Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

lostG · 01-05-09

Προπονηθείτε με τη παρακάτω άσκηση.

george_k214 · 01-05-09

α) $f(x)=\int_{0}^{1}g(3x+2t)dt$ .

Θέτω 3x+2t=u και συνεπώς ισχύει du=2dt.Αλλάζοντας και τα όρια ολοκλήρωσης προκύπτει τελικά:

$f(x)=\int_{0}^{1}g(3x+2t)dt=\frac{1}{2}\left(\int_{3x}^{3x+2}g(u)du \right)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{3x+2}g(u)du-\int_{0}^{3x}g(u)du \right)$

Η f είναι συνεπώς παραγωγίσιμη(ως διαφορά παραγωγίσιμων) και ισχύει:

$f'(x)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{3x+2}g(u)du \right)' -\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{3x}g(u)du \right)'=\frac{3}{2}\left[g(3x+2)-g(3x) \right]$

β)Αφου η g είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση θα ισχύει:

$0\prec 2\Rightarrow 3x+0\prec 3x+2\Rightarrow g(3x+2)\prec g(3x)\Rightarrow g(3x+2)-g(3x)\prec 0\Rightarrow \frac{3}{2}\left(g(3x+2)-g(3x) \right)\prec 0\Rightarrow f'(x)\prec 0$

και άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα.

γ)

$\int_{0}^{1}xf'(x)dx\leq g(3)-\int_{0}^{1}f(x)dx\Leftrightarrow {\left[xf(x) \right]}_{0}^1-\int_{0}^{1}f(x)dx\leq g(3)-\int_{0}^{1}f(x)dx\Leftrightarrow f(1)\leq g(3)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[\int_{0}^{5}g(u)du-\int_{0}^{3}g(u)du \right]\leq g(3)\Leftrightarrow g(\xi )\preceq g(3)$

που ισχύει αφού το ξ>3 και η g είναι γνησίως φθίνουσα.Το ξ αυτό πρόεκυψε απο θμτ για την $h(x)=\int_{0}^{x}g(u)du$ στο [3,5]

lostG · 01-05-09

Γιά το γ) θα πω.Σωστό είναι αλλά θα θυμηθώ τα λόγια ενός καθηγητή μου από το Λύκειο που έλεγε ότι την άσκηση να τη κτυπάτε στη...καρδιά και δεν τη.. παρακαλάτε!.Και εννοούσε ότι του άρεσε να μην δουλεύει άμεσα στη ζητούμενη σχέση ώστε να του αποκαλυφτούν πράγματα.Έλεγε ότι δεν ήταν γοητευτικό.Τέλος πάντων.Η λύση είναι πάντα λύση.

$f(1)=\int_{0}^{1}g(3t+2)dt$
$g(3)=\int_{0}^{1}g(3) dt$
$3+2t\geq 3$ άρα $g(3+2t)\leq g(3)$ (g γνησίως φθίνουσα)
$\Rightarrow$ $\int_{0}^{1}g(3+2t)dt\leq \int_{0}^{1}g(3)dt$ $\Rightarrow f(1)\leq g(3)$

mostel · 01-05-09

Το γ γίνεται και αλλιώς...

$\int_0^1xf'(x)dx+\int_0^1f(x)dx\leq g(3)$

$\left[xf(x)\right]_0^1\leq g(3)$

$f(1)\leq g(3)$

κλπ

george_k214 · 01-05-09

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Το γ γίνεται και αλλιώς...

$int_0^1xf'(x)dx+int_0^1f(x)dxleq g(3)$

$left[xf(x)right]_0^1leq g(3)$

$f(1)leq g(3)$

κλπ

Ετσι ακριβώς το έλυσα και εγώ Στέλιο αν δεις πιο πάνω.Δεν ξέρω,μου φαίνεται πιο προσιτός σαν τρόπος.Και ο δικός σας βέβαια κύριε Γιώργο είναι πολύ καλός.

mostel · 01-05-09

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
Ετσι ακριβώς το έλυσα και εγώ Στέλιο αν δεις πιο πάνω.Δεν ξέρω,μου φαίνεται πιο προσιτός σαν τρόπος.Και ο δικός σας βέβαια κύριε Γιώργο είναι πολύ καλός.

Έτσι είναι, δεν είδα αναλυτικά τη λύση σου. Απλώς είχες κάνει μια παραπάνω προσθαφαίρεση και παρασύρθηκα.

Φιλικά,
Στέλιος

evariste · 02-05-09

οχι δεν εω κανει λαθος. ναι εννοω το γνωστο i

thewatcher · 02-05-09

mekst4v · 02-05-09

Προφανώς, ο m3Lt3D το είπε ειρωνικά πάνω στην απογοήτευσή του για το εκπαιδευτικό σύστημα. Άλλωστε δεν είπε κάτι μεμπτό. Η ουσία των Πανελληνίων αυτή είναι δυστυχώς.

thewatcher · 02-05-09

Σε αυτή την περίπτωση ζητώ συγγνώμη και θα διαγράψω το σχόλιό μου.

m3Lt3D · 02-05-09

Δεν ειδα καν τι εγραψες πριν το διαγραψεις, αλλα οκ δεν υπαρχει προβλημα...

Απλως νομιζα πως ηταν προφανηη ειρωνια.

lostpfg · 02-05-09

Άσκηση (1)

"Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο [a,b] για την οποία ισχύουν:

Η f ειναι παραγωγίσιμη με f'(x)<0 για κάθε x που ανοίκει στο [a,b]
$\int_{a}^{b}f(x)dx=k$

Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τις ευθείες x=α και x=β στα σημεία Α και Β αντιστοίχως και από ένα σημείο Μ(Χο,f(Xo)) της Cf φέρουμε την ευθεία y=f(Xo) που τέμνει τις ευθείες x=α και x=β στα σημεία Γ και Δ,να προσδιορίσετε το Μ έτσι,ώστε τα εμβαδά των χωρίων (ΑΜΓ) και (ΒΜΔ) να είναι ίσα"

george_k214 · 02-05-09

Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση?Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός ενώ εσύ μας έχει δώσει οτι ισούται με το x->μεταβλητή.

lostpfg · 02-05-09

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση?Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός ενώ εσύ μας έχει δώσει οτι ισούται με το x->μεταβλητή.

Με k είναι σόρυ...Έχεις δίκιο..

mostel · 02-05-09

Αρχική Δημοσίευση από evariste:
f συνεχης στο [0, +απειρο) f(x)= 1+ ολοκληρωμα απο i ως χ του 1+ f(x)/x dt , x>0
1) να δειχθει οτι f(0)=0
2) μονοτονια f, ακροτατα
3) ν.δ.ο η f κυρτη και οτι δεν υπαρχουν τρια σημεια συνευθειακα σ' αυτην
4) αν g(t)=t[f(e^(1/t)- e^(1/t)] ν.δ.ο g(t)= e^(1/t)
5) αν t Ε [1,x] ν.δ.ο e^1/x<= e^1/t <= e
6) να βρεθει το lim ολοκληρωμα απο i μεχρι x του e^(1/t) dt
x τεινει +απειρο

Όπου i , βάλτε μια άλλη τυχαία σταθερά και δοκιμάστε να τη λύσετε. Σε περίπτωση του το i είναι μιγαδικός, η συνάρτηση είναι μιγαδική, δεν έχει έννοια να μιλάμε για συνέχεια σε πραγματικό μόνο τμήμα της , κλπ κπλ

Στέλιος

manos66 · 02-05-09

A.
1.
$2vw-w=2i \Rightarrow \left|2w\left(v-\frac{1}{2} \right) \right|=\left|2i \right|\Leftrightarrow 2\left|w \right|\left|v-\frac{1}{2} \right|=2 \Leftrightarrow \left|w \right|=1$

2.
$(2z-i)(2\bar{z}+i)=w\bar{w} \Leftrightarrow \left|2z-i \right|^2=\left|w \right|^2 \Leftrightarrow \left|2z-i \right|=1 \Leftrightarrow \left|z-\frac{i}{2} \right|=\frac{1}{2}$

κύκλος με κέντρο Κ(0 , 1/2) και ακτίνα ρ = 1/2.

3.
$\left|v-w \right|=\left|\left( v-\frac{1}{2}\right)-w+\frac{1}{2} \right|\leq \left| v-\frac{1}{2}\right|+\left|w \right|+\left|\frac{1}{2} \right|=1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

ledzeppelinick · 02-05-09

Βρηκα το f(xo)=k/b-a αλλα το χο δεν μπορω να το βρω.. λυση υπαρχει?

patmurphy · 02-05-09

Εστω οι μιγαδικοι z,k και η συναρτηση g(x)=\int_{0}^{2x}|z*t+k|dt, g(x)>=x για καθε x εν R.Να δειξετε οτι :

α-|k|=1/2

b-η εξισωση g(x)=2020 εχει μοναδικη ριζα στο (0,+οο)

c-\int_{0}^{x}|z*t+k/2|dt >=x/4

Μάρθα · 02-05-09

η συνάρτηση που δίνεται ειναι παραγωγισιμη στο κλειστο διαστημα [α,β].αρα ειναι και συνεχης σε αυτο.ακομα η παραγωγοσ ειναι αρνητικη στο εσωτερικο του διαστηματοσ αρα η συναρτηση ειναι γνησιωσ φθινουσα στο κλειστο.ενα βοηθητικο στοιχειο ειναι αυτο. και μετα δουλευευεισ με σχημα.

ledzeppelinick · 02-05-09

έχω την εντύπωση πως το σημειο είναι (α-β/2,κ/β-α)
-----------------------------------------
ετσι ακριβως το κανα μαρθα! δε μ βγαινει! πηρα ολα τα στοιχεια! αλλα δεν μπορω ακριβως να αιτιολογησω το χο.. εχεις τη λυση? ευχαριστω εκ των προτερων!!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος