Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Nalfein · 2008-02-26T19:29:45+0200

Μα δεν γινεται να είναι συνεχής στο 0 αφου δεν ορίζεται στο 0:/
είναι σα να σου λέω f(x)=1/lnx και μου λές f(0)=0
To ΘΜΤ δεν ισχύει (συμφωνα με το σχολικό) αν δεν υπάρχει συνέχεια στο κλειστό διάστημα
Τέλος παντων θα γραψω την λύση αργότερα σήμερα γιατι δεν εχω χρόνο τωρα για latex

mostel · 2008-02-26T19:40:48+0200

Σόρι... ανοιχτό λέει

Τόση συζήτηση για το τίποτα ! Επειδή δε διάβασα καν ούτε τα bold . Ελεος

Θα τη κοιτάξω. Ελπίζω να την έχω λύσει μέχρι το βραδάκι!

Στέλιος

Nalfein · 2008-02-26T21:48:45+0200

Λοιπόν ορίστε η λύση, οσοι δε θέλετε spoiler μη κοιτάξετε απο δω και κάτω

α)
Θέτω συνάρτηση
$h(x)=f(x), x>0$

$h(x)= 0 , x=0$
(δίκλαδη δηλαδή, δε ξέρω πως αλλιώς να το παρουσιάσω σε latex

$h$ συνεχής στο $(0,+\infty)$ ως παραγωγίσιμη (γιατι $h(x)=f(x)$ για $x>0$ )

$\lim_{x\to\0^+}h(x) = \lim_{x\to\0^+}f(x) =0=h(0)$ δηλαδή $h$ συνεχής στο 0
Άρα, $h$ συνεχής στο $[0,+\infty)$

Έτσι, $h(x)$ συνεχής στο $[0,x]\subset[0,+\infty)$
Επίσης, $h(x)$ παραγωγίσιμη στο $(0,x)\subset(0,+\infty)$ (γιατι $h(x)=f(x)$ για $x>0$ ) με $h'(x)=f'(x)$

Απο ΘΜΤ, $\exists\xi\in(0,x):h'(\xi)=\frac{h(x)-h(0)}{x-0} <=> f'(\xi)=\frac{f(x)-h(0)=0}{x-0} <=> f'(\xi)=\frac{f(x)}{x} <=> f(x)=xf'(\xi)$

το β ερώτημα αυτονόητο

AnaCroN · 2008-02-26T22:00:47+0200

Καλή άσκηση. Από αυτές που καταλαβαίνεις ότι ισχύει κάτι αλλά δεν ξέρεις πως να το δείξεις θα έλεγα :no1:

mostel · 2008-02-26T23:17:48+0200

Είναι η λύση που 'χα πει στον Παναγιώτη στο msn, αλλά δε την έγραψα εδώ, μιας και περίμενα κάτι πιο εφετζίδικο για να 'μαι ειλικρινής!

Στέλιος

Nalfein · 2008-02-27T00:10:55+0200

Ο μαθηματικός μου στο σχολείο που του την είπα είχε διαφορετική λύση την οποία δεν μου εξήγησε αναλυτικά (δε βρέθηκε χρόνος) αλλα πιστεύω οτι και αυτή είναι πολυ καλή λύση. Εξ'άλλου, στα μαθηματικά η ομορφιά βρίσκεται στο απλό

(για μενα τουλάχιστον)

petrucci · 6 Μαρτίου 2008 στις 21:28

Κορυφαία άσκηση...πραγματικά πρωτοτυπη.Πιστέυετε πως μπορει στο τέλος να πέσει κατι που να χρειαζεται τόση φαντασία...?? Η γνώμη μου παντως είναι ότι τουλάχιστον ένα ερώτημα στο τεταρτο θέμα θα είναι παρόμοιας δυσκολίας...Αν μπορείς γράψε και την άλλη λύση που βρήκε ο καθηγητής σου...

