Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

giannisb · 10 Μαΐου 2008 στις 23:54

Βάζω οπου χ το 1 και οπου χ το f(1) και μετά Θ.Μ.Τ ΣΤΟ [1,3]

mostel · 11 Μαΐου 2008 στις 00:04

Μπορείτε να τη γράψετε αναλυτικά ;

giannisb · 11 Μαΐου 2008 στις 00:19

H δοθείσα για χ=1 δίνει f(f(1))=3.Για χ=f(1) δίνει f(f(f(1)))=f(1)+2 άρα f(3)=f(1)+2 άρα
f(3)-f(1)=2.Απο Θ.Μ.Τ ΥΠΆΡΧΕΙ χ0ε(1,3): f' (xo)= ....=1 ...δηλαδή η εφαπτομένη στο χο σχηματίζει με
τον χ'χ γωνία με εφαπτομένη 1 δηλ. γωνία π/4. (Μαλλον πρέπει να δίνεις Df,Rf το R).

mostel · 11 Μαΐου 2008 στις 00:23

Ωραία !!

riemann80 · 11 Μαΐου 2008 στις 10:20

μηπως υπαρχουν απειρα σημεια στα οποια η συναρτηση εχει εφαπτομενη με κλιση 1?

giannisb · 11 Μαΐου 2008 στις 10:30

Τώρα που το λές εύκολα προκύπτει οτι f(x+2)=f(x)+2 πράγμα που σημαίνει οτι το Θ.Μ.Τ εφαρμοζεται σε άπειρα διαστήματα της μορφής [χ,χ+2].

riemann80 · 11 Μαΐου 2008 στις 10:57

σωστος!!

mostel · 14 Μαΐου 2008 στις 00:34

Δίνεται $f$ , μη σταθερή , παραγωγίσιμη στο $\mathbf{R}$ , για την οποία ισχύει ότι :

$\frac{f(b)-f(c)}{f(c)-f(a)}>0$ , για κάποια σταθερά $c\in\mathbf{R}-\{(a,b)\}$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $x_0$ τέτοιο , ώστε η εφαπτομένη της $f$ στο $x_0$ , να 'ναι κάθετη στον $y'y$ .

Στέλιος

cretanman · 14 Μαΐου 2008 στις 12:40

Στέλιο μήπως υπάρχει κάποια άλλη συνθήκη που δε μας έδωσες? Νομίζω ότι αν πάρεις μία αυστηρά αύξουσα συνάρτηση δεν ισχύει το ζητούμενο.

π.χ. αν πάρεις $f(x)=2x+1, \ a=0,b=2$ και διαλέξεις $c=1$ , τότε ενώ ικανοποιούνται οι συνθήκες της άσκησης, εντουτοις δεν μπορείς να βρεις τέτοιο $x_0$ .

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος.

Αλέξανδρος

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Δίνεται $f$ , μη σταθερή , παραγωγίσιμη στο $mathbf{R}$ , για την οποία ισχύει ότι :

$frac{f(b)-f(c)}{f(c)-f(a)}>0$ , για κάποια σταθερά $cinmathbf{R}cap(a,b)$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $x_0$ τέτοιο , ώστε η εφαπτομένη της $f$ στο $x_0$ , να 'ναι κάθετη στον $y'y$ .

Στέλιος

andreas157 · 14 Μαΐου 2008 στις 13:32

και εγω νομιζω πως κατι λείπει...

σίγουρα θα παίξεις με Rolle ή ΘΜΤ για να αποδείξεις ότι f'(xo)=0 (αφού έναι κάθετη στον ψ'ψ θα είναι παράλληλη στον χ'χ)

mostel · 14 Μαΐου 2008 στις 13:49

Παιδιά, γράψτε λάθος λίγο στην εκφώνηση , εννοώ το $c$ ανήκει στο σύνολο $R - \{(a,b)\}$ . Sorry !

Στέλιος

Vorbulon · 14 Μαΐου 2008 στις 15:16

Από την ανισότητα βγαίνει ότι το f(c) βρίσκεται μεταξύ των f(a) και f(β)( ; ). Ακόμα από το ΘΕΤ (f συνεχής στο (α,β) ως παρ/σιμη σε αυτό) βγαίνει ότι υπάρχει δε(α,β) ώστε f(δ)=f(c). Με Rolle στο (δ,c) ή (c,δ) (σίγουρα c διάφορο του δ , αφού το c δεν ανήκει στο (α,β) )βγαίνει ότι υπάρχει xo ώστε f'(xo)=0 άρα η εφαπτομένη είναι κάθετη στον ψ'ψ

cretanman · 14 Μαΐου 2008 στις 15:19

Χωρίς βλάβη της γενικότητος υποθέτουμε ότι

$f(a)<f(b)$ και $c<a<b$ (εντελώς όμοια όλες οι υπόλοιπες περιπτώσεις). H δοσμένη συνθήκη δίνει ότι $f(a)<f(c)<f(b)$ .

Διαλέγουμε $k \in (f(a),f(c))$ . Τότε από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, υπάρχουν $x_1\in\(c,a)$ και $x_2\in(a,b)$ τέτοια ώστε $f(x_1)=k$ και $f(x_2)=k$ .

Εφαρμόζωντας το θεώρημα Rolle για την f στο $[x_1,x_2]$ έχουμε το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

mostel · 14 Μαΐου 2008 στις 16:17

Μπορείς να είσαι όμως σίγουρος ότι $x_1 \neq x_2$ ?

Στέλιος

PS: Ωραία λύση Βαγγέλη !

cretanman · 14 Μαΐου 2008 στις 17:40

Ναι διασφαλίζεται αυτό αφού τα x_1, x_2 ανοίκουν σε διαφορετικά (ανοικτά) διαστήματα. Αλλού έκανα το τυπογραφικό. Έπρεπε να γράψω c<a<b και όχι a<b<c που έγραψα. Αλλιώς δεν θα είχε νόημα και το διάστημα (c,a).

Αλέξανδρος

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Μπορείς να είσαι όμως σίγουρος ότι $x_1 neq x_2$ ?

Vorbulon · 14 Μαΐου 2008 στις 18:18

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
PS: Ωραία λύση Βαγγέλη !

Ευχαριστώ!

Το ότι το f(γ) είναι μεταξύ των f(α) και f(β) μπορούμε να το αποδείξουμε ως εξής;:

<=> (f(b)-f(c))*(f(c)-f(a))>0<=> (f(c)-f(b))*(f(c)-f(a))<0 και θεωρώντας το f(c) ως μεταβλητή και τα f(a) και f(b) σταθερές,προκύπτει μια σχέση της μορφής (χ-κ)(χ-λ)<0 από όπου προκύπτει το ζητούμενο ή θα πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις;

mostel · 14 Μαΐου 2008 στις 19:09

Προκύπτει και έτσι, απλώς θεώρησε την:

H(x) = f(x) - f(c)

και θα έχεις H(a)H(b) <0

Bolzano στην Η και τελειώσαμε.

Στέλιος

ΥΣ: Μπερδεύτηκα απ' αυτό που έγραψες πάνω! Ο.Κ. τώρα !

Scandal · 15 Μαΐου 2008 στις 02:57

Έστω οι συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο $[a,b]$ με $g(x)g'(x)\not= 0$ για κάθε $x\in (a,b)$ .
Δίνονται οι μιγαδικοί:
$z= \lambda f(a) - g(b)i$ , $\lambda\in \mathbb{R}$
$w = g(a) - \lambda f(b)i$ , $\lambda \not= 0$
για τους οποίους ισχύει:
$| \lambda z + \bar{w}| = | \lambda \bar{z} - w |$
Δείξτε ότι υπάρχει $x_0\in (a,b)$ τέτοιο ώστε $\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} + \frac{f(x_0)}{g(x_0)} = 0$

(τη λύση τη γνωρίζω, ωραίο ασκησάκι

)

-petros

mostel · 15 Μαΐου 2008 στις 03:19

Προκύπτει εν τέλει :

f(a)g(a)=f(b)g(b)

Rolle στην :

H(x)=f(x)g(x) στο a, b.

Στέλιος

vamou90 · 15 Μαΐου 2008 στις 12:49

Ρε παιδιά βλέπω το περσινό 4 θέμα μιγαδικών απ' τις επαναληπτικές...είναι αρκετά δύσκολο....

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διαχειριστής

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος