Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[m3Lt3D]

Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, με f΄(0)=2 και ισχύει , για κάθε
α) Ν.δ.ο. , για κάθε
β) Ν.δ.ο. f(0) = 1.
γ) Ν.δ.ο. η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f΄(x) = 2 f(x) (x+1), για κάθε
δ) Να βρεθεί ο τύπος της f.

α)εστω υπαρχει χο στο R : f(xo)=0. τοτε f(a+χο)=0 για καθε α στο R. αρα
f(x)=0 για καθε χ στο R. αρα f'(x)=0=>f'(0)=0. ατοπο.
αρα f(x)<>0 για καθε χ στο R.
τα υπολοιπα νομιζω τα απαντησατε.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[riemann80]

απο το βιβλιο "ολοκληρωματα" του δ.νταβου αντιγραφω μια πολυ ωραια ασκηση.

εστω f παραγωγισιμη στο [α,α+3] για την οποια υποθετουμε οτι ισχυει .να δειξετε οτι υπαρχει στο (α,α+3) ωστε η εφαπτομενη της στο να ειναι παραλληλη στον αξονα x.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lostG]

Δύο ΘΜΤ?
Έχω πεί να μην πετιέμαι πρώτος σε πρόταση καθηγητή, αλλά μ΄αρέσει αυτό το ασκησίδιον

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[riemann80]

αυτο ειναι το προφανες.ομως υπαρχει ενα αξεπεραστο προβλημα...και δε πιανει αυτη η μεθοδος.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[cheery]

Παιδιά χίλια σόρρυ αλλά δεν θυμάμαι την ακριβή διατύπωση του Β.ι)
Αύριο θα βρω τη φωτό με τα θέματα και θα το διορθώσω.

Η διατύπωση του Βι εχει διορθωθεί?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[trilo]

Έστω η F(x)=. Η F παραγωγίσιμη αφού η f είναι συνεχής με F'(x)=f(x).
Έστω η H G παραγωγίσιμη με G'(x)=f(x). Ισχυεί F(a+2)= G(a+3) (1) από υπόθεση.
ΘΜΤ για F στο [a,a+2]. Άρα υπάρχει ξ1ε(a,a+2) τέτοιο ώστε f(ξ1)=
ΘΜΤ για G στό [a+1,a+3] άρα υπάρχει ξ2ε(a+1,a+3) τέτοιο ώστε
f(ξ2)=G(a+3)/2=F(a+2)/2=f(ξ1) άπο (1). Άρα Rolle για f στο [ξ1,ξ2] υποσύνολο το [α,α+3]. άρα υπάρχει χοε(ξ1,ξ2) τέτοιο ώστε f'(xo)=0

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manos66]

Έστω η F(x)=. Η F παραγωγίσιμη αφού η f είναι συνεχής με F'(x)=f(x).
Έστω η H G παραγωγίσιμη με G'(x)=f(x). Ισχυεί F(a+2)= G(a+3) (1) από υπόθεση.
ΘΜΤ για F στο [a,a+2]. Άρα υπάρχει ξ1ε(a,a+2) τέτοιο ώστε f(ξ1)=
ΘΜΤ για G στό [a+1,a+3] άρα υπάρχει ξ2ε(a+1,a+3) τέτοιο ώστε
f(ξ2)=G(a+3)/2=F(a+2)/2=f(ξ1) άπο (1). Άρα Rolle για f στο [ξ1,ξ2] υποσύνολο το [α,α+3]. άρα υπάρχει χοε(ξ1,ξ2) τέτοιο ώστε f'(xo)=0

Tα ξ1 , ξ2 μπορεί να ταυτίζονται.
Γενικά δεν κάνουμε Θ.Μ.Τ. σε "επικαλυπτόμενα" διαστήματα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[kvgreco]

Σημαντική η βοήθεια τού κ. lostG! Ουσιαστικά μού έλυσε την άσκηση.Κύριε riemann80 δεν υπήρχε αξεπέρστο εμπόδιο εκτός αν κάτι άλλο εννοούσατε.

Μετά από κατάλληλο σπάσιμο των ολοκληρωμάτων η ισότητα γίνεται.

Θεωρώντας τη συνάρτηση με δύο εφαρμογές του ΘΜΤ στα διαστήματα
[a,a+1] και [a+2,a+3],βλέπουμε ότι υπάρχουν ξ1, ξ2 αντίστοιχα, ώστε g'(ξ1)= g'(ξ2) άρα και f(ξ1)=f(ξ2) και από Rolle υπάρχει xo ώστε
f '(xo)=0.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[_ann_]

θμτ στα α,α+1 και α+2,α+3(τα ολοκληρωματα απο α+1 εως α+2 διαγραφονται..

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[galois01]

απο το βιβλιο "ολοκληρωματα" του δ.νταβου αντιγραφω μια πολυ ωραια ασκηση.

εστω f παραγωγισιμη στο [α,α+3] για την οποια υποθετουμε οτι ισχυει .να δειξετε οτι υπαρχει στο (α,α+3) ωστε η εφαπτομενη της στο να ειναι παραλληλη στον αξονα x.

edit: Λύση από τους manos66 και galois01

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα θέτουμε και τα νέα άκρα ολοκλήρωσης γίνονται α και α+2.Οπότε η ισότητα της υπόθεσης γίνεται

(1)

Από ΘΜΤ για την f στο [χ,χ+1] παίρνουμε


με

Οπότε η (1) γίνεται

Θεωρούμε τη συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Oπότε από το Θ. Rolle προκύπτει το ζητούμενο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lostG]

Αυτό που σκέφτηκα εγώ είναι το εξής

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα θέτουμε και τα νέα άκρα ολοκλήρωσης γίνονται α και α+2.Οπότε η ισότητα της υπόθεσης γίνεται

(1)

Από ΘΜΤ για την f στο [χ,χ+1] παίρνουμε


με

Οπότε η (1) γίνεται

και τελικά

Ελπίζω να μην υπάρχει κάποιο λάθος.

Κώστας

Μπορεί να ισχύει αυτό

(1) αλλά δεν σημαίνει ότι θα ισχύει και αυτό

γιά κάθε χ που ανήκει στο (α,α+2)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[galois01]

Μπορεί να ισχύει αυτό

(1) αλλά δεν σημαίνει ότι θα ισχύει και αυτό

γιά κάθε χ που ανήκει στο (α,α+2)

Εγώ δεν λέω ότι απλώς αντικαθιστώ το
f(x+1)-f(x) με και επομένως παίρνουμε



Αυτό εννοείται ή κατάλαβα λάθος.

edit:Αυτό που με προβληματίζει είναι αν μπορούμε να θεωρήσουμε το ώς σταθερό αριθμό και να το βγάλω από το ολοκλήρωμα.


Κώστας

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[chris_90]

απο το βιβλιο "ολοκληρωματα" του δ.νταβου αντιγραφω μια πολυ ωραια ασκηση.

εστω f παραγωγισιμη στο [α,α+3] για την οποια υποθετουμε οτι ισχυει .να δειξετε οτι υπαρχει στο (α,α+3) ωστε η εφαπτομενη της στο να ειναι παραλληλη στον αξονα x.

Μηπως αν σπασουμε τα ολοκληρωματα (βασει της γνωστης ιδιοτητας) γινει τιποτα; Δηλαδη το πρωτο να το σπασουμε σε 2 ολοκληρωματα με ακρα α/α+1 και α+1/α+2 και το δευτερο σε 2 ολοκληρωματα με ακρα α+1/α+2 και α+2/α+3. Νομιζω φευγουν καποια (δυστυχως δεν εχω στυλο και χαρτι προχειρα για να τη λυσω).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lostG]

edit:Αυτό που με προβληματίζει είναι αν μπορούμε να θεωρήσουμε το ώς σταθερό αριθμό και να το βγάλω από το ολοκλήρωμα.


Κώστας

Όχι είναι συνάρτηση τού x.Γιατί αν επιλέξεις ένα άλλο x τότε το ΘΜΤ στο διάστημα [x,x+1], γενικά θα δώσει ένα άλλο(ή άλλα) xo και συνεπεία αυτού άλλα f '(xo).
Μπορείς να μας πείς πώς έβγαλες πιό πριν το 2f '(xo)(a+2-a)?
Που βέβαια κάνει 4f '(xo) και όχι 2f '(xo) όπως λες.

Μηπως αν σπασουμε τα ολοκληρωματα (βασει της γνωστης ιδιοτητας) γινει τιποτα; Δηλαδη το πρωτο να το σπασουμε σε 2 ολοκληρωματα με ακρα α/α+1 και α+1/α+2 και το δευτερο σε 2 ολοκληρωματα με ακρα α+1/α+2 και α+2/α+3. Νομιζω φευγουν καποια (δυστυχως δεν εχω στυλο και χαρτι προχειρα για να τη λυσω).

Ακριβώς.
Δες τι έκανε ο kvgreco.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manos66]

Αυτό που σκέφτηκα εγώ είναι το εξής

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα θέτουμε και τα νέα άκρα ολοκλήρωσης γίνονται α και α+2.Οπότε η ισότητα της υπόθεσης γίνεται

(1)

Από ΘΜΤ για την f στο [χ,χ+1] παίρνουμε


με

Οπότε η (1) γίνεται

και τελικά

Ελπίζω να μην υπάρχει κάποιο λάθος.

Κώστας

Μια χαρά βλέπω τη λύση σου.
Θα μπορούσες να τη γράψεις κι έτσι


Θεωρώ συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Θ. Rolle...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[galois01]

Μπορείς να μας πείς πώς έβγαλες πιό πριν το 2f '(xo)(a+2-a)?
Που βέβαια κάνει 4f '(xo) και όχι 2f '(xo) όπως λες.

Aυτό δεν το γράφω πουθενά.

Θα μπορούσες να τη γράψεις κι έτσι

Θεωρώ συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Θ. Rolle...

Έτσι ξεπερνάμε και το πρόβλημα σχετικά με το αν μπορώ ή όχι να βγάλω το έξω από το ολοκλήρωμα.

Ωραία σκέψη:no1:Ευχαριστώ πολύ

Κώστας

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lostG]

Δεν νομίζω να το έβγαλα από το νού μου.Είναι ή όχι 4f '(xo)?
Τέλος πάντων.Δεν μου αρέσει να έχω ύφος επιτιμητικό οπότε σταματώ εδώ.

Μια χαρά βλέπω τη λύση σου.
Θα μπορούσες να τη γράψεις κι έτσι


Θεωρώ συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Θ. Rolle...

Όχι φίλε manos66.Δεν είναι μιά χαρά η λύση του.Απορώ γιατί δεν τονίζεις τα κενά που παρουσιάζει η λύση galois01.Δεν βοηθάμε έτσι τα παιδιά.Εσύ φρόντισες να το εξωραΐσεις δίνοντας τη σωστή πορεία.
Πάντως δεν θέλω να εμπλακώ σε διενέξεις με συναδέλφους γιατί αυτό δεν συνάδει με την ηρεμία που πρέπει να σας διατηρούμε δύο μήνες πριν από τις εξετάσεις.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[κατερινα!]

ρε παιδια μιας και μιλατε για παραγωγους μου λυνετε μια απορια??πως βρισκω οτι μια συναρτηση εχει μοναδικο στασιμο σημειο??

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Athanachs]

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f/[-2,1] με f(-2)=-3 και f(1)=1.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν a1,a2(-2,1) ώστε:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[riemann80]

το εμποδιο εξ αρχης ηταν οτι τα διαστηματα δεν ηταν ξενα οποτε δε δουλευει η πορεια θμτ και μετα rolle.επρεπε να σκεφτουμε τον αλλο δρομο,να σπασουμε πρωτα τα ολοκληρωματα.για αυτο θεωρησα πολυ καλη την ασκηση.επισης βρηκα πολυ ενδιαφερουσα τη συζητηση που ακολουθησε.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.