Nalfein · 7 Μαρτίου 2008 στις 18:00

Θα τον ρωτήσω την Τρίτη αν μπορέσω γιατι τωρα δε θυμάμαι ακριβώς, πάντως ήταν πιο πολύπλοκη και χρησιμοποίησε ενα θεώρημα εκτος σχολικού βιβλίου (αλλα μου ειπε οτι εχει απλή απόδειξη). Στις πανελλήνιες δε πέφτει αυτο το πράγμα, τουλάχιστον με τα κριτήρια των προηγούμενων ετών για τέταρτα θέματα

riemann80 · 29 Απριλίου 2008 στις 00:04

έστω $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ μια συνεχης συναρτηση δυο φορες παραγωγισιμη στο $(a,b)$ Αποδειξτε οτι για καθε $x \in (a,b)$ υπαρχει $\xi_x \in (a,b)$ ωστε $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{2}f''(\xi_x)(x-b)$

mostel · 30 Απριλίου 2008 στις 01:30

Παίζει να μας πεις τη βοηθητική να κάνω δύο Rolle γιατί αυτές οι ασκήσεις μου σπάν τα νεύρα ;

Το να κάθεσαι δηλαδή να μαντέψεις τη συνάρτηση ...

Στέλιος

riemann80 · 30 Απριλίου 2008 στις 15:07

ε αυτο ειναι το θεμα ρε στελιο,να βρεις τη βοηθητικη. θα σε αφησω ακομα λιγο να το σκεφτεις.

riemann80 · 2 Μαΐου 2008 στις 11:47

ας πουμε οτι η συνάρτηση ειναι συνεχως παραγωγισιμη στο [α,β].

mostel · 2 Μαΐου 2008 στις 14:12

Έχω βρει μία λύση , εντελώς ανορθόδοξη , που fixarei κατάλληλα το b, όμως θα τη δω κάποια στιγμή το απόγευμα ή ίσως αύριο . Μη βάλετε λύση ! Αν δε βρω κάτι καλλίτερο , θα βάλλω την αρχική λύση που μου είχε έρθει .

Στέλιος

mostel · 2 Μαΐου 2008 στις 23:11

Λοιπόν ... Δε ξέρω αν υπάρχει κάποια άλλη...

Λύση 1η : ( me )

Θα βασιστούμε στο Lagrange Interpolating Polynomial .

Μπορούμε να θεωρήσουμε το $x$ της άσκησης προς στιγμήν $c$ , αφού δε μεταβάλλεται και το $\xi$ αντίστοιχα $x$ .

Θεωρούμε το πολυώνυμο :

$P(x)=\sum_{cyc}\frac{(x-b)(x-c)}{(a-c)(a-b)}f(a) - f(x )$

Προκύπτει εύκολα ότι $P(a)=P(c)=P(a)=0$

Έτσι θα υπάρχουν από Rolle $\xi_{1}\in(a,c)$ και $\xi_{2}\in(c, b)$ , τέτοια ώστε: $P'(\xi_{1})=0$ και $P'(\xi_{2})=0$ . Με μία ακόμη φορά Rolle θα υπάρχει $\xi$ τέτοιο ώστε $P''(\xi)=0$ .

Όμως:

$P''(x)=\sum_{cyc} \frac{2}{(a-c)(a-c)}f(a)$

και με μερικές τροποποιήσεις (αν θέλετε τις γράφω) προκύπτει εύκολα το ζητούμενο .

Τέλος, ευχαριστώ τους κ. Μπάμπη Στεργίου (μαθηματικό), Κώστα Ψύχα ( ΤΗΜΜΥ, ΕΜΠ ), Νίκο Ράπανο & Σιλουανό Μπραζιτίκο ( 3η λυκείου ), Σάββα Μιχάλη ( ΤΗΜΜΥ, ΕΜΠ ), Καραμιχάλη Ράλλη ( ΑΠΘ, Μαθηματικό ) για την όμορφη συζήτηση που 'χαμε γύρω απ' αυτό το όμορφο πρόβλημα , αν και απίθανο για Γενικές Εξετάσεις Λυκείου .

riemann80 · 3 Μαΐου 2008 στις 00:52

ερωτήσεις:

1η λυση:

1) στην πρωτη λυση που θεωρεις το πολυωνυμο παρεμβολής,ως προς τι αθροιζεις?δε βλεπω κανεναν δεικτη.

2) στην πρωτη λυση γραφεις P(a)=P(c)=P(a)=0.προφανως εννοεις P(a)=P(c)=P(b)=0,οκ.για το P(a)=0 συμφωνουμε.για τα άλλα ομως? αν βαλεις x=b στη συναρτηση ή x=c ετσι οπως την εχεις γραμμενη η συναρτηση δε μηδενιζεται!

3) η P'' που υπολογισες (σωστα βεβαια) δεν εχει μεσα το f(b).πως θα προκυψει το ζητουμενο?

2η λυση:

4) τι σημαινει καταλληλη προσαρμογη του b? αν σου εδινε η ασκηση πεδιο ορισμου το [0,1] (δηλαδη b=1) πως θα προσαρμοζες καταλληλα το 1?

5) αφου θα κανεις μια φορα ΘΜΤ πως θα προκυψουν ξ_1,ξ_2 ? το ΘΜΤ δινει ενα ξ,σωστα?

3η λυση:

6) τι σχεση εχει το αναπτυγμα Taylor της f με την H?

7) τι κεντρο θα εχει η δυναμοσειρα της f?

8) το αναπτυγμα Τaylor εχει νοημα για απεριοριστα διαφορισιμες συναρτησεις,ενω εδω η συναρτηση εχει μεχρι 2η παραγωγο!

9) το αναπτυγμα Τaylor ειναι ενα απειρο αθροισμα (δηλαδη σειρα). τι θα γινει με το κομματι της σειρας που περιλμβανει τους όρους τριτης ταξης και πανω?

συγγνωμη που δε γραφω σε latex αλλα ειναι αργα και ειμαι κουρασμενος!

mostel · 3 Μαΐου 2008 στις 01:13

Μισό, όταν βάζω Σ, εννοώ κυκλικό άθροισμα όλων των μεταβλητών. Δηλαδή (Lagrange Polynomial για 3 όρους):

$P(x)=\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}f(a)+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}f(b)+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}f(c) - f(x)$

Για τη δεύτερη λύση, επειδή δεν έχω χρόνο και επειδή ίσως είναι και λάθος, αν παραγωγίσουμε την $H(x)$ , θα πάρουμε :

$\frac{f'(x)(x-a)-f(x)+f(a)}{(x-a)^2}=\frac{f'(x)}{x-a}-\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}<br />$
ΘΜΤ στο δεύτερο κλάσμα της παράστασης και έχουμε :

$\frac{f'(x)}{x-a}+\frac{f'(\xi{1})}{x-a}=\frac{f'(x)-f'(\xi{1})}{x-a}$

Όπου x τώρα από ΘΜΤ στην $H(x)$ , βάζουμε το $\xi_{2}$ ... Μάλλον μπορούμε να βρούμε $x$ τέτοιο -εδώ μάλλον κολλάει λίγο το πράγμα-, ώστε να προκύψει η ζητούμενη...

Βασικά άκυρη η 2η λύση... έχει και $\frac{1}{2}$ στο δεξιό μέλος... άρα λάθος. Τεσπα το αφήνω ως ιδέα.

Το ανάπτυγμα Taylor που ανέφερα παραπάνω ήταν η ιδέα που δόθηκε για να θεωρήσουμε την $H(x)$ ...

ΥΣ : Έσβησα τη 2η Λύση , μιας και προφανώς είναι λάθος λόγω απροσεξίας !

riemann80 · 3 Μαΐου 2008 στις 01:28

η P(x) που θεωρεις μηδενιζεται στα a,,c,b.αν μπορεις αυριο κοιταξε αν η δευτερη παραγωγος βγαινει αυτη που πρεπει.

mostel · 3 Μαΐου 2008 στις 01:32

Λύση 2η :

Και μία ακόμη , από τον κύριο Πατήλα Χρήστο , μαθηματικό , Τρίκαλα .

Θεωρούμε την συνάρτηση (για $a<b<c$ ):

$\Phi(x)=(c-a)f(x)+(a-x)f(c)+(x-c)f(a)=-(1/2)(c-a)(a-x)(x-c)A$

Όπου το A ορίζεται από το $\Phi(b)=0$ . Ισχύει εύκολα $\Phi(a)=\Phi(c)=0$ και διαδοχικά Rolle...

(Μετά απλώς αλλάζουμε τα γράμματα.... )

mostel · 3 Μαΐου 2008 στις 01:33

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
η P(x) που θεωρεις μηδενιζεται στα a,,c,b.αν μπορεις αυριο κοιταξε αν η δευτερη παραγωγος βγαινει αυτη που πρεπει.

Βγαίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα, απλώς είναι λίγο μακροσκελής η λύση για να την περάσω σε $\LaTeX$ . Κάποια στιγμή που θα βρω χρόνο !

Στέλιος

riemann80 · 3 Μαΐου 2008 στις 02:03

παει λοιπον κι αυτη η ασκηση! ομορφη ηταν οντως.να μου πεις και μενα ενα ευχαριστω που τη βρηκα και σε τυραννισα λιγο(πλακα κανω!).

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος