Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

bobiras11 · 5 Απριλίου 2009 στις 19:20

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
$f(x)=frac{x^2}{8}$

Το φαντάστηκα, αλλά δεν μπορώ να εντοπίσω το λάθος στις πράξεις μου...
-----------------------------------------
Τι να πω.. να ξέχασα τόσο να κάνω πράξεις?

Εδώ είναι: Eστω z=x+yi, x,yER
|x+(2-y)i|=|2+yi| <=>
$\sqrt{{x}^{2}+4-4y+{y}^{2}}=\sqrt{4+{y}^{2}}$

manos66 · 5 Απριλίου 2009 στις 19:22

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ α ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ
Έστω ότι υπάρχει α πραγματικός ώστε f (α) = 0
Η αρχική σχέση γίνεται :
$\\ f(a+x)=0^.f(x)e^{2ax} \Leftrightarrow f(a+x) = 0$ , για κάθε x πραγματικό ή
f (u) = 0, για κάθε $u \in R$

Τότε f΄(u) = 0, για κάθε $u \in R$
το οποίο είναι άτοπο διότι f ΄(0) = 2.

Άρα $f (x)\neq 0$ , για κάθε $x \in R$

m3Lt3D · 5 Απριλίου 2009 στις 22:35

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Κι εγώ έτσι νομίζω. Απλώς το έβαλα για να δω ποιος θα σκεφτεί να την κάνει... Αλλά ντάξει ο άλλος (bobiras), είναι τραγικά καμένος.. Την έλυσε μέσα σε 15'..

οποιος ξερει πως στο 1/(1+χ^2) θετεις χ=εφυ, του ερχεται αμεσως στο μαυλο η ιδια αντικατασταση για αυτο το ολοκληρωμα... τουλαχιστον κατα την αποψη μου.

Φιλιον_Τερας · 5 Απριλίου 2009 στις 22:46

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Για ποιο λόγο ; Έχει μέσα ολοκλήρωμα αντίστροφης απλώς , που τέτοια γίνονται και στο λύκειο... Ο Μπόμπιρας πχ που 'ναι μαθητής λυκείου το ξεπέταξε χωρίς ουσιαστικά να 'χει καμιά δυσκολία.. Λόγω απροσεξίας το έγραψε το πρώτο...

δεν ειναι ο ρολος τους να λυνουν σπαζοκεφαλιες ομως...

ωραια ειναι παρ'ολα αυτα

riemann80 · 6 Απριλίου 2009 στις 11:27

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
$sin x =frac{(sin x + cos x) - (cos x - sin x)}{2}$

ορίζω:

$sin x + cos x = s$

Άρα η παράσταση γίνεται:

$intfrac{frac{s-s'}{2}}{s}dx=intfrac{s-s'}{2s}dx=ldots$

Στέλιος

δοκιμασε την αντικατασταση u=π/2-χ

rolingstones · 6 Απριλίου 2009 στις 11:31

αυτα τα ολοκληρωματα ειναι τελειως ακυρα για πανελληνιες
-----------------------------------------
bobira ελα λιγο στο τσατ να σου πω για αυτην την ασκηση

rolingstones · 6 Απριλίου 2009 στις 11:41

σιγουρα εχεις?για ξανακοιτα το

mostel · 6 Απριλίου 2009 στις 12:12

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
δοκιμασε την αντικατασταση u=π/2-χ

Τι έχει ο τρόπος λύσης μου ;

bobiras11 · 6 Απριλίου 2009 στις 12:23

Το ξανακοιτάω λοιπόν...
Ναι, έχω απροσδιοριστία 0/0 δεν άλλαξε η άσκηση ευτυχώς

riemann80 · 6 Απριλίου 2009 στις 13:10

τιποτα δεν εχει,ειναι σωστος.απλως εγραψα και εναν αλλο τροπο.

mostel · 6 Απριλίου 2009 στις 14:16

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
τιποτα δεν εχει,ειναι σωστος.απλως εγραψα και εναν αλλο τροπο.

Ah, οκ. Απλώς επειδή έκανες quote σε μένα στην απάντησή σου, νόμιζα ότι έχανα κάπου στη λύση!!

george_k214 · 6 Απριλίου 2009 στις 15:03

Παρα πολύ ωραία ασκηση.Γράφω τη λύση πάρά πολύ συνοπτικά:
α)Bolzano για την g(x)=f^2(x)-f(0)f(1) στο [0,1] και προκύπτει απλά το ζητούμενο
β)για χ=0και χ=1 προφανώς ισχύει.εστω τώρα οτι υπάρχει χο στο (0,1) ωστε f(xo)>f(1)
.Από θμτ στα [0,χο] και [χο,1] προκύπτει οτι υπάρχει ξ1 στο [0,χο] και ξ2 στο [χο,1] ωστε να ισχύει f'(ξ1)=f(xo)-f(0)/xo το οποίο είναι μεγαλύτερο του μηδενός και f'(ξ2)=f(1)-f(xo)/1-xo το οποίο είναι μικρότερο του μηδενος---->άτοπο γιατί επείδη f''(x)>0 η f' είναι γνησίως αύξουσα
γ)το τρίτο ερώτημα μπορώ να το δώ γεωμετρικά(επειδή η f είναι κυρτη και το f(0)+f(1)/2 είναι στην ουσία το εμβαδό του τραπεζίου το οποίο φαίνεται πως είναι μεγαλύτερο από το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τη Cf,χ'χ,χ=1,χ=0...πως το αποδεικνύω ομως διαφορετικά?

kvgreco · 6 Απριλίου 2009 στις 22:34

Όσο γιά το ολοκλήρωμα που προτείνετε $\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$

Θα παρακαλούσα να το ξαναδείτε και να μας δώσετε ολοκληρωμένη λύση γιατί βλέπω ψεγάδι στη λύση mostel αλλά και ο μετασχηματισμός τού riemann80 εμένα τουλάχιστον δεν με βοήθησε.
Παρατηρώ ότι με τον τρόπο που προτείνει ο mostel, δεν αντικαθίσταται το dx από ds.Ενώ έχει αλλάξει η μεταβλητή, το dx παραμένει!
Με την υπόδειξη riemann80 μού φαίνεται ότι απλά γίνεται ανακύκλωση και δεν αλλάζουν και πολλά πράγματα σε σχέση με το αρχικό ολοκλήρωμα.
Μπείτε στον κόπο να το κάνετε ολοκληρωμένα σας παρακαλώ, μήπως και κάτι δεν βλέπω εγώ.

Semfer · 6 Απριλίου 2009 στις 22:47

Σε τετοια ολοκληρωματα συνηθως πιανει η αντικατασταση $u=tan\frac{x}{2}$ (κατι που δεν ειναι στην υλη της γ λυκειου)

Ενας αλλος τροπος που ειδα στο βιβλιο Αναλυση Ι του Θ. Ρασσια ειναι ο εξης:

Θετουμε

$I_1=\int \frac{sinx}{sinx+cosx}dx$ και $I_2=\int \frac{cosx}{sinx+cosx}dx$

Ειναι $I_1+I_2=x+c_1$ και $I_1-I_2=-ln|sinx+cosx|+c_2$

manos66 · 6 Απριλίου 2009 στις 23:09

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Όσο γιά το ολοκλήρωμα που προτείνετε $int frac{sin x}{sin x+cos x}dx$

Θα παρακαλούσα να το ξαναδείτε και να μας δώσετε ολοκληρωμένη λύση γιατί βλέπω ψεγάδι στη λύση mostel αλλά και ο μετασχηματισμός τού riemann80 εμένα τουλάχιστον δεν με βοήθησε.
Παρατηρώ ότι με τον τρόπο που προτείνει ο mostel, δεν αντικαθίσταται το dx από ds.Ενώ έχει αλλάξει η μεταβλητή, το dx παραμένει!
Με την υπόδειξη riemann80 μού φαίνεται ότι απλά γίνεται ανακύκλωση και δεν αλλάζουν και πολλά πράγματα σε σχέση με το αρχικό ολοκλήρωμα.
Μπείτε στον κόπο να το κάνετε ολοκληρωμένα σας παρακαλώ, μήπως και κάτι δεν βλέπω εγώ.

$\\ \int \frac{\eta \mu x}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x}dx = \frac{1}{2}\int \frac{2\eta \mu x}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x}dx = \frac{1}{2}\int \frac{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x +\eta \mu x-\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x}dx \\ = \frac{1}{2}\left( \int dx - \int \frac{\sigma \upsilon \nu x - \eta \mu x}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x}dx \right)= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}ln \left| \eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x\right|+c$

bobiras11 · 6 Απριλίου 2009 στις 23:37

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
$\ int frac{eta mu x}{eta mu x+sigma upsilon nu x}dx = frac{1}{2}int frac{2eta mu x}{eta mu x+sigma upsilon nu x}dx = frac{1}{2}int frac{eta mu x+sigma upsilon nu x +eta mu x-sigma upsilon nu x}{eta mu x+sigma upsilon nu x}dx \ = frac{1}{2}left( int dx - int frac{sigma upsilon nu x - eta mu x}{eta mu x+sigma upsilon nu x}dx right)= frac{1}{2}x - frac{1}{2}ln left| eta mu x+sigma upsilon nu xright|+c$

Πολύ ωραία λύση:thanks:
Αυτό με την αντικατάσταση u=π/2-χ το χα δοκιμάσει και γω. Βοηθάει πολύ στον υπολογισμού ορισμένου με τριγωνομετρική παράσταση, αλλά εδώ κάπου το χάνω με τα I. Άμα το χει βγάλει κάποιος ας το γράψει.

kvgreco · 7 Απριλίου 2009 στις 00:01

Thanks manoss66!

riemann80 · 7 Απριλίου 2009 στις 12:18

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
Ενας αλλος τροπος που ειδα στο βιβλιο Αναλυση Ι του Θ. Ρασσια ειναι ο εξης:

Θετουμε

$I_1=int frac{sinx}{sinx+cosx}dx$ και $I_2=int frac{cosx}{sinx+cosx}dx$

Ειναι $I_1+I_2=x+c_1$ και $I_1-I_2=-ln|sinx+cosx|+c_2$

αυτο ακριβως ειχα και γω υποψιν μου.

manos66 · 7 Απριλίου 2009 στις 13:02

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
Παρα πολύ ωραία ασκηση.Γράφω τη λύση πάρά πολύ συνοπτικά:
α)Bolzano για την g(x)=f^2(x)-f(0)f(1) στο [0,1] και προκύπτει απλά το ζητούμενο
β)για χ=0και χ=1 προφανώς ισχύει.εστω τώρα οτι υπάρχει χο στο (0,1) ωστε f(xo)>f(1)
.Από θμτ στα [0,χο] και [χο,1] προκύπτει οτι υπάρχει ξ1 στο [0,χο] και ξ2 στο [χο,1] ωστε να ισχύει f'(ξ1)=f(xo)-f(0)/xo το οποίο είναι μεγαλύτερο του μηδενός και f'(ξ2)=f(1)-f(xo)/1-xo το οποίο είναι μικρότερο του μηδενος---->άτοπο γιατί επείδη f''(x)>0 η f' είναι γνησίως αύξουσα
γ)το τρίτο ερώτημα μπορώ να το δώ γεωμετρικά(επειδή η f είναι κυρτη και το f(0)+f(1)/2 είναι στην ουσία το εμβαδό του τραπεζίου το οποίο φαίνεται πως είναι μεγαλύτερο από το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τη Cf,χ'χ,χ=1,χ=0...πως το αποδεικνύω ομως διαφορετικά?

Προσωπικά θα δεχόμουν την γεωμετρική λύση σου στο γ.
Φοβάμαι όμως ότι η πλειονότητα δεν θα τη δεχθεί.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος