Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

m3Lt3D · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, με f΄(0)=2 και ισχύει $f(a+x)=f(a)f(x)e^{2ax}$ , για κάθε $a,x in R$
α) Ν.δ.ο. $f(x) neq 0$ , για κάθε $x in R$
β) Ν.δ.ο. f(0) = 1.
γ) Ν.δ.ο. η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f΄(x) = 2 f(x) (x+1), για κάθε $x in R$
δ) Να βρεθεί ο τύπος της f.

α)εστω υπαρχει χο στο R : f(xo)=0. τοτε f(a+χο)=0 για καθε α στο R. αρα
f(x)=0 για καθε χ στο R. αρα f'(x)=0=>f'(0)=0. ατοπο.
αρα f(x)<>0 για καθε χ στο R.
τα υπολοιπα νομιζω τα απαντησατε.

riemann80 · 24-03-09

απο το βιβλιο "ολοκληρωματα" του δ.νταβου αντιγραφω μια πολυ ωραια ασκηση.

εστω f παραγωγισιμη στο [α,α+3] για την οποια υποθετουμε οτι ισχυει $\int_{a}^{a+2}f(x)dx=\int_{a+1}^{a+3}f(x)dx$ .να δειξετε οτι υπαρχει $x_0$ στο (α,α+3) ωστε η εφαπτομενη της στο $(x_0,f(x_0))$ να ειναι παραλληλη στον αξονα x.

lostG · 24-03-09

Δύο ΘΜΤ?
Έχω πεί να μην πετιέμαι πρώτος σε πρόταση καθηγητή, αλλά μ΄αρέσει αυτό το ασκησίδιον

riemann80 · 24-03-09

αυτο ειναι το προφανες.ομως υπαρχει ενα αξεπεραστο προβλημα...και δε πιανει αυτη η μεθοδος.

cheery · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Παιδιά χίλια σόρρυ αλλά δεν θυμάμαι την ακριβή διατύπωση του Β.ι)
Αύριο θα βρω τη φωτό με τα θέματα και θα το διορθώσω.

Η διατύπωση του Βι εχει διορθωθεί?

trilo · 24-03-09

Έστω η F(x)= $\int_{a}^{x}f(t)dt$ . Η F παραγωγίσιμη αφού η f είναι συνεχής με F'(x)=f(x).
Έστω η $G(X)=\int_{a 1}^{x}f(t)dt$ H G παραγωγίσιμη με G'(x)=f(x). Ισχυεί F(a+2)= G(a+3) (1) από υπόθεση.
ΘΜΤ για F στο [a,a+2]. Άρα υπάρχει ξ1ε(a,a+2) τέτοιο ώστε f(ξ1)= $\frac{F(a+ 2)-F(a)}{2}=\frac{F(a +2)}{2}$
ΘΜΤ για G στό [a+1,a+3] άρα υπάρχει ξ2ε(a+1,a+3) τέτοιο ώστε
f(ξ2)=G(a+3)/2=F(a+2)/2=f(ξ1) άπο (1). Άρα Rolle για f στο [ξ1,ξ2] υποσύνολο το [α,α+3]. άρα υπάρχει χοε(ξ1,ξ2) τέτοιο ώστε f'(xo)=0

manos66 · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από trilo:
Έστω η F(x)= $int_{a}^{x}f(t)dt$ . Η F παραγωγίσιμη αφού η f είναι συνεχής με F'(x)=f(x).
Έστω η $G(X)=int_{a 1}^{x}f(t)dt$ H G παραγωγίσιμη με G'(x)=f(x). Ισχυεί F(a+2)= G(a+3) (1) από υπόθεση.
ΘΜΤ για F στο [a,a+2]. Άρα υπάρχει ξ1ε(a,a+2) τέτοιο ώστε f(ξ1)= $frac{F(a+ 2)-F(a)}{2}=frac{F(a +2)}{2}$
ΘΜΤ για G στό [a+1,a+3] άρα υπάρχει ξ2ε(a+1,a+3) τέτοιο ώστε
f(ξ2)=G(a+3)/2=F(a+2)/2=f(ξ1) άπο (1). Άρα Rolle για f στο [ξ1,ξ2] υποσύνολο το [α,α+3]. άρα υπάρχει χοε(ξ1,ξ2) τέτοιο ώστε f'(xo)=0

Tα ξ1 , ξ2 μπορεί να ταυτίζονται.
Γενικά δεν κάνουμε Θ.Μ.Τ. σε "επικαλυπτόμενα" διαστήματα

kvgreco · 24-03-09

Σημαντική η βοήθεια τού κ. lostG! Ουσιαστικά μού έλυσε την άσκηση.Κύριε riemann80 δεν υπήρχε αξεπέρστο εμπόδιο εκτός αν κάτι άλλο εννοούσατε.

Μετά από κατάλληλο σπάσιμο των ολοκληρωμάτων η ισότητα γίνεται.
$\int_{a}^{a+1}f(x)dx=\int_{a+2}^{a+3}f(x)dx$
Θεωρώντας τη συνάρτηση $g(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ με δύο εφαρμογές του ΘΜΤ στα διαστήματα
[a,a+1] και [a+2,a+3],βλέπουμε ότι υπάρχουν ξ1, ξ2 αντίστοιχα, ώστε g'(ξ1)= g'(ξ2) άρα και f(ξ1)=f(ξ2) και από Rolle υπάρχει xo ώστε
f '(xo)=0.

_ann_ · 24-03-09

θμτ στα α,α+1 και α+2,α+3(τα ολοκληρωματα απο α+1 εως α+2 διαγραφονται..

galois01 · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
απο το βιβλιο "ολοκληρωματα" του δ.νταβου αντιγραφω μια πολυ ωραια ασκηση.

εστω f παραγωγισιμη στο [α,α+3] για την οποια υποθετουμε οτι ισχυει $int_{a}^{a+2}f(x)dx=int_{a+1}^{a+3}f(x)dx$ .να δειξετε οτι υπαρχει $x_0$ στο (α,α+3) ωστε η εφαπτομενη της στο $(x_0,f(x_0))$ να ειναι παραλληλη στον αξονα x.

edit: Λύση από τους manos66 και galois01

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα θέτουμε $x-1=u$ και τα νέα άκρα ολοκλήρωσης γίνονται α και α+2.Οπότε η ισότητα της υπόθεσης γίνεται

$\int_{a}^{a+2}f(x)dx=\int_{a}^{a+2}f(x+1)dx$ (1)

Από ΘΜΤ για την f στο [χ,χ+1] παίρνουμε
$f'(x_{0})=f(x+1)-f(x)$

με $x_{0}\in(x,x+1)\subseteq(\alpha,\alpha+3)$

Οπότε η (1) γίνεται

Θεωρούμε τη συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Oπότε από το Θ. Rolle προκύπτει το ζητούμενο

lostG · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
Αυτό που σκέφτηκα εγώ είναι το εξής

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα θέτουμε $x-1=u$ και τα νέα άκρα ολοκλήρωσης γίνονται α και α+2.Οπότε η ισότητα της υπόθεσης γίνεται

$int_{a}^{a+2}f(x)dx=int_{a}^{a+2}f(x+1)dx$ (1)

Από ΘΜΤ για την f στο [χ,χ+1] παίρνουμε
$f'(x_{0})=f(x+1)-f(x)$

με $x_{0}in(x,x+1)subseteq(alpha,alpha+3)$

Οπότε η (1) γίνεται

$int_{alpha}^{alpha+2}f'(x_{0})dx=0$ και τελικά $f'(x_{0})=0$

Ελπίζω να μην υπάρχει κάποιο λάθος.

Κώστας

Μπορεί να ισχύει αυτό

$\int_{a}^{a+2}[f(x+1)-f(x)]dx=0$ (1) αλλά δεν σημαίνει ότι θα ισχύει και αυτό

$f(x+1)-f(x)=0$ γιά κάθε χ που ανήκει στο (α,α+2)

galois01 · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από lostG:
Μπορεί να ισχύει αυτό

$int_{a}^{a+2}[f(x+1)-f(x)]dx=0$ (1) αλλά δεν σημαίνει ότι θα ισχύει και αυτό

$f(x+1)-f(x)=0$ γιά κάθε χ που ανήκει στο (α,α+2)

Εγώ δεν λέω ότι $f(x+1)-f(x)=0$ απλώς αντικαθιστώ το
f(x+1)-f(x) με $f'(x_{0})$ και επομένως παίρνουμε

$\int_{a}^{a+2}[f(x+1)-f(x)]dx=\int_{a}^{a+2}f'(x_{0})dx=2f'(x_{0})(a+2-a)=2f'(x_{0})$

Αυτό εννοείται ή κατάλαβα λάθος.

edit:Αυτό που με προβληματίζει είναι αν μπορούμε να θεωρήσουμε το $f'(x_{0})$ ώς σταθερό αριθμό και να το βγάλω από το ολοκλήρωμα.

Κώστας

chris_90 · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
απο το βιβλιο "ολοκληρωματα" του δ.νταβου αντιγραφω μια πολυ ωραια ασκηση.

εστω f παραγωγισιμη στο [α,α+3] για την οποια υποθετουμε οτι ισχυει $int_{a}^{a+2}f(x)dx=int_{a+1}^{a+3}f(x)dx$ .να δειξετε οτι υπαρχει $x_0$ στο (α,α+3) ωστε η εφαπτομενη της στο $(x_0,f(x_0))$ να ειναι παραλληλη στον αξονα x.

Μηπως αν σπασουμε τα ολοκληρωματα (βασει της γνωστης ιδιοτητας) γινει τιποτα; Δηλαδη το πρωτο να το σπασουμε σε 2 ολοκληρωματα με ακρα α/α+1 και α+1/α+2 και το δευτερο σε 2 ολοκληρωματα με ακρα α+1/α+2 και α+2/α+3. Νομιζω φευγουν καποια (δυστυχως δεν εχω στυλο και χαρτι προχειρα για να τη λυσω).

lostG · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
edit:Αυτό που με προβληματίζει είναι αν μπορούμε να θεωρήσουμε το $f'(x_{0})$ ώς σταθερό αριθμό και να το βγάλω από το ολοκλήρωμα.

Κώστας

Όχι είναι συνάρτηση τού x.Γιατί αν επιλέξεις ένα άλλο x τότε το ΘΜΤ στο διάστημα [x,x+1], γενικά θα δώσει ένα άλλο(ή άλλα) xo και συνεπεία αυτού άλλα f '(xo).
Μπορείς να μας πείς πώς έβγαλες πιό πριν το 2f '(xo)(a+2-a)?
Που βέβαια κάνει 4f '(xo) και όχι 2f '(xo) όπως λες.

Αρχική Δημοσίευση από chris_90:
Μηπως αν σπασουμε τα ολοκληρωματα (βασει της γνωστης ιδιοτητας) γινει τιποτα; Δηλαδη το πρωτο να το σπασουμε σε 2 ολοκληρωματα με ακρα α/α+1 και α+1/α+2 και το δευτερο σε 2 ολοκληρωματα με ακρα α+1/α+2 και α+2/α+3. Νομιζω φευγουν καποια (δυστυχως δεν εχω στυλο και χαρτι προχειρα για να τη λυσω).

Ακριβώς.
Δες τι έκανε ο kvgreco.

manos66 · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
Αυτό που σκέφτηκα εγώ είναι το εξής

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα θέτουμε $x-1=u$ και τα νέα άκρα ολοκλήρωσης γίνονται α και α+2.Οπότε η ισότητα της υπόθεσης γίνεται

$int_{a}^{a+2}f(x)dx=int_{a}^{a+2}f(x+1)dx$ (1)

Από ΘΜΤ για την f στο [χ,χ+1] παίρνουμε
$f'(x_{0})=f(x+1)-f(x)$

με $x_{0}in(x,x+1)subseteq(alpha,alpha+3)$

Οπότε η (1) γίνεται

$int_{alpha}^{alpha+2}f'(x_{0})dx=0$ και τελικά $f'(x_{0})=0$

Ελπίζω να μην υπάρχει κάποιο λάθος.

Κώστας

Μια χαρά βλέπω τη λύση σου.
Θα μπορούσες να τη γράψεις κι έτσι
$\\ \int_{a}^{a+2}f(x)dx=\int_{a}^{a+2}f(x+1)dx \Leftrightarrow \\ \int_{a}^{a+2}[f(x)- f(x+1)]dx = 0$

Θεωρώ συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Θ. Rolle...

galois01 · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από lostG:
Μπορείς να μας πείς πώς έβγαλες πιό πριν το 2f '(xo)(a+2-a)?
Που βέβαια κάνει 4f '(xo) και όχι 2f '(xo) όπως λες.

Aυτό δεν το γράφω πουθενά.

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Θα μπορούσες να τη γράψεις κι έτσι

Θεωρώ συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Θ. Rolle...

Έτσι ξεπερνάμε και το πρόβλημα σχετικά με το αν μπορώ ή όχι να βγάλω το $f'(x_{0})$ έξω από το ολοκλήρωμα.

Ωραία σκέψη:no1:Ευχαριστώ πολύ

Κώστας

lostG · 24-03-09

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
$int_{a}^{a+2}[f(x+1)-f(x)]dx=int_{a}^{a+2}f'(x_{0})dx=2f'(x_{0})(a+2-a)=2f'(x_{0})$

Δεν νομίζω να το έβγαλα από το νού μου.Είναι ή όχι 4f '(xo)?
Τέλος πάντων.Δεν μου αρέσει να έχω ύφος επιτιμητικό οπότε σταματώ εδώ.

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Μια χαρά βλέπω τη λύση σου.
Θα μπορούσες να τη γράψεις κι έτσι
$int_{a}^{a+2}f(x)dx=int_{a}^{a+2}f(x+1)dx Leftrightarrow int_{a}^{a+2}[f(x)- f(x+1)]dx = 0$

Θεωρώ συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Θ. Rolle...

Όχι φίλε manos66.Δεν είναι μιά χαρά η λύση του.Απορώ γιατί δεν τονίζεις τα κενά που παρουσιάζει η λύση galois01.Δεν βοηθάμε έτσι τα παιδιά.Εσύ φρόντισες να το εξωραΐσεις δίνοντας τη σωστή πορεία.
Πάντως δεν θέλω να εμπλακώ σε διενέξεις με συναδέλφους γιατί αυτό δεν συνάδει με την ηρεμία που πρέπει να σας διατηρούμε δύο μήνες πριν από τις εξετάσεις.

κατερινα! · 24-03-09

ρε παιδια μιας και μιλατε για παραγωγους μου λυνετε μια απορια??πως βρισκω οτι μια συναρτηση εχει μοναδικο στασιμο σημειο??

Athanachs · 24-03-09

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f/[-2,1] με f(-2)=-3 και f(1)=1.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν a1,a2 $\epsilon$ (-2,1) ώστε:

$\frac{2}{f'(a1)}+\frac{2}{f'(a2)}=3$

riemann80 · 25-03-09

το εμποδιο εξ αρχης ηταν οτι τα διαστηματα δεν ηταν ξενα οποτε δε δουλευει η πορεια θμτ και μετα rolle.επρεπε να σκεφτουμε τον αλλο δρομο,να σπασουμε πρωτα τα ολοκληρωματα.για αυτο θεωρησα πολυ καλη την ασκηση.επισης βρηκα πολυ ενδιαφερουσα τη συζητηση που ακολουθησε.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος