Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

KONNOS · 20-03-09

Αν πας ενα βημα πιο πανω απο αυτο π λες θα δεις οτι εχει δειξει οτι..f(x)=g(x)+(f'(0)-g'(0))x... ε μετα θετει χ=1 βγαζει οτι f'(0)-g'(0)=1...αρα f(x)=g(x)+x

manos66 · 20-03-09

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
(α) $int_{0}^{1}[x f (x) + F (x)] dx=int_{0}^{1}[xF'(x)+F(x)]=int_{0}^{1}(xF(x))^{'}dx=2$

(β) Μήπως το dx που γράφεται είναι dt? Αν είναι έτσι τότε

Αν x=1 προφανώς ισχύει

Αν x>1 τότε από ΘΜΤ για την F στο [1,x] προκύπτει το ζητούμενο

Ομείως αν x<1

(γ)
Θέτουμε $g(x)=int_{x}^{1}f (t) dx +2x-2$

i) Όμως από την υπόθεση $g(x)geq0=g(1)=g(0)$ , $forall xin{R}$

Σωστός Κώστα
Εξήγησε αν θέλεις την επιλογή

Επομένως από το Θ. Fermat $g'(1)=g'(0)=0$ οπότε προκύπτει $f(0)=f(1)=2$

ii)Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) τότε η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0,1] επομένως η παραγωγος μηδενίζεται σε ένα τουλ, σημείο του (0,1) επομένως έχουμε ένα κρίσιμο σημείο.
Αν πάλι η f δεν είναι παραγωγίσιμη έστω και σε ένα σημείο στο R τότε έχουμε πάλι ένα κρίσιμο σημείο.
Σε κάθε περίπτωση επομένως η f έχει ένα τουλ. κρίσιμο σημειο.

(δ) Για κάθε $tin[0,1]$ ισχύει

$(f(t)-2)^{2}geq0$ επομένως

$int_{0}^{1}(f(t)-2)^{2}geq0$ και κάνοντας πράξεις

παίρνουμε το ζητούμενο

P.S Αν μπορεί κάποιος απο τους moderators να φτιάξει τη LATEX στην παράθεση

Κώστας

Σωστός Κώστα
Εξήγησε αν θέλεις την επιλογή
$(f(t)-2)^{2}\geq0$
Τυχαία;

galois01 · 20-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Σωστός Κώστα
Εξήγησε αν θέλεις την επιλογή
$(f(t)-2)^{2}geq0$
Τυχαία;

Αρχικά δοκίμασα(αφού ξέραμε και το ολοκλήρωμα από μηδέν έως ένα f(x)dx) με $(f(t)-1)^{2}\geq0$ αλλά είδα ότι δεν βγαίνει και απλά στη συνέχεια παρατήρησα πώς βγαίνει αν αντι για f(x)-1 είχαμε f(x)-2.

manos66 · 20-03-09

Δείτε και αυτό

Αν $\int_{0}^{1}f(t) dt = 2009$ να βρεθεί η μέγιστη τιμή του α αν $\int_{0}^{1}f^2(t) dt\geq a$ .

Συγνώμη για την αρχική έκφραση

manos66 · 20-03-09

Δίνεται η συνάρτηση
$f (x) = \int_{0}^{x}(1 + t +t^2+ ... + t^{2009})dt$
α. Ν' αποδειχθεί ότι η f είναι 1 - 1
β. Αν $\kappa = 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{2010}$ , ν' αποδειχθεί ότι $\int_{0}^{\kappa }[f^{-1}(t) -1]dt =-\frac{2010}{2011}$

kvgreco · 20-03-09

μήπως 2009(2 $\sqrt{2009}$ -1);

Το ερώτημα είναι θα την πάρει την τιμή αυτή ή απλά αποτελεί περιορισμό της τιμής τού ζητούμενου ολοκληρώματος?Είναι δηλαδή αυτό που λέτε εσείς οι μαθηματικοί ένα infimum ή απλά αποκλείει να πάρει το ολοκλήρωμα τιμή μικρότερη τού 2009(2 $\sqrt{2009}$ -1);

Φαίνεται ότι μου έχουν γίνει έμμονη ιδέα οι εκφράσεις τού τύπου "τουλάχιστον" "το πολύ" την παίρνει δεν την παίρνει την τιμή, πράγματα που συζητούσαμε επι μακρόν παλιότερα σε άλλα θέματα με ανισοτικές σχέσεις.

Γιατί μπορεί να θέτουμε την ταυτότητα μεγαλύτερη ή ίση τού μηδέν αλλά μπορεί (δεν το ξέρουμε από τα δεδομένα) αν θα έπρεπε να τη θέσουμε μεγαλύτερη ή ίση π.χ τού 20!

Πώς δεν θα μού δημιουργούσε καμμία σύγχυση το ερώτημα?
Μα αν έλεγε με απλές κουβέντες, βρείτε μιά τιμή κάτω από την οποία δεν μπορεί να βρίσκεται το ζητούμενο ολοκλήρωμα ούτε με ..σφαίρες!!

Χάθηκε το χιούμορ (αλλά πολύ χρήσιμο) από τους καθηγητές?

galois01 · 20-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Δείτε και αυτό

Αν $int_{0}^{1}f(t) dt = 2009$ να βρεθεί η μέγιστη τιμή του α αν $int_{0}^{1}f^2(t) dtgeq a$ .

Συγνώμη για την αρχική έκφραση

H απάντηση που βρήκα είναι διαφορετική από αυτη του kvgreco, βρήκα max(a)=4017.Να η λύση μου

Ισχύει $(f(t)-1)^{2}dt\geq0$ επομένως

$\int_{0}^{1}(f(t)-1)^{2}dt\geq0$ επομένως με πράξεις

βρίσκουμε

$\int_{0}^{1}f^{2}(t)dt\ge0=4017$

Επομένως για να ισχύει $\int_{0}^{1}f^2(t) dt\geq a$

για κάθε χ στο [0,1] παίρνουμε $a\leq4017$

επομένως max(a)=4017

Αν έχω λάθος διορθώστε με.

kvgreco · 20-03-09

Φίλε Κώστα,εμένα μου άλλαξε την άσκηση εντελώς ξαφνικά (καψόνι!!).

-----------------------------------------
Ακολουθώντας αυτή τη φορά άλλο τρόπο λύσης,η μέγιστη τιμή του a μου βγαίνει ${2009}^{2}$ .Η λύση μου έχει ως εξής:
Έστω ένα τυχαίο b>0.Έτσι έχουμε τη σχέση: ${[f(t)-\sqrt{b}]}^{2}\geq 0$ ------> ${f(t)}^{2} - 2\sqrt{b}f(t) + b \geq 0$ -------------> $\int_{0}^{1}{f(t)}^{2}dt \geq 2\sqrt{b}\int_{0}^{1}f(t)dt - \int_{0}^{1}bdt$ --------> $\int_{0}^{1}{f(t)}^{2}dt \geq 4018\sqrt{b} - b$ .
Παίρνω και μελετώ τη μονοτονία της συνάρτησης g(b)= $4018\sqrt{b} - b$ .Παρατηρώ ότι παρουσιάζει μέγιστο στο b= ${2009}^{2}$ την τιμή a= ${2009}^{2}$ .
Άρα ισχύει: $\int_{0}^{1}{f(t)}^{2}dt \geq {2009}^{2}$ .

manos66 · 20-03-09

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Φίλε Κώστα,εμένα μου άλλαξε την άσκηση εντελώς ξαφνικά (καψόνι!!).
-----------------------------------------
Ακολουθώντας αυτή τη φορά άλλο τρόπο λύσης,η μέγιστη τιμή του a μου βγαίνει ${2009}^{2}$ .Η λύση μου έχει ως εξής:
Έστω ένα τυχαίο b>0.Έτσι έχουμε τη σχέση: ${[f(t)-sqrt{b}]}^{2}geq 0$ ------> ${f(t)}^{2} - 2sqrt{b}f(t) + b geq 0$ -------------> $int_{0}^{1}{f(t)}^{2}dt geq 2sqrt{b}int_{0}^{1}f(t)dt - int_{0}^{1}bdt$ --------> $int_{0}^{1}{f(t)}^{2}dt geq 4018sqrt{b} - b$ .
Παίρνω και μελετώ τη μονοτονία της συνάρτησης g(b)= $4018sqrt{b} - b$ .Παρατηρώ ότι παρουσιάζει μέγιστο στο b= ${2009}^{2}$ την τιμή a= ${2009}^{2}$ .
Άρα ισχύει: $int_{0}^{1}{f(t)}^{2}dt geq {2009}^{2}$ .

:thanks:

mostel · 21-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Δίνεται η συνάρτηση
$f (x) = int_{0}^{x}(1 + t +t^2+ ... + t^{2009})dt$
α. Ν' αποδειχθεί ότι η f είναι 1 - 1
β. Αν $kappa = 1 + frac{1}{2}+frac{1}{3}+ ... +frac{1}{2010}$ , ν' αποδειχθεί ότι $int_{0}^{kappa }[f^{-1}(t) -1]dt =-frac{2010}{2011}$

Για να θυμηθώ λίγο τα νιάτα :no1:

Για το i, απλώς παραγωγίζουμε και έχουμε:

$f'(x)=1+x+\ldots +x^{2009}>0\quad ( x > 0 )$ , επομένως είναι γνησίως αύξουσα, άρα και αντιστρέφεται.

Για το ii,

Έχουμε:

$f(1)=\kappa$

Έτσι, θέτοντας $t=f(u)$ , έχουμε τελικά:

$\int_0^1 \left[uf'(u)-f(u)\right]=\ldots=-\frac{2010}{2011}$

Ωραία άσκηση. Αμφιβάλλω αν θα την έλυναν 5-10 στους 100..

- Στέλιος

kvgreco · 21-03-09

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Για να θυμηθώ λίγο τα νιάτα :no1:

Για το i, απλώς παραγωγίζουμε και έχουμε:

$f'(x)=1+x+ldots +x^{2009}>0quad ( x > 0 )$ , επομένως είναι γνησίως αύξουσα, άρα και αντιστρέφεται.

Στέλιο από πού προκύπτει ότι x>0 ?
Έτσι όπως ορίζει τη συνάρτηση χωρίς κανένα περιορισμό, δυσκολεύομαι να καταλάβω γιατί το χ πρέπει να είναι θετικό.
Εγώ παραγώγισα και μετά πήρα το άθροισμα των όρων της Γ.Π αλλά είμαι ακόμη στη φάση της αναζήτησης γιατί έχω να γράψω και μία έκθεση.

galois01 · 21-03-09

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Φίλε Κώστα,εμένα μου άλλαξε την άσκηση εντελώς ξαφνικά (καψόνι!!).
-----------------------------------------
Ακολουθώντας αυτή τη φορά άλλο τρόπο λύσης,η μέγιστη τιμή του a μου βγαίνει ${2009}^{2}$ .Η λύση μου έχει ως εξής:
Έστω ένα τυχαίο b>0.Έτσι έχουμε τη σχέση: ${[f(t)-sqrt{b}]}^{2}geq 0$ ------> ${f(t)}^{2} - 2sqrt{b}f(t) + b geq 0$ -------------> $int_{0}^{1}{f(t)}^{2}dt geq 2sqrt{b}int_{0}^{1}f(t)dt - int_{0}^{1}bdt$ --------> $int_{0}^{1}{f(t)}^{2}dt geq 4018sqrt{b} - b$ .
Παίρνω και μελετώ τη μονοτονία της συνάρτησης g(b)= $4018sqrt{b} - b$ .Παρατηρώ ότι παρουσιάζει μέγιστο στο b= ${2009}^{2}$ την τιμή a= ${2009}^{2}$ .
Άρα ισχύει: $int_{0}^{1}{f(t)}^{2}dt geq {2009}^{2}$ .

Πολύ ωραία λύση φίλε Κώστα.:bravo: Ωστόσο δεν μπορώ να καταλάβω πως

εμείς θα είμαστε σίγουροι οτι βρήκαμε την μέγιστη τιμή που ζητάμε.Με τη

λύση που έδωσα πιο πάνω βγάζω ότι $\alpha\geq4017$ ενώ

εσύ βγάζεις $\alpha\geq2009^{2}$ . Πως γίνεται επομένως να

ισχύουν και τα δύο?

P.S $\alpha\geq2009^{2}$ προκύπτει και αν θεωρήσουμε $(f(t)-t)^{2}$ και ολοκληρώσουμε όπως κάναμε προηγουμένως.

Φιλικά Κώστας

mostel · 21-03-09

Αφού το ολοκλήρωμα είναι από 0 έως χ, συνεπάγεται ότι το χ θα 'ναι μεγαλύτερο του 0...

- Στέλιος

kvgreco · 21-03-09

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Αφού το ολοκλήρωμα είναι από 0 έως χ, συνεπάγεται ότι το χ θα 'ναι μεγαλύτερο του 0...

- Στέλιος

Συγγνώμη αλλά καθηγητής μας έBαλε όμοια άσκηση και μέσα στο ολοκλήρωμα είχε ένα πολυώνυμο πέμπτου βαθμού και μας είπε(και το ξέρω κι εγώ) ότι πεδίο ορισμού της συνάρτησης ολοκλήρωμα είναι όλο το R.
Δηλαδή το πεδίο ορισμού της δοθείσας συνάρτησης είναι το [0,+00);

mostel · 21-03-09

Εγώ σου μιλάω για την f'(x) , όχι για την αρχική όμως...

- Στέλιος

manos66 · 21-03-09

$f'(x) = 1 + x + x^2 + ... + x^{2009} = \left\{\begin{matrix}\frac{x^{2010}-1}{x-1}, x\neq 1 \\ 2010, x = 1\end{matrix}\right.$
Έπρεπε να δώσω x>-1.

manos66 · 23-03-09

Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, με f΄(0)=2 και ισχύει $f(a+x)=f(a)f(x)e^{2ax}$ , για κάθε $a,x \in R$
α) Ν.δ.ο. $f(x) \neq 0$ , για κάθε $x \in R$
β) Ν.δ.ο. f(0) = 1.
γ) Ν.δ.ο. η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f΄(x) = 2 f(x) (x+1), για κάθε $x \in R$
δ) Να βρεθεί ο τύπος της f.

galois01 · 23-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, με f΄(0)=2 και ισχύει $f(a+x)=f(a)f(x)e^{2ax}$ , για κάθε $a,x in R$
α) Ν.δ.ο. $f(x) neq 0$ , για κάθε $x in R$
β) Ν.δ.ο. f(0) = 1.
γ) Ν.δ.ο. η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f΄(x) = 2 f(x) (x+1), για κάθε $x in R$
δ) Να βρεθεί ο τύπος της f.

Αρχικά θα δείξω οτι η f είναι παραγωγίσιμη στο R

$lim_{x->x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(x_{0})$ για το τυχαίο $x_{o}\in{R}$

θέτουμε $x=x_{0}+h$ με h->0 και χρησιμοπούμε τη σχέση της υπόθεσης οπότε το όριο γίνεται

$\lim_{x->x_{0}}=\frac{f(x_{0})f(h)e^{2x_{0}h}-f(x_{0})}{h}$

στη συνέχεια προσθαφαιρούμε το $e^{2x_{0}h}$

και τελικά παίρνουμε ότι το αρχικό όριο γίνεται

$\lim_{h->0}e^{2x_{0}h}\frac{(f(h)-1)}{h}+\frac{e^{2x_{0}h-1}}{h}$

Άρα

$f'(x_{0})=(2x_{0}+2)f(x_{0})$

(α) Παραγωγίζουμε την σχέση της υπόθεσης ως προς χ και παίρνουμε

$f'(a+x)=f(a)f'(x)e^{2ax}+2ae^{2ax}f(a)f(x)$ (2) για κάθε χ πραγματικό

Υποθέτουμε οτι υπάρχει $x_{0}\in{R}$ τέτοιο ώστε $f(x_{0})=0$

Για $\alpha=x_{0}$ η (2) μας δίνει

$f'(x+x_{0})=0$ για κάθε χ πραγματικό

Η τελευταία για $x=-x_{0}$ μας δίνει $f'(0)=0$ που είναι άτοπο από την υπόθεση αφού $f'(0)=2$ .

Άρα $f(x)\neq 0$ για κάθε χ πραγματικό

(Θα μπορούσαμε να παραγωγίσουμε και ως προς α και να θέσουμε μετα $x=x_{0}$ κτλ.)

(β) Για χ=α=0 η σχέση της υπόθεσης μας δίνει

$f(0)(f(0)-1)=0$ και από το (α) παίρνουμε $f(0)=1$

(γ) Παραγωγίζουμε την σχέση της υπόθεσης ως προς χ και στη συνέχεια θέτουμε χ=0 όποτε προκύπτει
f΄(α) = 2 f(α) (α+1), και στη συνέχεια θέτουμε χ=α

(δ)Από το (α) μπορούμε να διαιρέσουμε με f(x) και κατα τα γνωστά προκύπτει

$f(x)=e^{x^{2}+2x}$

P.S Νομίζω τώρα οτι δεν υπάρχει κάποιο άλλο λαθος

Κώστας

manos66 · 23-03-09

Δεν γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο IR
Γιατί f(0) είναι διάφορο του 0;

galois01 · 23-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Δεν γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο IR

Γιατί f(0) είναι διάφορο του 0;

Για το πρώτο έχετε δίκιο από βιασύνη είδα το f'(0) και δεν πρόσεξα οτι ζητάει στο (γ) ν.δ.ο είναι παραγωγίσιμη στο R.

Δεύτερον από το (α) έχουμε f(x) διάφορη του μηδενός για κάθε χ πραγματικό.

Θα κοιτάξω τώρα ν.δ.ο είναι παραγωγίσιμη και θα το διορθώσω.

Κώστας

edit:το διόρθωσα

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος