.

theodim · 09-04-09

Για το ιν) ισχυει : g(1) = 0 , g(2) = 3 , g^-1(0) = 1 , g^-1(3) = 2 και
olokl(0->3)g^-1(t)dt = olokl(1->2)g(t)dt ?
εκτος κ αν κάνω λαθος

manos66 · 09-04-09

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R , με f (0) < f'(x) < f (1), για κάθε x πραγματικό.
α) Ν.δ.ο. η f είναι γν. αύξουσα στο R.
β) Ν.δ.ο. η f έχει ακριβώς μια ρίζα η οποία βρίσκεται στο (-1 , 0).
γ) Ν.δ.ο. υπάρχουν x1 , x2 στο (-1 , 1) διαφορετικά μεταξύ τους, τέτοια ώστε
$\frac{f (1)}{f'(x_1)}-\frac{f(-1)}{f'(x_2)}=2$

save · 09-04-09

F'(X)=f(x)+x/2-1

george_k214 · 09-04-09

α)Από θμτ στο [0,1] έχω:υπάρχει ξ1ε(0,1) ώστε f'(ξ1)=f(1)-f(0).Αρα αν θέσω στη δοθέισα σχέση όπου χ το ξ1 έχω οτι f'(ξ1)<f(1)<=>f(1)-f(0)<f(1)<=>f(0)>0.Συνεπώς f'(x)>f(0)>0.Αρα η f γνησίως αύξουσα.

β)Η f είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1-1.Συνεπώς η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μια ρίζα.Από θμτ στο [-1,0] έχω:υπάρχει ξ2ε(-1,0) ώστε f'(ξ2)=f(0)-f(-1).Αν θέσω πάλι στη δοθείσα σχέση όπου χ το ξ2 έχω οτι f'(ξ2)>f(0)<=>f(0)-f(-1)>f(0)<=>f(-1)<0.Από bolzano στο [-1,0](και σε συνδιασμό με το οτι η f είναι 1-1) προκύπτει το ζητούμενο.

γ)εστω χο η ρίζα του παραπάνω ερωτήματος.Από θμτ στο [-1,χ0] έχω:υπάρχει χ2ε(-1,χο)υποσύνολο του (-1,1) ώστε f'(χ2)=f(χ0)-f(-1)/χ0+1.Από θμτ στο [χ0,1] έχω:υπάρχει χ1ε(χ0,1) ώστε f'(χ1)=f(1)-f(χ0)/1-χ0.Αν τοποθετήσω ση σχέση προς αποδειξη τα παραπάνω f'(χ1) και f'(χ2) θα προκύψει το ζητούμενο(λαμβάνοντας βέβαια υπ'οψιν οτι f(x0)=0)

mazin · 09-04-09

το οτι ι φ και η αντιστροφη της εχουν την ιδια μονοτονιια ειναι εντος??
και αν ναι πως το αποδικν. εφοσον χρειαζεται?
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από mazin:
το οτι ι φ και η αντιστροφη της εχουν την ιδια μονοτονιια ειναι εντος??
και αν ναι πως το αποδικν. εφοσον χρειαζεται?

επισης πως υπολογιζω παραγωγο ολοκληρςματοσ με τα δυο ακρα μεταχλητα(π.χ. χ+1καιχ+2)

paganini666 · 10-04-09

Μονο αυτοι οι δυο αξονες μπορει να ειναι? y=x και y=-x?

kvgreco · 10-04-09

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
γ)εστω χο η ρίζα του παραπάνω ερωτήματος.Από θμτ στο [-1,χ0] έχω:υπάρχει χ2ε(-1,χο)υποσύνολο του (-1,1) ώστε f'(χ2)=f(χ0)-f(-1)/χ0+1.Από θμτ στο [χ0,1] έχω:υπάρχει χ1ε(χ0,1) ώστε f'(χ1)=f(1)-f(χ0)/1-χ0.Αν τοποθετήσω ση σχέση προς αποδειξη τα παραπάνω f'(χ1) και f'(χ2) θα προκύψει το ζητούμενο(λαμβάνοντας βέβαια υπ'οψιν οτι f(x0)=0)

Δεν μπόρεσα να το βγάλω ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφεις.Δεν βγαίνει ίσο με 2.Πώς το έκανες?

rolingstones · 10-04-09

βγαινει φιλε μου οπως το ειπε το παιδι αφου φ(Χ0)=0 δε το παρατηρησες μαλλον αυτο πραγματικα ο george ειναι φοβερος η λυση του ηταν ακριβως αυτη που θελει να δει ο εξεταστης με ενθουσιασες γιωργο μανο μπραβο για την ασκηση σου φοβερη οτι πρεπει για πανελληνιες απο βοηθημα τη βρηκες?

riemann80 · 10-04-09

μια ερωτηση: αν ολοκληρωσω τη δοθεισα απο 0 ως 1 βγαινει οτι οι τιμες της f ειναι απο f(0) ως f(1).τοτε πως γινεται η f να ειναι γνησιως αυξουσα στο R ;

manos66 · 10-04-09

βγαίνει f (0) < f (1) - f (0) < f (1)

manos66 · 10-04-09

Α. Ν.δ.ο. ln(x+1) < x, για κάθε x > 0.
B. Δίνεται η συνάρτηση
$f (x) = \frac{1}{ln(x+1)}-\frac{1}{x}, x > 0$

α. Να υπολογιστούν τα όρια $\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x) , \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)$

β. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

γ. Ν.δ.ο. $\int_{1}^{e}\frac{1}{ln(x+1)}dx < \frac{e+1}{2}$

rolingstones · 10-04-09

της πλακας ειναι μανο λυστην εσυ

Τζίνα · 10-04-09

Α.Έστω η συνάρτηση g(x)=ln(x+1)-x ,x>0
Παραγωγίζουμε ως προς χ,οπότε:
g'(x)= $\frac{1}{x+1}$ -1
Βρίσκουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται μόνο για χ=0,το οποίο απορρίπτεται, γιατί x>0. Άρα η g'(x) διατηρεί πρόσημο.
g'(x)<0<=> $\frac{1}{x+1}$ -1<0<=> $\frac{1}{x+1}$ <1<=>(επειδή x+1>0,πολλαπλασιάζουμε την ανίσωση με x+1)
1<x+1<=>χ>0
Άρα η συνάρτηση g(x) είναι γνησίως φθίνουσα,οπότε: χ>0<=>g(x)< $\lim_{x\rightarrow{0}^{+} }g(x)$ =ln1=0
Άρα ln(x+1)-x<0<=>ln(x+1)<x
B. $\lim_{x\rightarrow+oo }\frac{1}{ln(x+1)}-\frac{1}{x}<img src=$ =0-0=0
$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{1}{ln(x+1)}-\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{x-ln(x+1)}{xln(x+1)}$ =(επειδή το όριο είναι της μορφής $\frac{0}{0}$ και επειδή υπάρχουν τα όρια των παραγώγων αριθμητή και παρανομαστή,εφαρμόζουμε κανόνα de l'hospital) $\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{1-\frac{1}{x+1}}{ln(x+1)+\frac{x}{x+1}}$ =(για τους ίδιους λόγους ξαναεφαρμόζουμε DLH) $\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{\frac{1}{{(x+1)}^{2}}}{\frac{1}{x+1}+\frac{1}{{(x+1)}^{2}}}$ =1

β....(συνεχίζεται!!

)" />" />

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος