Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Anarki · 3 Μαΐου 2008 στις 23:25

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
και το εμβαδον οριζεται ακομα και οταν υπαρχει ενα σημειο ασυνεχειας.

Γενικά πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών, έτσι; Να τα φρεσκάρω λίγο κι εγώ

.

Vorbulon · 3 Μαΐου 2008 στις 23:27

Δηλ. ότι lim(x->γ)f(x)=f(γ)>0, άρα f(x)>0 σε μια περιοχή του γ;

Undead · 3 Μαΐου 2008 στις 23:39

Στέλιο , μιας και δεν εχω χρόνο λέω περιληπτικά την λύση :
Εφαρμόζουμε την ανισότητα Jensen στην e^x που είναι κυρτή για τα Α,Β,Γ αξιποιώντας Α+Β+Γ=π

riemann80 · 3 Μαΐου 2008 στις 23:40

αλεξη ακομα και αριθμησιμο πληθος ασυνεχειων μπορει να εχει (δηλαδη απειρο αλλα σε ενα προς ενα και επι αντιστοιχια με τους φυσικους)

ναι βαγγελη αυτο πρεπει να εκμεταλευτεις.

Anarki · 3 Μαΐου 2008 στις 23:43

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
αλεξη ακομα και αριθμησιμο πληθος ασυνεχειων μπορει να εχει (δηλαδη απειρο αλλα σε ενα προς ενα και επι αντιστοιχια με τους φυσικους)

Α, μάλιστα

.

riemann80 · 3 Μαΐου 2008 στις 23:46

αν κανεις ενα σχημα θα το δεις αμεσως.ποσα αλματα μπορει να κανει η συναρτηση για να μη χαλασει το εμβαδο κατω απο το γραφημα?μονο πεπερασμενα?

Vorbulon · 3 Μαΐου 2008 στις 23:47

Αν η f είναι συνεχής στο γ είναι συνεχής κοντά στο γ ή όχι απαραίτητα;

Anarki · 3 Μαΐου 2008 στις 23:48

Ναι διαισθητικά το κατάλαβα, δεν παίζει άγχος, απλά δεν το είχα σκεφτεί γιατί δεν μου είχε τύχει ποτέ τέτοια περίπτωση

.

riemann80 · 3 Μαΐου 2008 στις 23:53

οχι βεβαια μπορει μια συναρτηση να ναι συνεχης σε ενα σημειο και πουθενα αλλου.πάρε για παραδειγμα την

f(x)=x,x στους ρητους του [0,1] και f(x)=0 στους αρρητους του [0,1].αυτη ειναι συνεχης μονο στο 0!

riemann80 · 3 Μαΐου 2008 στις 23:58

Αρχική Δημοσίευση από Anarki:
απλά δεν το είχα σκεφτεί γιατί δεν μου είχε τύχει ποτέ τέτοια περίπτωση .

λογικο να μην το εχεις συναντησει.γενικοτερα μια συναρτση ολοκληρωνεται αν το συνολο των ασυνεχειων της εχει μετρο 0.τωρα τι σημαινει μετρο ειναι μεγαλη ιστορια!

Vorbulon · 4 Μαΐου 2008 στις 00:04

Είχα σκεφτεί το εξής: Αφού f(x)>0 κοντά στο γ, υπάρχει δ>0 ώστε f(x)>0 για κάθε χ στο (γ-δ,γ+δ). Το ολοκλήρωμα από α έως β γράφεται ολοκλήρωμα από α έως γ-δ + από γ-δ έως γ+δ + από γ+δ έως β. Αν η f ήταν συνεχής στο (γ-δ,γ+δ) τότε θα ίσχυε το προηγούμενο θεώρημα, άρα ολοκλήρωμα απο γ-δ έως γ+δ θετικό. Και αφού τα άλλα μη αρνητικά με πρόσθεση όλων βγαίνει ολοκλήρωμα από α έως β θετικό. άτοπο. Πρέπει να χρησιμοποιήσω άλλη συνάρτηση(πχ ολοκλήρωμα από α έως χ) ή βγαίνει μόνο με την f; Θέλω ένα τελευταίο hint! Πρέπει σε λίγο να πάω και για ύπνο. Έχω και αύριο μάθημα.

riemann80 · 4 Μαΐου 2008 στις 00:11

πολυ ωραια το εφερες ως εδω.πρεπει λοιπον να δειξεις οτι

$\int^{\gamma+\delta}_{\gamma-\delta}f(x)dx>0.$

η συναρτηση δεν παραμενει απλως θετικη σ αυτο το διαστηματακι.εχει και ενα καταλληλο θετικο κατω φραγμα.

Vorbulon · 4 Μαΐου 2008 στις 00:23

Τι είναι το κάτω φράγμα; Για όριο και κριτήριο παρεμβολής;

riemann80 · 4 Μαΐου 2008 στις 00:32

οχι,προσεξε,

επειδη η f ειναι συνεχης στο γ εχουμε οτι

$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0: |x-\gamma|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(\gamma)\right|<\epsilon$

Αρα για $|x-\gamma|<\delta \Rightarrow f(\gamma)-\epsilon<f(x)<f(\gamma)+\epsilon$

επελεξε τωρα καταλληλα το ε και μετα ολοκληρωσε απο γ-δ ως γ+δ και θα σου βγει θετικο αυστηρα

Vorbulon · 4 Μαΐου 2008 στις 00:43

Τι είναι αυτό; Ορισμός του ορίου με δ,ε; Απαπαπαπαπαπαπα, εγώ δεν κάνω τέτοια πράγματα! Βασικά στο σχολείο δεν το αναλύουμε καθόλου, απλώς εξηγούμε το όριο διαισθητικά. Το ε μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, πχ f(γ)/2; Ας το πάρει το ποτάμι...

riemann80 · 4 Μαΐου 2008 στις 00:57

ε βεβαια. για ε= f(γ)/2 και $|x-\gamma|<\delta \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( \gamma \right){\rm - }{{f\left( \gamma \right)} \over 2} = {{f\left( \gamma \right)} \over 2} > 0 \Rightarrow \int\limits_{\gamma - \delta }^{\gamma + \delta } {f\left( x \right)} {\rm d}x \ge \int\limits_{\gamma - \delta }^{\gamma + \delta } {{{f\left( \gamma \right)} \over 2}} {\rm d}x = {{f\left( \gamma \right)} \over 2}\left( {\gamma + \delta - \gamma + \delta } \right) = {{f\left( \gamma \right)} \over 2}2\delta = f\left( \gamma \right)\delta > 0 $

Vorbulon · 4 Μαΐου 2008 στις 01:03

ΟΚ. Καληνύχτα!!! :bye:

mostel · 4 Μαΐου 2008 στις 01:04

Σωστή και αυτή η λύση Γιάννη ,

βάζω τη δική μου :

Θα εκμεταλλευτούμε την $e^x\geq x+1$ .

Έτσι :

$e^A +e^B +e^C \geq (A +1) + (B +1) + (C + 1) = \pi + 3 > 6$ and we are done!

Στέλιος

riemann80 · 4 Μαΐου 2008 στις 01:05

γεια χαρα,καλη συνεχεια

mostel · 10 Μαΐου 2008 στις 23:14

Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη και ισχύει :

$f(f(x)) = x+ 2$

να δειχθεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της $f$ που σχηματίζει με τον ορίζοντα ( $x'x$ ) γωνία ίση με $\frac{\pi}{4}$

Στέλιος

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος