Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

lostG · 1 Μαΐου 2009 στις 20:09

Προπονηθείτε με τη παρακάτω άσκηση.

george_k214 · 1 Μαΐου 2009 στις 21:32

α) $f(x)=\int_{0}^{1}g(3x+2t)dt$ .

Θέτω 3x+2t=u και συνεπώς ισχύει du=2dt.Αλλάζοντας και τα όρια ολοκλήρωσης προκύπτει τελικά:

$f(x)=\int_{0}^{1}g(3x+2t)dt=\frac{1}{2}\left(\int_{3x}^{3x+2}g(u)du \right)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{3x+2}g(u)du-\int_{0}^{3x}g(u)du \right)$

Η f είναι συνεπώς παραγωγίσιμη(ως διαφορά παραγωγίσιμων) και ισχύει:

$f'(x)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{3x+2}g(u)du \right)' -\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{3x}g(u)du \right)'=\frac{3}{2}\left[g(3x+2)-g(3x) \right]$

β)Αφου η g είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση θα ισχύει:

$0\prec 2\Rightarrow 3x+0\prec 3x+2\Rightarrow g(3x+2)\prec g(3x)\Rightarrow g(3x+2)-g(3x)\prec 0\Rightarrow \frac{3}{2}\left(g(3x+2)-g(3x) \right)\prec 0\Rightarrow f'(x)\prec 0$

και άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα.

γ)

$\int_{0}^{1}xf'(x)dx\leq g(3)-\int_{0}^{1}f(x)dx\Leftrightarrow {\left[xf(x) \right]}_{0}^1-\int_{0}^{1}f(x)dx\leq g(3)-\int_{0}^{1}f(x)dx\Leftrightarrow f(1)\leq g(3)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[\int_{0}^{5}g(u)du-\int_{0}^{3}g(u)du \right]\leq g(3)\Leftrightarrow g(\xi )\preceq g(3)$

που ισχύει αφού το ξ>3 και η g είναι γνησίως φθίνουσα.Το ξ αυτό πρόεκυψε απο θμτ για την $h(x)=\int_{0}^{x}g(u)du$ στο [3,5]

lostG · 1 Μαΐου 2009 στις 22:54

Γιά το γ) θα πω.Σωστό είναι αλλά θα θυμηθώ τα λόγια ενός καθηγητή μου από το Λύκειο που έλεγε ότι την άσκηση να τη κτυπάτε στη...καρδιά και δεν τη.. παρακαλάτε!.Και εννοούσε ότι του άρεσε να μην δουλεύει άμεσα στη ζητούμενη σχέση ώστε να του αποκαλυφτούν πράγματα.Έλεγε ότι δεν ήταν γοητευτικό.Τέλος πάντων.Η λύση είναι πάντα λύση.

$f(1)=\int_{0}^{1}g(3t+2)dt$
$g(3)=\int_{0}^{1}g(3) dt$
$3+2t\geq 3$ άρα $g(3+2t)\leq g(3)$ (g γνησίως φθίνουσα)
$\Rightarrow$ $\int_{0}^{1}g(3+2t)dt\leq \int_{0}^{1}g(3)dt$ $\Rightarrow f(1)\leq g(3)$

mostel · 1 Μαΐου 2009 στις 22:55

Το γ γίνεται και αλλιώς...

$\int_0^1xf'(x)dx+\int_0^1f(x)dx\leq g(3)$

$\left[xf(x)\right]_0^1\leq g(3)$

$f(1)\leq g(3)$

κλπ

george_k214 · 1 Μαΐου 2009 στις 23:00

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Το γ γίνεται και αλλιώς...

$int_0^1xf'(x)dx+int_0^1f(x)dxleq g(3)$

$left[xf(x)right]_0^1leq g(3)$

$f(1)leq g(3)$

κλπ

Ετσι ακριβώς το έλυσα και εγώ Στέλιο αν δεις πιο πάνω.Δεν ξέρω,μου φαίνεται πιο προσιτός σαν τρόπος.Και ο δικός σας βέβαια κύριε Γιώργο είναι πολύ καλός.

mostel · 1 Μαΐου 2009 στις 23:03

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
Ετσι ακριβώς το έλυσα και εγώ Στέλιο αν δεις πιο πάνω.Δεν ξέρω,μου φαίνεται πιο προσιτός σαν τρόπος.Και ο δικός σας βέβαια κύριε Γιώργο είναι πολύ καλός.

Έτσι είναι, δεν είδα αναλυτικά τη λύση σου. Απλώς είχες κάνει μια παραπάνω προσθαφαίρεση και παρασύρθηκα.

Φιλικά,
Στέλιος

evariste · 2 Μαΐου 2009 στις 04:10

οχι δεν εω κανει λαθος. ναι εννοω το γνωστο i

thewatcher · 2 Μαΐου 2009 στις 13:17

mekst4v · 2 Μαΐου 2009 στις 13:31

Προφανώς, ο m3Lt3D το είπε ειρωνικά πάνω στην απογοήτευσή του για το εκπαιδευτικό σύστημα. Άλλωστε δεν είπε κάτι μεμπτό. Η ουσία των Πανελληνίων αυτή είναι δυστυχώς.

thewatcher · 2 Μαΐου 2009 στις 14:06

Σε αυτή την περίπτωση ζητώ συγγνώμη και θα διαγράψω το σχόλιό μου.

m3Lt3D · 2 Μαΐου 2009 στις 14:47

Δεν ειδα καν τι εγραψες πριν το διαγραψεις, αλλα οκ δεν υπαρχει προβλημα...

Απλως νομιζα πως ηταν προφανηη ειρωνια.

lostpfg · 2 Μαΐου 2009 στις 14:49

Άσκηση (1)

"Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο [a,b] για την οποία ισχύουν:

Η f ειναι παραγωγίσιμη με f'(x)<0 για κάθε x που ανοίκει στο [a,b]
$\int_{a}^{b}f(x)dx=k$

Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τις ευθείες x=α και x=β στα σημεία Α και Β αντιστοίχως και από ένα σημείο Μ(Χο,f(Xo)) της Cf φέρουμε την ευθεία y=f(Xo) που τέμνει τις ευθείες x=α και x=β στα σημεία Γ και Δ,να προσδιορίσετε το Μ έτσι,ώστε τα εμβαδά των χωρίων (ΑΜΓ) και (ΒΜΔ) να είναι ίσα"

george_k214 · 2 Μαΐου 2009 στις 15:03

Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση?Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός ενώ εσύ μας έχει δώσει οτι ισούται με το x->μεταβλητή.

lostpfg · 2 Μαΐου 2009 στις 15:15

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση?Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός ενώ εσύ μας έχει δώσει οτι ισούται με το x->μεταβλητή.

Με k είναι σόρυ...Έχεις δίκιο..

mostel · 2 Μαΐου 2009 στις 15:29

Αρχική Δημοσίευση από evariste:
f συνεχης στο [0, +απειρο) f(x)= 1+ ολοκληρωμα απο i ως χ του 1+ f(x)/x dt , x>0
1) να δειχθει οτι f(0)=0
2) μονοτονια f, ακροτατα
3) ν.δ.ο η f κυρτη και οτι δεν υπαρχουν τρια σημεια συνευθειακα σ' αυτην
4) αν g(t)=t[f(e^(1/t)- e^(1/t)] ν.δ.ο g(t)= e^(1/t)
5) αν t Ε [1,x] ν.δ.ο e^1/x<= e^1/t <= e
6) να βρεθει το lim ολοκληρωμα απο i μεχρι x του e^(1/t) dt
x τεινει +απειρο

Όπου i , βάλτε μια άλλη τυχαία σταθερά και δοκιμάστε να τη λύσετε. Σε περίπτωση του το i είναι μιγαδικός, η συνάρτηση είναι μιγαδική, δεν έχει έννοια να μιλάμε για συνέχεια σε πραγματικό μόνο τμήμα της , κλπ κπλ

Στέλιος

manos66 · 2 Μαΐου 2009 στις 17:12

A.
1.
$2vw-w=2i \Rightarrow \left|2w\left(v-\frac{1}{2} \right) \right|=\left|2i \right|\Leftrightarrow 2\left|w \right|\left|v-\frac{1}{2} \right|=2 \Leftrightarrow \left|w \right|=1$

2.
$(2z-i)(2\bar{z}+i)=w\bar{w} \Leftrightarrow \left|2z-i \right|^2=\left|w \right|^2 \Leftrightarrow \left|2z-i \right|=1 \Leftrightarrow \left|z-\frac{i}{2} \right|=\frac{1}{2}$

κύκλος με κέντρο Κ(0 , 1/2) και ακτίνα ρ = 1/2.

3.
$\left|v-w \right|=\left|\left( v-\frac{1}{2}\right)-w+\frac{1}{2} \right|\leq \left| v-\frac{1}{2}\right|+\left|w \right|+\left|\frac{1}{2} \right|=1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

ledzeppelinick · 2 Μαΐου 2009 στις 18:27

Βρηκα το f(xo)=k/b-a αλλα το χο δεν μπορω να το βρω.. λυση υπαρχει?

patmurphy · 2 Μαΐου 2009 στις 18:43

Εστω οι μιγαδικοι z,k και η συναρτηση g(x)=\int_{0}^{2x}|z*t+k|dt, g(x)>=x για καθε x εν R.Να δειξετε οτι :

α-|k|=1/2

b-η εξισωση g(x)=2020 εχει μοναδικη ριζα στο (0,+οο)

c-\int_{0}^{x}|z*t+k/2|dt >=x/4

Μάρθα · 2 Μαΐου 2009 στις 18:49

η συνάρτηση που δίνεται ειναι παραγωγισιμη στο κλειστο διαστημα [α,β].αρα ειναι και συνεχης σε αυτο.ακομα η παραγωγοσ ειναι αρνητικη στο εσωτερικο του διαστηματοσ αρα η συναρτηση ειναι γνησιωσ φθινουσα στο κλειστο.ενα βοηθητικο στοιχειο ειναι αυτο. και μετα δουλευευεισ με σχημα.

ledzeppelinick · 2 Μαΐου 2009 στις 18:54

έχω την εντύπωση πως το σημειο είναι (α-β/2,κ/β-α)
-----------------------------------------
ετσι ακριβως το κανα μαρθα! δε μ βγαινει! πηρα ολα τα στοιχεια! αλλα δεν μπορω ακριβως να αιτιολογησω το χο.. εχεις τη λυση? ευχαριστω εκ των προτερων!!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος