Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

lowbaper92 · 2 Μαρτίου 2014 στις 01:27

Αρχική Δημοσίευση από SteliosIoa:
τωρα που το σκεφτομαι σου δινει τη δολια τη συναρτησιακη ισοτητα για να βρεις το χο

λοιπον παραγωγιζοντας την εχεις οτι φ'(χ)=-φ'(2-χ) οποτε θετοντας οπου χ το 1 (θετουμε γιατι η φ' ειναι συνεχης ως παραγωγισιμη) παιρνεις φ'(1)=0 αρα το ελαχιστο σου ειναι στο 1 ποσο ειναι ο θεος και η ψυχη του !

υ.γ σορρυ αν σε κουρασα-μπερδεψα

Ίσως το θεωρείς αυτονόητο, αλλά ας το σημειώσω σε περίπτωση που κάποιος δεν δώσει ιδιαίτερη σημασία και για να είναι πιο πλήρης η λύση:

Το $f'(1)=0$ από μόνο του δεν εξασφαλίζει ακρότατο (το αντίστροφο του Fermat δεν ισχύει). Θα πρέπει να δείξουμε ότι η $f'$ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του σημείου x=1.

Ξέρουμε ότι η $f'$ είναι γν. αύξουσα.

$x>1\Leftrightarrow f'\left(x \right)>f'\left(1 \right)\Leftrightarrow f'\left(x \right)>0$
$x<1\Leftrightarrow f'\left(x \right)<f'\left(1 \right)\Leftrightarrow f'\left(x \right)<0$

Άρα στο x=1 ολικό ελάχιστο, το οποίο ούτε εγώ ξέρω πως βρίσκουμε

edit: Τώρα πρόσεξα ότι το 'χεις δείξει πιο πάνω, my bad.

SteliosIoa · 2 Μαρτίου 2014 στις 14:09

mayday!
χρειαζομαι βοηθεια για την παρακατω:

δινεται παραγωγισιμη συναρτηση f:[α,β]->R
για την οποια ισχυει : (f ' (x))^2<-f(α)επι f(β)

να δειξετε οτι
1. η f εχει τουλαχιστον μια ριζα στο (α,β)
2. β-α μεγαλυτερο ισο του 2

το 1 το εχω κανει απλα το παρεθεσα για να ειναι ολοκληρη η ασκηση.
πιστευω οτι η σχεση που δινει μπορει να οδηγησει σε προσημο για την f'(x) αλλα εχω προσπαθησει ποσα πραγματα και δεν μπορω να το βγαλω.στο μυαλο μου ειχα σκεφτει να χρησιμοποιησω κυρτοτητα ή θμτ και να εκμεταλλευτω μονοτονια για την f'(χ) αλλα δεν μπορω να βγαλω προσημα! οποιος μπορεσει να βοηθησει ειμαι ευγνωμων!

rebel · 2 Μαρτίου 2014 στις 15:22

ΘΜΤ στο [α,β] και αντικαθιστώντας το ξ στην δοθείσα προκύπτει
$f'(\xi)^2<-f(a)f(b) \Rightarrow \left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)^2<-f(a)f(b) \Rightarrow \\ (b-a)^2>-\frac{\left(f(b)-f(a)\right)^2}{f(a)f(b)} \geq -\frac{-4f(a)f(b)}{f(a)f(b)}=4$
και το ζητούμενο δείχθηκε. Ελπίζω να είμαι σωστός.

SteliosIoa · 2 Μαρτίου 2014 στις 16:50

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
ΘΜΤ στο [α,β] και αντικαθιστώντας το ξ στην δοθείσα προκύπτει
$f'(\xi)^2<-f(a)f(b) \Rightarrow \left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)^2<-f(a)f(b) \Rightarrow \\ (b-a)^2>-\frac{\left(f(b)-f(a)\right)^2}{f(a)f(b)} \geq -\frac{-4f(a)f(b)}{f(a)f(b)}=4$
και το ζητούμενο δείχθηκε. Ελπίζω να είμαι σωστός.

καλα τα μυαλα μου και μια λυρα! ειχα κανει λαθος στις πραξεις !!! ευχαριστω πολυ

Μαριλινάκι · 2 Μαρτίου 2014 στις 20:26

Θυμάστε πώς γίνεται η παραγώγιση της παράστασης ln( 1 + 1/χ)χ ( λν του 1 και 1διαχ και η παρένθση εις τη χ) ?
Ευχαριστώ!

DumeNuke · 2 Μαρτίου 2014 στις 23:17

Αρχική Δημοσίευση από Μαριλινάκι:
Θυμάστε πώς γίνεται η παραγώγιση της παράστασης ln( 1 + 1/χ)χ ( λν του 1 και 1διαχ και η παρένθση εις τη χ) ?
Ευχαριστώ!

{ln[(1+1/x)^x]}'

vimaproto · 3 Μαρτίου 2014 στις 21:27

Αρχική Δημοσίευση από Μαριλινάκι:
Θυμάστε πώς γίνεται η παραγώγιση της παράστασης ln( 1 + 1/χ)χ ( λν του 1 και 1διαχ και η παρένθση εις τη χ) ?
Ευχαριστώ!

Την ονομάζω y και $y=xln\frac{x+1}{x}$
$\{y}^{'}=1.ln\frac{x+1}{x}+x.[ln\frac{x+1}{x}]'=1.ln\frac{x+1}{x}+x.\frac{\frac{x-x-1}{{x}^{2}}}{\frac{x+1}{x}}=ln\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x+1}$

DumeNuke · 3 Μαρτίου 2014 στις 21:52

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
{ln[(1+1/x)^x]}'

Διόρθωση καθώς περιείχε λάθη.

need4sheed · 5 Μαρτίου 2014 στις 18:01

αν μπορει καποιος ας βοηθησει:Δινονται οι μιγαδικοι z,w των οποιων οι εικονες ανηκουν σε κυκλο με κεντρο 0(0,0) και ρ=1 και ισχυει z^2 +1=wz
α)να βρειτε την αποσταση των εικονων των μιγαδικων z και w
Β)να αποδειχθει οτι w(z^2 +1)=z
γ)να βρειτε τους μιγαδικους z,w
δ)αφου παραστησετε στο μιγαδικο επιπεδο τις εικονες ολων των μιγαδικων z,w να αποδειξετε οτι σχηματιζουν κανονικο εξαγωνο εγγεγραμμενο στον μοναδιαιο κυκλο

rebel · 6 Μαρτίου 2014 στις 17:03

α)
$z^2+1=zw \Rightarrow z(z-w)=-1 \Rightarrow |z||z-w|=|-1| \Rightarrow |z-w|=1$
β)
Παίρνουμε συζυγείς στην σχέση:
$\bar{z}^2+1=\bar{z}\bar{w} \stackrel{z \bar{z}=1,\,\,w \bar{w}=1}{ \Rightarrow}\frac{1}{z^2}+1=\frac{1}{zw} \Rightarrow w\left(z^2+1\right)=z$
γ)
$\begin{cases} z^2+1=wz \\ w\left(z^2+1\right)=z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z^2+1=wz \\ w wz= z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z^2+1=wz \\ \left(w^2-1\right)z=0 \end{cases}.$
Επειδή $z \neq 0$ απο τη δεύτερη σχέση παίρνουμε $w=1$ ή $w=-1$ και αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση παίρνουμε τις εξισώσεις $z^2-z+1=0,\,\,z^2+z+1=0$ αντίστοιχα οι οποίες έχουν λύσεις
$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
δ)
Θεωρούμε
$z_0=1$
$z_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$z_3=-1$
$z_4=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$z_5=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
και εύκολα βλέπουμε ότι $|z_i|=1,\,\,i=0,\ldots,5$ και $|z_i-z_{i-1}|=1,\,\,i=1,\ldots,5,\,\,\,|z_0-z_5|=1$

Dafni16 · 7 Μαρτίου 2014 στις 10:38

Μία βοήθεια στην 4 και στην 5

rebel · 8 Μαρτίου 2014 στις 02:02

4)
α)
$\int_0^1 e^{t-1}\left[f(t)+F(t)\right]dt = \int_0^1 \left(e^{t-1}F(t)\right)' dt = \left[e^{t-1}F(t)\right]_0^1= F(1)$
αφού $F'(t)=f(t)\,\,\forall t \geq 0$
β)
$h'(x)=\frac{f(x) \int_0^x t f(t) dt-F(x)x f(x)}{\left(\int_0^x t f(t) dt \right)^2}=\frac{f(x) \left(\int_0^x t f(t) dt-xF(x)\right)}{\left(\int_0^x t f(t) dt \right)^2}.$
Όμως για κάθε $x >0$ έχουμε:
$0 \leq t \leq x \stackrel{f(t)>0}{\Rightarrow} t f(t) \leq x f(t) \Rightarrow \int_0^x tf(t) dt < \int_0^x x f(t) dt = x F(x)\Rightarrow \\ h'(x)<0$
γ)
i)
Άμεσο από $h(1)>h(2)$
ii)
Με παραγοντική ολοκλήρωση:
$\int_0^1 F(t) dt = \int_0^1 (t)' F(t) dt= \left[tF(t)\right]_0^1-\int_0^1 t f(t) dt = F(1) - \frac{F(1)}{2}=\frac{F(1)}{2}$
Αφού
$h(1)=2 \Rightarrow \int_0^1 t f(t) dt = \frac{F(1)}{2}$
δ)
Η ανίσωση γράφεται:
$F\left(x^4+1\right)> F \left(x^2+1 \right) ,\,\,(1)$
και αφού $F'(x)=f(x)>0$ για $x>0$ , η $F$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ οπότε
$(1) \Leftrightarrow x^4+1>x^2+1 \Leftrightarrow x^2 \left( x^2-1 \right)>0 \stackrel{x>0} {\Leftrightarrow} x >1$

Η 5 είναι σαν το περσινό Δ2 των πανελληνίων.

Filippos14 · 8 Μαρτίου 2014 στις 02:27

Αν ισχυει x^2(1-f(x))>=0 για καθε χ στο R,τοτε συνεπαγεται οτι 1-f(x)>=0 ?

rebel · 8 Μαρτίου 2014 στις 02:33

Για $x \neq 0$ ισχύει. Στο $0$ δεν ξέρω τι γίνεται.

Filippos14 · 8 Μαρτίου 2014 στις 02:40

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Για $x \neq 0$ ισχύει. Στο $0$ δεν ξέρω τι γίνεται.

Δεν σε καταλαβαινω :/:

rebel · 8 Μαρτίου 2014 στις 02:47

Αρχική Δημοσίευση από Filippos14:
Δεν σε καταλαβαινω

Για $x \neq 0$ ισχύει $x^2>0$ οπότε $x^2 \left(1- f(x) \right) \geq 0 \Rightarrow f(x) \leq 1$

Για $x=0$ όμως είναι $0^2 \left(1-f(0)\right) =0$ αλλά μπορεί να ισχύει είτε $f(0)>1$ είτε $f(0)=1$ είτε $f(0)<1$

t00nS · 8 Μαρτίου 2014 στις 16:03

(χ^2 + 1) ^ (χ^2 + 1) * f ' (x) * e ^2x *f(x)=1 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης μια βοήθεια αν γίνεται!!

rebel · 8 Μαρτίου 2014 στις 16:44

$\left(x^2+1\right)^{x^2+1}f'(x)e^{-2x}f(x)=1$
Αυτό;

t00nS · 8 Μαρτίου 2014 στις 16:48

έτσι αλλά το f '(x) και το f(x) είναι υψωμένα και στο e δεν υπάρχει - δηλαδή e^2x

Civilara · 8 Μαρτίου 2014 στις 17:03

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
(χ^2 + 1) ^ (χ^2 + 1) * f ' (x) * e ^2x *f(x)=1 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης μια βοήθεια αν γίνεται!!

Γράψε την εκφώνηση ξεκάθαρα και ακριβώς όπως την δίνει η άσκηση. Η f είναι παραγωγίσιμη σε όλο το R ή σε υποσύνολο του; Δώσε που ορίζεται, που είναι συνεχής και που παραγωγίζεται η f.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος