Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

manos66 · 21-11-08

α)
$z_1^2+z_1z_2+z_2^2 = 0 \Rightarrow \\ (z_1-z_2)(z_1^2+z_1z_2+z_2^2) = 0 \Leftrightarrow \\ z_1^3-z_2^3 = 0 \Leftrightarrow \\ z_1^3=z_2^3$

β)
$z_1^3=z_2^3 \Rightarrow \\ \left| z_1^3\right|=\left| z_2^3\right| \Leftrightarrow \\ \left| z_1\right|^3=\left| z_2\right|^3 \Leftrightarrow \\ \left| z_1\right|=\left| z_2\right|$
άρα (ΟΑ) = (ΟΒ) δηλαδή το ΟΑΒ είναι ισοσκελές

γ)
$\\ \left( \frac{z_1}{z_2}\right)^2+\left( \frac{z_2}{z_1}\right)^2= \frac{z_1^2}{z_2^2}+\frac{z_2^2}{z_1^2} = \frac{z_1^4+z_2^4}{z_1^2z_2^2}=\frac{z_1^3z_1+z_2^3z_2}{z_1^2z_2^2} \\ =\frac{z_2^3z_1+z_1^3z_2}{z_1^2z_2^2}=\frac{z_1z_2(z_2^2+z_1^2)}{z_1^2z_2^2}=\frac{z_2^2+z_1^2}{z_1z_2}=\frac{-z_1z_2}{z_1z_2}=-1$
ή
$\\ z_1^2+z_1z_2+z_2^2 = 0 \Rightarrow \\ z_1^2+z_2^2 =-z_1z_2 \Leftrightarrow \\ \frac{z_1^2}{z_1z_2}+\frac{z_2^2}{z_1z_2} =-1 \Leftrightarrow \\ \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1} =-1 \Rightarrow \\ \\ \left(\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}\right)^2 =(-1)^2 \Leftrightarrow \\ \left( \frac{z_1}{z_2}\right)^2+2+\left( \frac{z_2}{z_1}\right)^2=1 \Leftrightarrow \\ \left( \frac{z_1}{z_2}\right)^2+\left( \frac{z_2}{z_1}\right)^2= -1$

δ)
$\\ z_1^2+z_1z_2+z_2^2 = 0 \Leftrightarrow \\ z_1^2+2z_1z_2+z_2^2 = z_1z_2 \Leftrightarrow \\ (z_1+z_2)^2 = z_1z_2 \Rightarrow \\ \left|z_1+z_2\right|^2 = \left|z_1\right| \left|z_2\right| \Leftrightarrow \\ \left|z_1+z_2\right|^2 = \left|z_1\right|^2 \Leftrightarrow \\ \left|z_1+z_2\right| = \left|z_1\right| \Leftrightarrow \\ \left|z_1+z_2\right| = \left|z_1\right|= \left|z_2\right|\Leftrightarrow \\ \left|z_1+z_2\right| = \left|z_1\right|= \left|(z_1+z_2)-z_1\right|$
άρα (OΓ) = (ΟΑ) = (ΑΓ) δηλαδή το ΟΑΓ είναι ισόπλευρο.

menenick · 21-11-08

ωραια αυτο εκανα και εγω.... αλλα η ασκηση δεν ζηταει ουσιαστικα να υπολογισουμε τα f(O) και g(O)???

manos66 · 21-11-08

Δεν νομίζω ότι μπορούμε με αυτά τα δεδομένα

menenick · 21-11-08

οκ εχεις δικιο . εγω δεν παρατηρησα κατι στο απο πανω ερωτημα της ασκησης:xixi:.:thanks:

riemann80 · 21-11-08

αν f ειναι συνεχης συναρτηση στο [α,β] και $x_1,x_2,\cdots ,x_n \in [a,b]$ να δειξετε οτι υπαρχει

$x_0 \in [a,b]$ ωστε

$f(x_0)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$

miv · 21-11-08

Αφού f συνεχής σε [α,β] θα παρουσιάζει μέγιστη τιμή f(k)=Μ κι ελάχιστη τιμή f(λ)=μ με κ,λε[α,β]. Τότε για κάθε χε[α,β] θα ισχύει:

μ<=f(x1)<=M
μ<=f(x2)<=Μ
.
.
.
.
.(ν φορές)
.
.
μ<=f(xν)<=Μ

Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισώσεις και διαιρώντας με το ν, το οποίο εκφράζει πλήθος άρα είναι θετικός αριθμός έχω:

μ<=(χ1+χ2+...+χν)/v<=Μ

Τότε θα υπάρχει κάποιο η=(χ1+χ2+...+χν)/ν στο [μ,Μ] τέτοιο ώστε 'η' τιμή της συνάρτησης, αφού η f ως συνεχής στο [α,β] θα παίρνει όλες τις τιμές στο [μ,Μ]. Διαφορετικά στο [α,β] θα υπάρχει χο τέτοιο ώστε f(xo)=η.

riemann80 · 21-11-08

μπραβο,σωστος!!!!

miv · 21-11-08

Ο manos66 μου υπέδειξε ότι πρέπει επίσης να πούμε τι γίνεται αν τύχει και η f είναι σταθερή, δηλαδή δεν ισχύει το f(a) διάφορο f(b) που είναι προυπόθεση του ΘΕΤ οπότε δεν έχουμε διάστημα [m,M]. Δεν ξέρω αν είμαι σωστός αλλά είπα:

Αφού f σταθερή, τότε ισχύει f(x1)=f(x2)=...=f(xν). Συνεπώς f(x1)+f(x2)+...+(xν)=νf(x0). Αυτό ισχύει γιατί όλα τα χ, δεδομένα και ζητούμενα ανήκουν στο [α,β] και επιλέγω να εκφράσω το άθροισμα συναρτήση του f(x0) που ισούται με ένα οποιοδήποτε άλλο f(ξ) στο διάστημα. Μετά απλοποιείται το ν, ως θετικός, κι έχω f(xo)=f(xo) που είναι αληθές για κάποιο χοε[α,β]

Afey · 22-11-08

Ωραία άσκηση. Γενικώς ο riemann80 βάζει ωραίες ασκήσεις... Keep it up

!

zidane4ever · 23-11-08

Παρακαλω αν εχετε ξερετε το σιτε βαλτε το.

djimmakos · 23-11-08

Kάνω post για να μην θαφτεί το θέμα μ' αυτή τη χρήσιμη σελίδα:no1:

djimmakos · 23-11-08

Βρήκα αυτό το site το οποίο περιέχει πραγματικά πολλά:no1:

Καλή δύναμη! :bye:

UnSourCeR · 23-11-08

$F(x) =ax + \left| z + \frac{1}{\bar{z}} \right| - \sqrt{ax^2 +\left| z + \frac{1}{\bar{z}} \right|x + \gamma}$

Αν $\lim_{x \to \propto } = 1$ (είναι limf(x) τείνει στο + απέιρο =1 απλά δεν ήξερα πως να το γράψω)

1) Να δείξετε ότι $a=1$ και $\left| z + \frac{1}{\bar{z}} \right|=2$

2) Να δείξετε ότι $\frac{1+ z^n}{1+\bar{z}^n} = \left( \frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)^n$

riemann80 · 24-11-08

θετω $k=|z+\frac{1}{\overline z }|$ (για μα μην το σερνω) και μετα απο πραξεις βρισκω ότι $f(x)=k+x\left(a-\sqrt{a+\frac{1}{x}+\frac{\gamma}{x^2}}\right)$ οποτε για να εχει η συναρτηση πεπερασμενο οριο στο απειρο πρεπει το οριο της παρενθεσης να ειναι μηδεν.αυτο δινει α=0 η α=1 απο τις οποιες μονο το α=1 ειναι δεκτο διοτι για α=0 το οριο βγαινει -απειρο.

θετωντας στην αρχη εκφραση της συναρτησης το α=1 εχουμε $ 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x + k - \sqrt {x^2 + kx + \gamma } } \right)$ απ οπου πολλαπλασιαζοντας με συζηγη παρασταση βλεπουμε ευκολα οτι κ=2.

επομενως $ \left| {z + \frac{1} {{\overline z }}} \right| = 2 \Rightarrow .... \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \overline z = \frac{1}{z}$ και απο αυτο επεται με πραξεις οτι $ \frac{{1 + z^n }}{{1 + \overline z ^n }} = \left( {\frac{{1 + z}}{{1 + \overline z }}} \right)^n $ (κανοντας πραξεις και στα δυο μελη)

UnSourCeR · 24-11-08

Σε ευχαριστώ για την απάντηση σου , συγγνώμη αν γίνομαι φορτικός αλλά μπορείς να αναλύσεις λίγο πιο πολύ το κάνουμε πράξεις?

$f(x) = ax + k - \sqrt{x^2(a + \frac{k}{x} + \frac{\gamma }{x^2}} = ax + k - \left| x\right| \sqrt{a +\frac{k}{x} + \frac{\gamma }{x^2}}$

Πώς συνεχίζω? Ευχαριστώ και πάλι για την απάντησή σου!

riemann80 · 24-11-08

επειδη το οριο ειναι στο + απειρο μπορουμε να θεωρουμε οτι το χ παιρνει μεγαλες τιμες αρα θετικες.επομενως το απολυτο βγαινει χωρις να διακρινουμε περιπτωσεις.στη συνεχεια βγαινει κοινος παραγοντας το χ και συνεχιζουμε....

riemann80 · 24-11-08

1) θεωρουμε τη συναρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ η οποια ειναι συνεχης και 1-1.υποθετουμε οτι $f(2x-f(x))=x \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ και οτι $\exists \xi \in \mathbb{R} :f(\xi)=\xi$ .να δειξετε οτι $f(x)=x \ \forall x \in \mathbb{R}$

2) θεωρουμε τη συναρτηση $f:[0,2]\to \mathbb{R}$ η οποια ειναι συνεχης και υποθετουμε οτι $f(0)=f(2)$ να δειξετε οτι $:|$ x-y|=1" /> για τα οποια $f(x)=f(y)$ .

PrIdE FanatiX · 24-11-08

δεν το εμφανιζει:what::what:

Iraklis7 · 24-11-08

ούτε εμενα..

djimmakos · 24-11-08

Oύτε και εμένα. Και να φανταστείτε είχε τα πάντα:

- 60 σελίδες ασκήσεις για κάθε κεφάλαιο
- τρίωρα και μονόωρα διαγωνίσματα...

Δε ξέρω αν θα φτιάξει

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος