Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

termitis · 28-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών στο [-2 , 1]
υπάρχει x0 στο (-2 , 1) τέτοιο ώστε f (x0) = -1

Μετά δύο Θ.Μ.Τ. στα [-2 , x0] και [x0 , 1]

Φίλε το ΘΕΤ το κάνεις στο σύνολο τιμών όχι στο πεδίο ορισμού! Άρα είσαι λάθος.

kvgreco · 28-03-09

Αρχική Δημοσίευση από termitis:
ΦΙΛΕ ΤΟ ΘΕΤ ΤΟ ΚΑΝΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΟΧΙ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ!ΑΡΑ ΕΙΣΑΙ ΛΑΘΟΣ

Κατ' αρχήν καλώς όρισες στο φόρουμ.
Αλλά κοίτα μην του βάλεις κακό βαθμό του manos66 γιατί θα μείνει στην ίδια τάξη!

Και προσπάθησε να καταλάβεις τι εννοεί ο άνθρωπος, διάβασε και τα προηγούμενα μηνύματα και προπάντων αυτή την ίδια την άσκηση.Αφού το ξέρεις ότι το -1 ανήκει στο σύνολο τιμών τι δεν σού κάθεται καλά?

Athanachs · 28-03-09

Αρχική Δημοσίευση από rolingstones:
η ασκηση λεει αν υπαρχει το οριο της f?

Μπορείς να το βρείς,άρα υπάρχει.

Athanachs · 28-03-09

Αρχική Δημοσίευση από viridian:
Γι'αυτό με έναν πρόχειρο χωρισμό του διαστήματος [α,β] έχω την εντύπωση ότι βγαίνει με ΘΜΤ για την f στα διαστήματα

[α, (β+2009α)/2010] και [(β+2009α)/2010, β] και πρόσθεση κατά μέλη...

Το 2ο το ψάχνω λίγο και αν καταλήξω σε κάτι θα απαντήσω.
-----------------------------------------
Την έχω ξανακάνει τελικά τη 2η άσκηση του Μάνου, η εκφώνηση θα μπορούσε βέβαια να περιέχει μία σημαντική βοήθεια προς τους επίδοξους λύτες καθώς θυμάμαι ότι στο φροντιστήριο μας την είχαν δώσει για να προσπαθήσουμε χωρίς το 1ο, ουσιαστικά, υποερώτημα που σου δείχνει το χωρισμό του διαστήματος.

*********Spoiler: Hint για τη λύση της άσκησης**********

Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ στο (α, β) τέτοιο ώστε f(ξ) = α+β-ξ.

Σημαντική η βοήθεια της viridian.
Για το 2:Θεωρώ την g(x)=f(x)-α-β+x x $\in$ [α,β]
Με θεώρημα Bolzano στο [α,β] για την g βρίσκω ότι υπάρχει χο ώστε
g(xo)=0 δηλαδή f(χο)=α+β-χο
Στη συνέχεια κάνω 2 Θ.Μ.Τ.
για την f στο [α,χο] κ στο [χ0,β].
Προκύπτει $f'(x1)=\frac{f(xo)-f(\alpha )}{xo-\alpha }=\frac{\alpha +\beta -xo-\alpha }{xo-\alpha }=\frac{\beta -xo}{xo-\alpha } , x1\in (\alpha ,xo)$ και ακόμη $f'(x2)=\frac{f(\beta )-f(xo)}{\beta -xo}=\frac{\beta -\alpha -\beta +xo}{\beta -xo}=\frac{xo-\alpha }{\beta -xo} ,x2\in (xo,\beta )$ .Προφανώς με πολλαπλασιασμό προκύπτει το ζητούμενο.

manos66 · 28-03-09

Αρχική Δημοσίευση από viridian:
Γι'αυτό με έναν πρόχειρο χωρισμό του διαστήματος [α,β] έχω την εντύπωση ότι βγαίνει με ΘΜΤ για την f στα διαστήματα

[α, (β+2009α)/2010] και [(β+2009α)/2010, β] και πρόσθεση κατά μέλη...

Το 2ο το ψάχνω λίγο και αν καταλήξω σε κάτι θα απαντήσω.
-----------------------------------------
Την έχω ξανακάνει τελικά τη 2η άσκηση του Μάνου, η εκφώνηση θα μπορούσε βέβαια να περιέχει μία σημαντική βοήθεια προς τους επίδοξους λύτες καθώς θυμάμαι ότι στο φροντιστήριο μας την είχαν δώσει για να προσπαθήσουμε χωρίς το 1ο, ουσιαστικά, υποερώτημα που σου δείχνει το χωρισμό του διαστήματος.

*********Spoiler: Hint για τη λύση της άσκησης**********

Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ στο (α, β) τέτοιο ώστε f(ξ) = α+β-ξ.

Αγαπητέ viridian, σωστή η παρατήρησή σου.
Συνήθως τη συναντάμε με το υποερώτημα-βοήθεια που είπες.
Όμως, πόσο πιο δύσκολη γίνεται αν "κρύψω" το υποερώτημα.
Δεν έχει νόημα να θυμάστε αυτούσιες ασκήσεις και λύσεις που κάνατε σε σχολείο, φροντιστήριο ή διαβάσατε σε κάποια βιβλία.

Και πως θα "φτιάξουμε" το υποερώτημα;

hearts_alive · 28-03-09

(απάντηση στο Μάνο)

Εγώ θα ακολουθούσα την εξής λογική:

Λέω "πρέπει να χωρίσω στα 2 το διάστημα για τα ΘΜΤ. Οπότε θα πρέπει να βρω ένα ξ με κατάλληλο f(ξ) ώστε με τον πολλαπλασιασμό των παραγώγων να βγει το 1."

Εφαρμόζοντας τα ΘΜΤ στα [α, ξ] και [β, ξ] χωρίς να ξέρουμε ακόμα ποια τιμή f(ξ) θέλουμε :

Απ'το 1ο παίρνουμε

f ' (x1) = (f(ξ)-f(α))/(ξ-α)

και απ'το 2ο:

f ' (x2) = (f(β)-f(ξ)/(β-ξ)

οπότε αν κάνεις τον πολλαπλασιασμό διαπιστώνεις ότι για να βγει 1 το γινόμενο θες είτε να υπάρχει ξ στο (α, β) ώστε f(ξ) = ξ , πράγμα που δεν μπορείς να το αποδείξεις με καμία μέθοδο απ'αυτές που ξέρω (το'χα προσπαθήσει και αυτό) είτε να δείξεις ότι υπάρχει ξ ώστε f(ξ) - f(α) = β-ξ ή αντίστοιχα f(β) - f(ξ) = ξ-α (εν πάσει περιπτώσει αριθμητής του ενός κλάσματος ίσος με τον παρονομαστή του άλλου).

Εκεί ψυλιάζεσαι τη δουλειά και πάνω σ'αυτό δουλεύει πλέον η άσκηση.

Δεν είπα βέβαια ότι είναι καλό να θυμάσαι ασκήσεις απ'έξω (τουναντίον, η παπαγαλία είναι ίσως ό,τι χειρότερο στα μαθηματικά) απλά η συγκεκριμένη άσκηση έτυχε να μου έχει μείνει. Μάλλον εμπειρία θα το έλεγα αυτό παρά παπαγαλία.

manos66 · 28-03-09

:no1::no1:
:thanks:

rolingstones · 28-03-09

δεν ξερω πως λυνεται ειναι πανδυσκολη αν οχι ακραια ας ανεβασει καποιος τη λυση παιζει τιποτα με κριτηριο παρεμβολης?

manos66 · 28-03-09

$\\ x\eta \mu x >0 , x\in \left(-\frac{\pi }{2} , 0\right)\cup \left(0 , \frac{\pi }{2}\right)$

$\\ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)\geq \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2^x}{x\eta \mu x}$

$\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2^x}{x\eta \mu x}= +\propto \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}f(x) = +\propto$

$\\ \lim_{x\rightarrow 0}\left( \sqrt{f^2(x)-f(x)-5}-f(x)\right) = \lim_{u\rightarrow +\propto }\left( \sqrt{u^2-u-5}-u\right) = \lim_{u\rightarrow +\propto }\frac{\left( \sqrt{u^2-u-5}-u\right)\left( \sqrt{u^2-u-5}+u)\right}{ \sqrt{u^2-u-5}+u} = \lim_{u\rightarrow +\propto }\frac{-u-5}{ u\sqrt{1-\frac{1}{u}-\frac{5}{u^2}}+u} =\lim_{u\rightarrow +\propto }\frac{-1-\frac{5}{u}}{ \sqrt{1-\frac{1}{u}-\frac{5}{u^2}}+1} =-\frac{1}{2}$

lostG · 28-03-09

Σωστός ο Μάνος.

Οπωσδήποτε όμως όσοι βάζουν ασκήσεις γιά λύση, να προσέχουν και να μη λένε γιά παράδειγμα όπως εδώ ότι η δοσμένη σχέση ισχύει γιά κάθε $x \in$ R* γιατί αν θέσουμε όπου x = π φυσικά και δεν ισχύει!

Αλλά λύστε μου παιδιά μιά απορία.Το θέτω σαν προβληματισμό.Αφορά πάλι στην υπόθεση.
Λοιπόν.
Σαφώς ισχύει ότι f(x)xsinx>0
Ας πάρουμε το διάστημα που πήρε και ο Μάνος μιά και μας ενδιαφέρει περιοχή του 0 και μάλιστα κοντά στο 0.

επσιδή το xsinx εκεί είναι θετικό άρα και η συνάρτηση θα παίρνει θετικές τιμές,Δηλαδή f(x)>0
στο (-π/2,0)U(0, π/2).

Ναί αλλά το f(x)xsinx είναι μικρότερο τού f(x)x.1 όπότε και xf(x)>0!Έτσι
στο διάστημα (-π/2,0) η f(x) θα παίρνει αρνητικές τιμές, ενώ στο διάστημα (0, π/2) θα παίρνει θετικές!!

Πού είναι το λάθος?
(Έχω κάνει σκόπιμα ένα λάθος)

Athanachs · 28-03-09

Αρχική Δημοσίευση από lostG:
Σωστός ο Μάνος.

Οπωσδήποτε όμως όσοι βάζουν ασκήσεις γιά λύση, να προσέχουν και να μη λένε γιά παράδειγμα όπως εδώ ότι η δοσμένη σχέση ισχύει γιά κάθε $x in$ R* γιατί αν θέσουμε όπου x = π φυσικά και δεν ισχύει!

Αλλά λύστε μου παιδιά μιά απορία.Το θέτω σαν προβληματισμό.Αφορά πάλι στην υπόθεση.
Λοιπόν.
Σαφώς ισχύει ότι f(x)xsinx>0
Ας πάρουμε το διάστημα που πήρε και ο Μάνος μιά και μας ενδιαφέρει περιοχή του 0 και μάλιστα κοντά στο 0.

επσιδή το xsinx εκεί είναι θετικό άρα και η συνάρτηση θα παίρνει θετικές τιμές,Δηλαδή f(x)>0
στο (-π/2,0)U(0, π/2).

Ναί αλλά το f(x)xsinx είναι μικρότερο τού f(x)x.1 όπότε και xf(x)>0!Έτσι
στο διάστημα (-π/2,0) η f(x) θα παίρνει αρνητικές τιμές, ενώ στο διάστημα (0, π/2) θα παίρνει θετικές!!

Πού είναι το λάθος?
(Έχω κάνει σκόπιμα ένα λάθος)

Όντως για χ=π και όχι μόνο δεν ισχύει.Γενικότερα για τιμές που μηδενίζεται το ημίτονο.Ζητώ συγγνώμη για την απροσεξία

. LostG τι ακριβώς εννοείτε με το ''f(x)x.1''?

lostG · 28-03-09

Αρχική Δημοσίευση από Athanachs:
Όντως για χ=π και όχι μόνο δεν ισχύει.Γενικότερα για τιμές που μηδενίζεται το ημίτονο.Ζητώ συγγνώμη για την απροσεξία. LostG τι ακριβώς εννοείτε με το ''f(x)x.1''?

Εννοώ ότι πολλοί μαθητές (και όχι μόνο!) γράφουν f(x)xsinx<=f(x)x δηλαδή θέτουν στη θέση τού ημιτόνου τη μέγιστη τιμή 1, ενώ το σωστό είναι |f(x)xsinx|<=|f(x)x|
ή
-|f(x)x|<= f(x)xsinx <=|f(x)x|

Γι αυτό δημιουργήθηκε η αντίφαση.

rolingstones · 28-03-09

λοιπον αυτο το ρωτησα απο την αρχη η εκφωνηση επρεπε να ελεγε υπαρχει το οριο της f αλλιως δε μπορει να προχωρησει η ασκηση και να χρησιμοποιησης την ανισωτικη σχεση με τα ορια αλλιως οτι εκανε ο μανος παει στραφη επισης μανο επρεπε να εξηγησεις την αντικατασταση που εκανες κι οχι να το περασεις αμεσως επισης το οριο στο +00 οταν εχουε ριζικα και απροσδιοριστια το βρισκουμε βγαζοντας κοινο παραγοντα τη μεγιστοβαθμια δυναμη κι οχι πολλαπλασιαζοντας αμεσα με τη συζυγη παρασταση μετα αφοτου βγαλουμε κοινο παραγοντα και εφοσον υπαρχει απροσδιοριστια πολλαπλασιαζουμε με την συζυγη παρασταση

termitis · 29-03-09

sorry για το μεγεθοσ τησ εικονας
1. Αν f παραγωγίσιμη στο [α , β], με f (α) = f (β), ν' αποδειχθεί ότι υπάρχουν διαφορετικά μεταξύ τους $x_1,x_2 \in (a,\beta )$ , τέτοια ώστε $f'(x_1)+2009f'(x_2) = 0$

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Δίνω άλλες δύο ασκήσεις "διαίρεσης διαστήματος" που κυκλοφορούν σε πολλά βιβλία.

2. Αν f παραγωγίσιμη στο [α , β], με f (α) = α και f (β) = β, ν' αποδειχθεί ότι υπάρχουν διαφορετικά μεταξύ τους $x_1,x_2 in (a,beta )$ , τέτοια ώστε $f'(x_1)f'(x_2) = 1$

Ο Μαθηματικος μου ειπε οτι στην εκφωνιση υπαρχει λαθος και οτι ειναι f(a)=b ke f(b)=a !Δικιο εχει?

bobiras11 · 29-03-09

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
α)εστω υπαρχει χο στο R : f(xo)=0. τοτε f(a+χο)=0 για καθε α στο R. αρα
f(x)=0 για καθε χ στο R.

Πως προέκυψε αυτό? Το f(a+χο) το βρήκες για συγκεκριμένο χο στο R.
Πως το ανάγεις γενικά για κάθε χ στο R?
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
στη συνέχεια προσθαφαιρούμε το $e^{2x_{0}h}$

και τελικά παίρνουμε ότι το αρχικό όριο γίνεται

$lim_{h->0} e^{2x_{0}h} frac{(f(h)-1)}{h}+frac{e^{2x_{0}h-1}}{h}$

Νομίζω έχεις φάει ένα f(x0) σαν κοινό παράγοντα και πρέπει το -1 να είναι κάτω, όχι στη δύναμη. Γι αυτό δεν φαίνεται καλά το αποτέλεσμα.

manos66 · 29-03-09

Αρχική Δημοσίευση από rolingstones:
λοιπον αυτο το ρωτησα απο την αρχη η εκφωνηση επρεπε να ελεγε υπαρχει το οριο της f αλλιως δε μπορει να προχωρησει η ασκηση και να χρησιμοποιησης την ανισωτικη σχεση με τα ορια αλλιως οτι εκανε ο μανος παει στραφη επισης μανο επρεπε να εξηγησεις την αντικατασταση που εκανες κι οχι να το περασεις αμεσως επισης το οριο στο +00 οταν εχουε ριζικα και απροσδιοριστια το βρισκουμε βγαζοντας κοινο παραγοντα τη μεγιστοβαθμια δυναμη κι οχι πολλαπλασιαζοντας αμεσα με τη συζυγη παρασταση μετα αφοτου βγαλουμε κοινο παραγοντα και εφοσον υπαρχει απροσδιοριστια πολλαπλασιαζουμε με την συζυγη παρασταση

Δηλαδή αν κάποιος έχει το χάρισμα η την ικανότητα να καταλάβει ότι είναι απροσδιοριστία και προχωρήσει στο βήμα της συζυγής παράστασης είναι λάθος κατά τη γνώμη σου;

Την αντικατάσταση δεν την έγραψα αναλυτικά λόγω έλλειψης χρόνου.

rolingstones · 29-03-09

αλλο ειπα εγω οτι η σωστη μεθοδολογια ειναι βλεπω οτι εχω οριο στο +00 με ριζικα και απροσδιοριστια βγαζω κοινο παραγοντα τη μεγιστοβαθμια γινονται οι σχετικες πραξεις και αν εχω ξανα απροσδιοριστια τοτε και μονο τοτε παω με τη συζυγη παρασταση νομιζω οτι ημουν κατανοητος αυτο ειναι ενα λαθος που το κανουν και πολλα εξωσχολικα συγχεουν το οριο με το χ να τεινει σε πραγματικο αριθμο με το οριο το χ να τεινει σε +00 ή -00 και αυτο εσεις οι πιο εμπειροι πρεπει να τα τονιζετε φιλικα :bye:

galois01 · 29-03-09

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Νομίζω έχεις φάει ένα f(x0) σαν κοινό παράγοντα και πρέπει το -1 να είναι κάτω, όχι στη δύναμη. Γι αυτό δεν φαίνεται καλά το αποτέλεσμα.

Έχεις δίκιο τώρα το πρόσεξα και εγώ.

bobiras11 · 30-03-09

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
Έχεις δίκιο τώρα το πρόσεξα και εγώ.

Να ρωτήσω και κάτι άλλο. Το α) ερώτημα δεν βγαίνει χωρίς να παραγωγίσουμε?

manos66 · 30-03-09

Για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g ισχύουν :

f΄(x) - g΄(x) = 2010, για κάθε $x\in R$
f΄(x) $\neq$ 2010, για κάθε $x\in R$
η Cf δέχεται πλάγια ασύμπτωτη στο $+\propto$ , την y = 2010x + 2
η Cg δέχεται οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\propto$ , την y = 2008

α) Να υπολογιστεί το $\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{g(x) - 2008}{f (x) - 2010x - 2}$
β) Ν΄ αποδειχθεί ότι η Cg τέμνει τον άξονα x΄x σ' ένα το πολύ σημείο.
γ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf, Cg και τις ευθείες x = 1 και x = 2.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος