Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

djimmakos · 14-12-08

Αρχική Δημοσίευση από chris_90:
Ελεος! Ειχα φτασει σ' αυτη την ανισωση και δεν μπορουσα μετα να παω στην $f(x)<2x$ . Κι εκει κολλησα...
Ειχα βρει το $lim_{xrightarrow +infty}frac{{f(x)}^{3}}{x^3}=0$ αν θυμαμαι καλα, κατι τετοιο...
Ωραιες ασκησεις αυτες (φτανω σε σημειο να μου αρεσουν τα μαθηματικα με κατι τετοιες ), αλλα ΟΧΙ για πανελλαδικες!

Έζησα να το δω και αυτό

kvgreco · 14-12-08

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Έζησα να το δω και αυτό

Djimmakos πολύ σε πάω ρε φίλε! Χωρίς να σε ξέρω δείχνεις πολύ εύθυμο παιδί.Χώνεσαι παντού αλλά έχεις ένα τρόπο να γίνεσαι συμπαθής.

_ann_ · 14-12-08

ευχαριστω!μαλλον οχι..

chris_90 · 15-12-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Djimmakos πολύ σε πάω ρε φίλε! Χωρίς να σε ξέρω δείχνεις πολύ εύθυμο παιδί.Χώνεσαι παντού αλλά έχεις ένα τρόπο να γίνεσαι συμπαθής.

Μονο σ' αυτους που εχει οικειοτητα τη λεει!

Και κλασικα, χωνεται σε ασκησεις Γ' Λυκειου (χαρα στο κουραγιο του

).

who · 19-12-08

Αν ισχύει $\left|xf(y)-yf(x) \right|\leq 1$ για κάθε $x,y\epsilon\mathbb{R}$ , να αποδείξετε ότι $f(x)=cx$ , όπου $c\epsilon\mathbb{R}$ σταθερά.

ntinoula · 20-12-08

παιδια εγο περσι ημουν θεωρητικη κ φετος πηγα θετικη....δεν καταλαβαινω τιποτα στα μαθηματικα...ενταξει χημεια κ φυσικη αλλα μαθηματικα δεν μπορω με τιποτα.....

tasosatha · 22-12-08

Ποιο ειναι το οριο της f(x)=x^2-2lnx οταν το χ τηνει στο +απειρο?

exc · 22-12-08

$\lim_{x \to +\infty}(x^2-2lnx)=\lim_{x \to +\infty}[x^2(1-\frac{2lnx}{x^2})]$ .

Όμως από τον Hospital έχουμε: $\lim_{x \to +\infty}\frac{2lnx}{x^2}=\lim_{x \to +\infty}\frac{2\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x^2}=0$

Άρα: $\lim_{x \to +\infty}(1-\frac{2lnx}{x^2})=1$

Και τελικά: $\lim_{x \to +\infty}[x^2(1-\frac{2lnx}{x^2})]=+\infty$

kvgreco · 22-12-08

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
1) θεωρουμε τη συναρτηση $f:mathbb{R}to mathbb{R}$ η οποια ειναι συνεχης και 1-1.υποθετουμε οτι $f(2x-f(x))=x forall x in mathbb{R}$ και οτι $exists xi in mathbb{R} :f(xi)=xi$ .να δειξετε οτι $f(x)=x forall x in mathbb{R}$

Γειά σας έπειτα από καιρό.(Είναι αλήθεια ότι έξω έχει κακό καιρό και τώρα ρίχνει..καρεκλοπόδαρα! :sΞαφνική μπόρα)
Καμμιά φορά είναι τόσο απλές οι λύσεις που όμως αδυνατούμε να τις δούμε.Η παραπάνω άσκηση τού riemann80 με ταλαιπώρησε πολύ προσπαθώντας κατά καιρούς να τη λύσω.Ήξερα τι έπρεπε να κάνω αλλά στο καθοριστικό σημείο έβρισκα τοίχο.
Ώσπου ζήτησα τη βοήθεια τού καταπληκτικού καθηγητή(επιμένω να τον αποκαλώ έτσι γιατί πέρα από άριστος επιστήμονας είναι και φοβερός άνθρωπος), ο οποίος απλά μού επέστησε την προσοχή σε ένα συγκεκριμένο σημείο δηλαδή κοντολογίς μού έδωσε την απάντηση.
Πάμε λοιπόν.
Είχα ήδη αποδείξει ότι δεν μπορεί να ισχύει f(x)<x γιά κανένα x που ειναι το εύκολο.
Έμενε να δείξω επίσης ότι ούτε η σχέσηι f(x)>x έχει ισχύ, που ήταν και η "δύσκολη" περίπτωση.
Και έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.Τότε f(x)>f[2x-f(x)] οπότε x>2x-f(x) που όμως γιά x=ξ δίνει ξ>2ξ-f(ξ) δηλαδή τελικά ξ>ξ!! [Αυτό ήταν το κρίσιμο σημείο της... στραβομάρας μου!]
Όμοια δουλεύοντας και θεωρώντας τη συνάρτηση γνησίως φθίνουσα καταλήγουμε πάλι σε άτοπο.Άρα σε κάθε περίπτωση θα ισχύει f(x)=x γιά κάθε x πραγματικό.

manos66 · 22-12-08

Έμενε να δείξω επίσης ότι ούτε η σχέσηι f(x)>x έχει ισχύ, που ήταν και η "δύσκολη" περίπτωση.
Και έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.Τότε f(x)>f[2x-f(x)] οπότε x>2x-f(x) που όμως γιά x=ξ δίνει ξ>2ξ-f(ξ) δηλαδή τελικά ξ>ξ!!

Ξέρουμε ότι η σχέση f (x) > x δεν ισχύει για το ξ, αφού f (ξ) = ξ.

Υποθέτεις ότι υπάρχει x ώστε f (x) > x και έπειτα θέτεις όπου x = ξ;

m3Lt3D · 22-12-08

η αρνηση του 'f(x)>x για καθε χ ' δεν ειναι ισοδυναμη με την προταση 'f(x)<=χ για καθε χ'.

kvgreco · 22-12-08

Ε όχι ρε γμτ.
Λάθος κατάλαβα την υπόδειξη.Αλλά έτσι πάει μακριά η βαλίτσα.Ο ίδιος μού είπε ότι είναι αρκετά δύσκολη άσκηση.
Το μόνο που απομένει είναι να τον παρακαλέσω να μου δώσει τη λύση και να αφήσει τούς γρίφους!
Έχει μπεί λέει στη Ρουμάνικη Ολυπιάδα, ακόμη έχει μπεί στην Ολυμπιάδα APMO (Asian Pacific Mathmetical Olympiad).Την έχει επίσης κάποιος Small στο βιβλίο του '' functional equations '', σελίδα 29 και συνοδεύεται από υπόδειξη. Μόνο που είδε λέει την υπόδειξη, την παράτησε όπως είπε ένας μαθητής του! Μα καλά τόσο αγγούρι άσκηση είναι?
Τελικά δεν πρόκειται να τη δούμε ολοκληρωμένη.
Τελικά ισχύει αυτό που λένε μικρή στο μάτι μεγάλη στο... κρεββάτι!

riemann80 · 23-12-08

κατ αρχην γεια σας,

η αληθεια ειναι οτι προκειται για μια πολυυυυ δυσκολη ασκηση της οποιας τη λυση αγνοουσα ως τη μερα που την ανεβασα στο φορουμ.

την ανεβασα διοτι εχει μια πανεμορφη λυση την οποια ειναι οντως παραλογο να ζηταει καποιος απο εναν μαθητη της γ λυκειου.την παραθετω με το ενδεχομενο του λαθους ανοιχτο:

κατ αρχην ειναι ευκολο να δειξουμε οτι $f(x)+f^{-1}(x)=2x \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ . θετοντας διαδοχικα οπου χ το f(χ) δειχνουμε με επαγωγη οτι ισχυει $f^{n+2}(x)-2f^{n+1}(x)+f^n(x)=0 \ \ \forall n \in \mathbb{N}$ οπου βεβαια το f^n συμβολιζει τη συνθεση της f με τον εαυτο της n φορες.Απο την τελευταια σχεση αποδυκνυουμε οτι $f^n(x)=Α\cdot n+x \ \ \forall n \in \mathbb{N}$ για καποιο Α απ οπου για n=1 παιρνουμε f(x)=x+A για καθε χ.τωρα για χ=ξ παιρνουμε Α=0 οποτε f(x)=x για καθε χ.

ειδικοτερα η συνεπαγωγη $f^{n+2}(x)-2f^{n+1}(x)+f^n(x)=0 \ \ \forall n \in \mathbb{N}\Rightarrow f^n(x)=Α\cdot n+x \ \ \forall n \in \mathbb{N}$ ειναι κατα τη γνωμη μου το δυσκολοτερο κομματι της ασκησης.

ζητω συγγνωμη αν προκαλεσα ταλαιπωρια αλλα μια ωραια λυση παντα αποζημιωνει αυτον που προσπαθησε.οι λεπτομερειες της αποδειξης δεν εχουν τοση σημασια νομιζω οση εχουν τα βηματα της,που διαφερουν κατα πολυ απο μια κλασσικη ασκηση στις συνεχεις συναρτησεις.

σημ:αν υποθεσουμε οτι η συναρτηση ειναι παραγωγισιμη και οχι απλως συνεχης τοτε η λυση απλοποιειται σημαντικα και ειναι μεσα στα ορια της γ λυκειου

tasosatha · 28-12-08

Α) Να βρειτε τα όρια:
1. $\lim_{+\propto }(ln(1+{e}^{x})-x)$
2. $\lim_{-\propto }\frac{ln(1-x)}{ln(1+{e}^{-x})}$

Β. Αν η ευθεία ψ=χ+2008 είναι ασύμπτωτη της γραφικης παράστασης της f στο +άπειρο,

1. να βρεθουν τα όρια: $\lim_{+\propto }\frac{f(x)}{x}$ και $\lim_{+\propto }(f(x)-x)$

2. να βρεθεί ο πραγματικος αριθμος k ώστε:
$<br /> \lim_{+\propto }\frac{\sqrt{4{x}^{2}+3}f(x)+2k{x}^{2}+2008}{{x}^{2}f(x)-{x}^{3}+\sqrt{{x}^{4}+3}}<br />$
-----------------------------------------
Μπορει κανενας να βοηθησει?

manos66 · 29-12-08

A1.
$\\ \lim_{x\rightarrow +\propto }\left[ln\left(1+e^x \right) -x\right]= \\ = \lim_{x\rightarrow +\propto }\left[ln\left(1+e^x \right) -ln(e^x)\right] \\ = \lim_{x\rightarrow +\propto }\left(ln\frac{1+e^x}{e^x}\right) \\ = \lim_{x\rightarrow +\propto }\left[ln(e^{-x}+1)\right] = 0$
-----------------------------------------
A2.
$\\ \lim_{x\rightarrow -\propto }\frac{ln(1-x)}{ln(1+e^{-x})} =_{L'Hospital}^{\left(\frac{+\propto }{+\propto } \right)} \\ = \lim_{x\rightarrow -\propto }\frac{\frac{-1}{1-x}}{\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x} }} \\ = \lim_{x\rightarrow -\propto }\frac{1+e^{-x}}{e^{-x}(1-x)}} \\ = \lim_{x\rightarrow -\propto }\frac{e^x+1}{1-x} \\ = 0$
-----------------------------------------
B1
$\\ \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x} = 1 \\ \lim_{x\rightarrow +\propto }\left[ f(x)-x \right]= 2008$
-----------------------------------------
B2.
$\\ \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{\sqrt{4x^2+3}f(x)+2kx^2+2008}{x^2f(x)-x^3+\sqrt{x^4+3}} = \\ = \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{\frac{\sqrt{4x^2+3}f(x)}{x^2}+\frac{2kx^2}{x^2}+\frac{2008}{x^2}}{\frac{x^2f(x)}{x^2}-\frac{x^3}{x^2}+\frac{\sqrt{x^4+3}}{x^2}} \\ = \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{\frac{x\sqrt{4+\frac{3}{x^2}}f(x)}{x^2}+2k+\frac{2008}{x^2}}{f(x)-x+\frac{x^2 \sqrt{1+\frac{3}{x^4}}}{x^2}} \\ = \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{\frac{f(x)}{x}\sqrt{4+\frac{3}{x^2}}+2k+ \frac{2008}{x^2}}{f(x)-x+ \sqrt{1+\frac{3}{x^4}}}} \\ = \frac{1^.2+2k+0}{2008+1}=\frac{2k+2}{2009}$

riemann80 · 05-01-09

να βρεθουν ολες οι συναρτησεις f που ειναι δυο φορες παραγωγισιμες με την ιδιοτητα:

"οι εφαπτομενες των f,f' σε καθε σημειο ειναι καθετες"

Semfer · 05-01-09

Ωραια ασκηση! Σκεφτηκα μια λυση με διανυσματα τα οποια δυστυχως απο σο ξερω ειναι εκτος υλης...

Έστω οι συναρτησεις y(t) που ψαχνουμε ειναι δυο φορες παραγωγισιμες στο Α. Θεωρουμε τις παραμετρικες καμπυλες

$\vec{r_1}(t)=(t,y(t))$

και $\vec{r_2}(t)=(t,y'(t)),\hspace{3}t\in A$

Τα διανυσματα $\vec{u(t)}=\frac{d\vec{r_1}(t)}{dt}=(1,y'(t))$ και $\vec{v(t)}=\frac{d\vec{r_2}(t)}{dt}=(1,y''(t))$ ειναι παραλληλα προς τις εφαπτομενες των y(t) και y'(t) αντιστοιχα σε καθε σημειο t. Επομενως θελουμε:

$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ (εσωτερικο γινομενο)

$(1,y'(t))\cdot (1,y''(t))=0$

$y'y''=-1$

Η παραπανω διαφορικη εξισωση παρολο που ειναι μη γραμμικη λυνεται πολυ ευκολα ως εξης:

Παρατηρουμε οτι $2y'y''=-2\Rightarrow (y')^2=-2t+c$ ολοκληρωνουμε και εχουμε

$y(t)=\pm\int\sqrt{-2t+c}\hspace{3}dt+c_2$

Επομενως $y(t)=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{(c_1-t)^3}+c_2,\hspace{3}t\in (-\infty,c_1)$

manos66 · 05-01-09

Στο c1 δεν είναι δεύτερη φορά παραγωγίσιμη

Semfer · 05-01-09

Ναι εχεις δικιο, το διορθωσα.

Hurr · 06-01-09

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
Ωραια ασκηση! Σκεφτηκα μια λυση με διανυσματα τα οποια δυστυχως απο σο ξερω ειναι εκτος υλης...

Έστω οι συναρτησεις y(t) που ψαχνουμε ειναι δυο φορες παραγωγισιμες στο Α. Θεωρουμε τις παραμετρικες καμπυλες

$vec{r_1}(t)=(t,y(t))$

και $vec{r_2}(t)=(t,y'(t)),hspace{3}tin A$

Τα διανυσματα $vec{u(t)}=frac{dvec{r_1}(t)}{dt}=(1,y'(t))$ και $vec{v(t)}=frac{dvec{r_2}(t)}{dt}=(1,y''(t))$ ειναι παραλληλα προς τις εφαπτομενες των y(t) και y'(t) αντιστοιχα σε καθε σημειο t. Επομενως θελουμε:

$vec{u}cdotvec{v}=0$ (εσωτερικο γινομενο)

$(1,y'(t))cdot (1,y''(t))=0$

$y'y''=-1$

Η παραπανω διαφορικη εξισωση παρολο που ειναι μη γραμμικη λυνεται πολυ ευκολα ως εξης:

Παρατηρουμε οτι $2y'y''=-2Rightarrow (y')^2=-2t+c$ ολοκληρωνουμε και εχουμε

$y(t)=pmintsqrt{-2t+c}hspace{3}dt+c_2$

Επομενως $y(t)=pmfrac{2sqrt{2}}{3}sqrt{(c_1-t)^3}+c_2,hspace{3}tin (-infty,c_1)$

Μπορούμε να πούμε οτι επειδή το y' είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της y και y'' ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της y'
και ταυτόχρονα οι δυο εφαπτομένες ειναι κάθετες σε κάθε σημείο
y'y''=-1

Ωραία τα διανύσματα όπως και να χει

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος