Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

paganini666 · 7 Απριλίου 2009 στις 13:10

Ρε παιδια το 2ο πώς λυνεται!!!!Εχει κατι αιωνες αλυτο....

manos66 · 7 Απριλίου 2009 στις 13:23

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Ρε παιδια το 2ο πώς λυνεται!!!!Εχει κατι αιωνες αλυτο....

θέτω x = 2t και η εξίσωση γίνεται
$4^t + 81^t = 36^t+49^t$
η συνέχεια όπως το πρώτο ...

paganini666 · 7 Απριλίου 2009 στις 13:55

wow!να φανταστειτε εχω 3 μαθηματικους να ψαχνονται πανω σαυτο!Βεβαια δεν εδωσα το πρωτο ερωτημα αλλα...εμεις να μαστε καλα!Ευχαριστω πολυ.

george_k214 · 7 Απριλίου 2009 στις 14:40

Ακριβώς επειδή και εγώ φοβάμαι τη γεωμετρική λύση μου για το γ ερώτημα,μπορείτε να ποστάρετε και τη δική σας λύση?γιατί βλέπω οτι η συγκεκριμένη ανισότητα παίζει πολύ..(ευχαριστώ εκ των προτέρων).

manos66 · 7 Απριλίου 2009 στις 17:16

Έστω 0 < x < 1
Θ.Μ.Τ. στα [0 , x] και [x , 1]
Με τη βοήθεια ότι η f΄ είναι γν. αύξουσα και έπειτα από πράξεις έχουμε :
f (x) < x [f (1) - f (0)] + f (0).

$f (x) \leq x [f (1) - f (0)] + f (0)$
και το "=" ισχύει μόνο για x = 0 ή 1.

$\\ \int_{0}^{1}f (x)dx < \int_{0}^{1}[x [f (1) - f (0)] + f (0)]dx \\ \int_{0}^{1}f (x)dx < \frac{f(0)+f(1)}{2}$

george_k214 · 7 Απριλίου 2009 στις 18:41

Σας ευχαριστώ πολύ!

lostG · 9 Απριλίου 2009 στις 10:36

Έστω συνάρτηση f : R-->R παραγωγίσιμη με $2(f({x}_{1})-f({x}_{2})) < \left|{x}_{1} -{x}_{2}\right|$ γιά κάθε x1, x2 $\in R$ με ${x}_{1} \neq {x}_{2}$ και $\int_{1}^{2}f(t)dt=2$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $F(x)= \int_{0}^{x}f(t)dt + \frac{{x}^{2}}{4}-x$

i) Να δείξετε ότι η F είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε την F'.

ii) Να μελετήσετε την F ως προς την κυρτότητα.

iii) Έστω g: R-->R με g(R)=(R) όπου g(x)=F'(x). Να δείξετε ότι η g αντιστρέφεται και ότι η ${g}^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

iv) Αν η γραφική παράσταση της g(x) διέρχεται από τα σημεία Α(1,0) και Β(2,3) να βρείτε το εμβαδόν τού χωρίου

που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της ${g}^{-1}$ , τον άξονα x'x και τις ευθείες x=0 και x=3.

theodim · 9 Απριλίου 2009 στις 15:14

Για το ιν) ισχυει : g(1) = 0 , g(2) = 3 , g^-1(0) = 1 , g^-1(3) = 2 και
olokl(0->3)g^-1(t)dt = olokl(1->2)g(t)dt ?
εκτος κ αν κάνω λαθος

manos66 · 9 Απριλίου 2009 στις 17:15

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R , με f (0) < f'(x) < f (1), για κάθε x πραγματικό.
α) Ν.δ.ο. η f είναι γν. αύξουσα στο R.
β) Ν.δ.ο. η f έχει ακριβώς μια ρίζα η οποία βρίσκεται στο (-1 , 0).
γ) Ν.δ.ο. υπάρχουν x1 , x2 στο (-1 , 1) διαφορετικά μεταξύ τους, τέτοια ώστε
$\frac{f (1)}{f'(x_1)}-\frac{f(-1)}{f'(x_2)}=2$

save · 9 Απριλίου 2009 στις 17:52

F'(X)=f(x)+x/2-1

george_k214 · 9 Απριλίου 2009 στις 18:39

α)Από θμτ στο [0,1] έχω:υπάρχει ξ1ε(0,1) ώστε f'(ξ1)=f(1)-f(0).Αρα αν θέσω στη δοθέισα σχέση όπου χ το ξ1 έχω οτι f'(ξ1)<f(1)<=>f(1)-f(0)<f(1)<=>f(0)>0.Συνεπώς f'(x)>f(0)>0.Αρα η f γνησίως αύξουσα.

β)Η f είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1-1.Συνεπώς η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μια ρίζα.Από θμτ στο [-1,0] έχω:υπάρχει ξ2ε(-1,0) ώστε f'(ξ2)=f(0)-f(-1).Αν θέσω πάλι στη δοθείσα σχέση όπου χ το ξ2 έχω οτι f'(ξ2)>f(0)<=>f(0)-f(-1)>f(0)<=>f(-1)<0.Από bolzano στο [-1,0](και σε συνδιασμό με το οτι η f είναι 1-1) προκύπτει το ζητούμενο.

γ)εστω χο η ρίζα του παραπάνω ερωτήματος.Από θμτ στο [-1,χ0] έχω:υπάρχει χ2ε(-1,χο)υποσύνολο του (-1,1) ώστε f'(χ2)=f(χ0)-f(-1)/χ0+1.Από θμτ στο [χ0,1] έχω:υπάρχει χ1ε(χ0,1) ώστε f'(χ1)=f(1)-f(χ0)/1-χ0.Αν τοποθετήσω ση σχέση προς αποδειξη τα παραπάνω f'(χ1) και f'(χ2) θα προκύψει το ζητούμενο(λαμβάνοντας βέβαια υπ'οψιν οτι f(x0)=0)

mazin · 9 Απριλίου 2009 στις 21:16

το οτι ι φ και η αντιστροφη της εχουν την ιδια μονοτονιια ειναι εντος??
και αν ναι πως το αποδικν. εφοσον χρειαζεται?
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από mazin:
το οτι ι φ και η αντιστροφη της εχουν την ιδια μονοτονιια ειναι εντος??
και αν ναι πως το αποδικν. εφοσον χρειαζεται?

επισης πως υπολογιζω παραγωγο ολοκληρςματοσ με τα δυο ακρα μεταχλητα(π.χ. χ+1καιχ+2)

paganini666 · 10 Απριλίου 2009 στις 12:45

Μονο αυτοι οι δυο αξονες μπορει να ειναι? y=x και y=-x?

kvgreco · 10 Απριλίου 2009 στις 15:39

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
γ)εστω χο η ρίζα του παραπάνω ερωτήματος.Από θμτ στο [-1,χ0] έχω:υπάρχει χ2ε(-1,χο)υποσύνολο του (-1,1) ώστε f'(χ2)=f(χ0)-f(-1)/χ0+1.Από θμτ στο [χ0,1] έχω:υπάρχει χ1ε(χ0,1) ώστε f'(χ1)=f(1)-f(χ0)/1-χ0.Αν τοποθετήσω ση σχέση προς αποδειξη τα παραπάνω f'(χ1) και f'(χ2) θα προκύψει το ζητούμενο(λαμβάνοντας βέβαια υπ'οψιν οτι f(x0)=0)

Δεν μπόρεσα να το βγάλω ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφεις.Δεν βγαίνει ίσο με 2.Πώς το έκανες?

rolingstones · 10 Απριλίου 2009 στις 16:04

βγαινει φιλε μου οπως το ειπε το παιδι αφου φ(Χ0)=0 δε το παρατηρησες μαλλον αυτο πραγματικα ο george ειναι φοβερος η λυση του ηταν ακριβως αυτη που θελει να δει ο εξεταστης με ενθουσιασες γιωργο μανο μπραβο για την ασκηση σου φοβερη οτι πρεπει για πανελληνιες απο βοηθημα τη βρηκες?

riemann80 · 10 Απριλίου 2009 στις 19:46

μια ερωτηση: αν ολοκληρωσω τη δοθεισα απο 0 ως 1 βγαινει οτι οι τιμες της f ειναι απο f(0) ως f(1).τοτε πως γινεται η f να ειναι γνησιως αυξουσα στο R ;

manos66 · 10 Απριλίου 2009 στις 20:07

βγαίνει f (0) < f (1) - f (0) < f (1)

manos66 · 10 Απριλίου 2009 στις 20:18

Α. Ν.δ.ο. ln(x+1) < x, για κάθε x > 0.
B. Δίνεται η συνάρτηση
$f (x) = \frac{1}{ln(x+1)}-\frac{1}{x}, x > 0$

α. Να υπολογιστούν τα όρια $\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x) , \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)$

β. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

γ. Ν.δ.ο. $\int_{1}^{e}\frac{1}{ln(x+1)}dx < \frac{e+1}{2}$

rolingstones · 10 Απριλίου 2009 στις 21:14

της πλακας ειναι μανο λυστην εσυ

Τζίνα · 10 Απριλίου 2009 στις 21:23

Α.Έστω η συνάρτηση g(x)=ln(x+1)-x ,x>0
Παραγωγίζουμε ως προς χ,οπότε:
g'(x)= $\frac{1}{x+1}$ -1
Βρίσκουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται μόνο για χ=0,το οποίο απορρίπτεται, γιατί x>0. Άρα η g'(x) διατηρεί πρόσημο.
g'(x)<0<=> $\frac{1}{x+1}$ -1<0<=> $\frac{1}{x+1}$ <1<=>(επειδή x+1>0,πολλαπλασιάζουμε την ανίσωση με x+1)
1<x+1<=>χ>0
Άρα η συνάρτηση g(x) είναι γνησίως φθίνουσα,οπότε: χ>0<=>g(x)< $\lim_{x\rightarrow{0}^{+} }g(x)$ =ln1=0
Άρα ln(x+1)-x<0<=>ln(x+1)<x
B. $\lim_{x\rightarrow+oo }\frac{1}{ln(x+1)}-\frac{1}{x}<img src=$ =0-0=0
$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{1}{ln(x+1)}-\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{x-ln(x+1)}{xln(x+1)}$ =(επειδή το όριο είναι της μορφής $\frac{0}{0}$ και επειδή υπάρχουν τα όρια των παραγώγων αριθμητή και παρανομαστή,εφαρμόζουμε κανόνα de l'hospital) $\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{1-\frac{1}{x+1}}{ln(x+1)+\frac{x}{x+1}}$ =(για τους ίδιους λόγους ξαναεφαρμόζουμε DLH) $\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{\frac{1}{{(x+1)}^{2}}}{\frac{1}{x+1}+\frac{1}{{(x+1)}^{2}}}$ =1

β....(συνεχίζεται!!

)" />" />

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος