Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

manos66 · 2008-11-21T15:06:16+0200

α)
$z_1^2+z_1z_2+z_2^2 = 0 \Rightarrow \\ (z_1-z_2)(z_1^2+z_1z_2+z_2^2) = 0 \Leftrightarrow \\ z_1^3-z_2^3 = 0 \Leftrightarrow \\ z_1^3=z_2^3$

β)
$z_1^3=z_2^3 \Rightarrow \\ \left| z_1^3\right|=\left| z_2^3\right| \Leftrightarrow \\ \left| z_1\right|^3=\left| z_2\right|^3 \Leftrightarrow \\ \left| z_1\right|=\left| z_2\right|$
άρα (ΟΑ) = (ΟΒ) δηλαδή το ΟΑΒ είναι ισοσκελές

γ)
$\\ \left( \frac{z_1}{z_2}\right)^2+\left( \frac{z_2}{z_1}\right)^2= \frac{z_1^2}{z_2^2}+\frac{z_2^2}{z_1^2} = \frac{z_1^4+z_2^4}{z_1^2z_2^2}=\frac{z_1^3z_1+z_2^3z_2}{z_1^2z_2^2} \\ =\frac{z_2^3z_1+z_1^3z_2}{z_1^2z_2^2}=\frac{z_1z_2(z_2^2+z_1^2)}{z_1^2z_2^2}=\frac{z_2^2+z_1^2}{z_1z_2}=\frac{-z_1z_2}{z_1z_2}=-1$
ή
$\\ z_1^2+z_1z_2+z_2^2 = 0 \Rightarrow \\ z_1^2+z_2^2 =-z_1z_2 \Leftrightarrow \\ \frac{z_1^2}{z_1z_2}+\frac{z_2^2}{z_1z_2} =-1 \Leftrightarrow \\ \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1} =-1 \Rightarrow \\ \\ \left(\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}\right)^2 =(-1)^2 \Leftrightarrow \\ \left( \frac{z_1}{z_2}\right)^2+2+\left( \frac{z_2}{z_1}\right)^2=1 \Leftrightarrow \\ \left( \frac{z_1}{z_2}\right)^2+\left( \frac{z_2}{z_1}\right)^2= -1$

δ)
$\\ z_1^2+z_1z_2+z_2^2 = 0 \Leftrightarrow \\ z_1^2+2z_1z_2+z_2^2 = z_1z_2 \Leftrightarrow \\ (z_1+z_2)^2 = z_1z_2 \Rightarrow \\ \left|z_1+z_2\right|^2 = \left|z_1\right| \left|z_2\right| \Leftrightarrow \\ \left|z_1+z_2\right|^2 = \left|z_1\right|^2 \Leftrightarrow \\ \left|z_1+z_2\right| = \left|z_1\right| \Leftrightarrow \\ \left|z_1+z_2\right| = \left|z_1\right|= \left|z_2\right|\Leftrightarrow \\ \left|z_1+z_2\right| = \left|z_1\right|= \left|(z_1+z_2)-z_1\right|$
άρα (OΓ) = (ΟΑ) = (ΑΓ) δηλαδή το ΟΑΓ είναι ισόπλευρο.

menenick · 2008-11-21T15:49:13+0200

ωραια αυτο εκανα και εγω.... αλλα η ασκηση δεν ζηταει ουσιαστικα να υπολογισουμε τα f(O) και g(O)???

manos66 · 2008-11-21T17:17:42+0200

Δεν νομίζω ότι μπορούμε με αυτά τα δεδομένα

menenick · 2008-11-21T17:39:44+0200

οκ εχεις δικιο . εγω δεν παρατηρησα κατι στο απο πανω ερωτημα της ασκησης:xixi:.:thanks:

riemann80 · 2008-11-21T20:54:14+0200

αν f ειναι συνεχης συναρτηση στο [α,β] και $x_1,x_2,\cdots ,x_n \in [a,b]$ να δειξετε οτι υπαρχει

$x_0 \in [a,b]$ ωστε

$f(x_0)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$

miv · 2008-11-21T21:17:06+0200

Αφού f συνεχής σε [α,β] θα παρουσιάζει μέγιστη τιμή f(k)=Μ κι ελάχιστη τιμή f(λ)=μ με κ,λε[α,β]. Τότε για κάθε χε[α,β] θα ισχύει:

μ<=f(x1)<=M
μ<=f(x2)<=Μ
.
.
.
.
.(ν φορές)
.
.
μ<=f(xν)<=Μ

Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισώσεις και διαιρώντας με το ν, το οποίο εκφράζει πλήθος άρα είναι θετικός αριθμός έχω:

μ<=(χ1+χ2+...+χν)/v<=Μ

Τότε θα υπάρχει κάποιο η=(χ1+χ2+...+χν)/ν στο [μ,Μ] τέτοιο ώστε 'η' τιμή της συνάρτησης, αφού η f ως συνεχής στο [α,β] θα παίρνει όλες τις τιμές στο [μ,Μ]. Διαφορετικά στο [α,β] θα υπάρχει χο τέτοιο ώστε f(xo)=η.

riemann80 · 2008-11-21T23:30:18+0200

μπραβο,σωστος!!!!

miv · 2008-11-21T23:41:26+0200

Ο manos66 μου υπέδειξε ότι πρέπει επίσης να πούμε τι γίνεται αν τύχει και η f είναι σταθερή, δηλαδή δεν ισχύει το f(a) διάφορο f(b) που είναι προυπόθεση του ΘΕΤ οπότε δεν έχουμε διάστημα [m,M]. Δεν ξέρω αν είμαι σωστός αλλά είπα:

Αφού f σταθερή, τότε ισχύει f(x1)=f(x2)=...=f(xν). Συνεπώς f(x1)+f(x2)+...+(xν)=νf(x0). Αυτό ισχύει γιατί όλα τα χ, δεδομένα και ζητούμενα ανήκουν στο [α,β] και επιλέγω να εκφράσω το άθροισμα συναρτήση του f(x0) που ισούται με ένα οποιοδήποτε άλλο f(ξ) στο διάστημα. Μετά απλοποιείται το ν, ως θετικός, κι έχω f(xo)=f(xo) που είναι αληθές για κάποιο χοε[α,β]

Afey · 2008-11-22T03:04:27+0200

Ωραία άσκηση. Γενικώς ο riemann80 βάζει ωραίες ασκήσεις... Keep it up

!

zidane4ever · 2008-11-23T10:37:34+0200

Παρακαλω αν εχετε ξερετε το σιτε βαλτε το.

djimmakos · 2008-11-23T18:22:57+0200

Kάνω post για να μην θαφτεί το θέμα μ' αυτή τη χρήσιμη σελίδα:no1:

djimmakos · 2008-11-23T18:24:11+0200

Βρήκα αυτό το site το οποίο περιέχει πραγματικά πολλά:no1:

Καλή δύναμη! :bye:

UnSourCeR · 2008-11-23T20:54:29+0200

$F(x) =ax + \left| z + \frac{1}{\bar{z}} \right| - \sqrt{ax^2 +\left| z + \frac{1}{\bar{z}} \right|x + \gamma}$

Αν $\lim_{x \to \propto } = 1$ (είναι limf(x) τείνει στο + απέιρο =1 απλά δεν ήξερα πως να το γράψω)

1) Να δείξετε ότι $a=1$ και $\left| z + \frac{1}{\bar{z}} \right|=2$

2) Να δείξετε ότι $\frac{1+ z^n}{1+\bar{z}^n} = \left( \frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)^n$

riemann80 · 2008-11-24T14:49:23+0200

θετω $k=|z+\frac{1}{\overline z }|$ (για μα μην το σερνω) και μετα απο πραξεις βρισκω ότι $f(x)=k+x\left(a-\sqrt{a+\frac{1}{x}+\frac{\gamma}{x^2}}\right)$ οποτε για να εχει η συναρτηση πεπερασμενο οριο στο απειρο πρεπει το οριο της παρενθεσης να ειναι μηδεν.αυτο δινει α=0 η α=1 απο τις οποιες μονο το α=1 ειναι δεκτο διοτι για α=0 το οριο βγαινει -απειρο.

θετωντας στην αρχη εκφραση της συναρτησης το α=1 εχουμε $ 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x + k - \sqrt {x^2 + kx + \gamma } } \right)$ απ οπου πολλαπλασιαζοντας με συζηγη παρασταση βλεπουμε ευκολα οτι κ=2.

επομενως $ \left| {z + \frac{1} {{\overline z }}} \right| = 2 \Rightarrow .... \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \overline z = \frac{1}{z}$ και απο αυτο επεται με πραξεις οτι $ \frac{{1 + z^n }}{{1 + \overline z ^n }} = \left( {\frac{{1 + z}}{{1 + \overline z }}} \right)^n $ (κανοντας πραξεις και στα δυο μελη)

UnSourCeR · 2008-11-24T16:56:59+0200

Σε ευχαριστώ για την απάντηση σου , συγγνώμη αν γίνομαι φορτικός αλλά μπορείς να αναλύσεις λίγο πιο πολύ το κάνουμε πράξεις?

$f(x) = ax + k - \sqrt{x^2(a + \frac{k}{x} + \frac{\gamma }{x^2}} = ax + k - \left| x\right| \sqrt{a +\frac{k}{x} + \frac{\gamma }{x^2}}$

Πώς συνεχίζω? Ευχαριστώ και πάλι για την απάντησή σου!

riemann80 · 2008-11-24T17:58:39+0200

επειδη το οριο ειναι στο + απειρο μπορουμε να θεωρουμε οτι το χ παιρνει μεγαλες τιμες αρα θετικες.επομενως το απολυτο βγαινει χωρις να διακρινουμε περιπτωσεις.στη συνεχεια βγαινει κοινος παραγοντας το χ και συνεχιζουμε....

riemann80 · 2008-11-24T18:11:29+0200

1) θεωρουμε τη συναρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ η οποια ειναι συνεχης και 1-1.υποθετουμε οτι $f(2x-f(x))=x \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ και οτι $\exists \xi \in \mathbb{R} :f(\xi)=\xi$ .να δειξετε οτι $f(x)=x \ \forall x \in \mathbb{R}$

2) θεωρουμε τη συναρτηση $f:[0,2]\to \mathbb{R}$ η οποια ειναι συνεχης και υποθετουμε οτι $f(0)=f(2)$ να δειξετε οτι $:|$ x-y|=1" /> για τα οποια $f(x)=f(y)$ .

PrIdE FanatiX · 2008-11-24T20:25:07+0200

δεν το εμφανιζει:what::what:

Iraklis7 · 2008-11-24T20:32:56+0200

ούτε εμενα..

djimmakos · 2008-11-24T20:38:12+0200

Oύτε και εμένα. Και να φανταστείτε είχε τα πάντα:

- 60 σελίδες ασκήσεις για κάθε κεφάλαιο
- τρίωρα και μονόωρα διαγωνίσματα...

Δε ξέρω αν θα φτιάξει

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος