Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

lowbaper92 · 2 Μαρτίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από SteliosIoa:
τωρα που το σκεφτομαι σου δινει τη δολια τη συναρτησιακη ισοτητα για να βρεις το χο

λοιπον παραγωγιζοντας την εχεις οτι φ'(χ)=-φ'(2-χ) οποτε θετοντας οπου χ το 1 (θετουμε γιατι η φ' ειναι συνεχης ως παραγωγισιμη) παιρνεις φ'(1)=0 αρα το ελαχιστο σου ειναι στο 1 ποσο ειναι ο θεος και η ψυχη του !

υ.γ σορρυ αν σε κουρασα-μπερδεψα

Ίσως το θεωρείς αυτονόητο, αλλά ας το σημειώσω σε περίπτωση που κάποιος δεν δώσει ιδιαίτερη σημασία και για να είναι πιο πλήρης η λύση:

Το $f'(1)=0$ από μόνο του δεν εξασφαλίζει ακρότατο (το αντίστροφο του Fermat δεν ισχύει). Θα πρέπει να δείξουμε ότι η $f'$ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του σημείου x=1.

Ξέρουμε ότι η $f'$ είναι γν. αύξουσα.

$x>1\Leftrightarrow f'\left(x \right)>f'\left(1 \right)\Leftrightarrow f'\left(x \right)>0$
$x<1\Leftrightarrow f'\left(x \right)<f'\left(1 \right)\Leftrightarrow f'\left(x \right)<0$

Άρα στο x=1 ολικό ελάχιστο, το οποίο ούτε εγώ ξέρω πως βρίσκουμε

edit: Τώρα πρόσεξα ότι το 'χεις δείξει πιο πάνω, my bad.

SteliosIoa · 02-03-14

mayday!
χρειαζομαι βοηθεια για την παρακατω:

δινεται παραγωγισιμη συναρτηση f:[α,β]->R
για την οποια ισχυει : (f ' (x))^2<-f(α)επι f(β)

να δειξετε οτι
1. η f εχει τουλαχιστον μια ριζα στο (α,β)
2. β-α μεγαλυτερο ισο του 2

το 1 το εχω κανει απλα το παρεθεσα για να ειναι ολοκληρη η ασκηση.
πιστευω οτι η σχεση που δινει μπορει να οδηγησει σε προσημο για την f'(x) αλλα εχω προσπαθησει ποσα πραγματα και δεν μπορω να το βγαλω.στο μυαλο μου ειχα σκεφτει να χρησιμοποιησω κυρτοτητα ή θμτ και να εκμεταλλευτω μονοτονια για την f'(χ) αλλα δεν μπορω να βγαλω προσημα! οποιος μπορεσει να βοηθησει ειμαι ευγνωμων!

rebel · 02-03-14

ΘΜΤ στο [α,β] και αντικαθιστώντας το ξ στην δοθείσα προκύπτει
$f'(\xi)^2<-f(a)f(b) \Rightarrow \left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)^2<-f(a)f(b) \Rightarrow \\ (b-a)^2>-\frac{\left(f(b)-f(a)\right)^2}{f(a)f(b)} \geq -\frac{-4f(a)f(b)}{f(a)f(b)}=4$
και το ζητούμενο δείχθηκε. Ελπίζω να είμαι σωστός.

SteliosIoa · 02-03-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
ΘΜΤ στο [α,β] και αντικαθιστώντας το ξ στην δοθείσα προκύπτει
$f'(\xi)^2<-f(a)f(b) \Rightarrow \left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)^2<-f(a)f(b) \Rightarrow \\ (b-a)^2>-\frac{\left(f(b)-f(a)\right)^2}{f(a)f(b)} \geq -\frac{-4f(a)f(b)}{f(a)f(b)}=4$
και το ζητούμενο δείχθηκε. Ελπίζω να είμαι σωστός.

καλα τα μυαλα μου και μια λυρα! ειχα κανει λαθος στις πραξεις !!! ευχαριστω πολυ

Μαριλινάκι · 02-03-14

Θυμάστε πώς γίνεται η παραγώγιση της παράστασης ln( 1 + 1/χ)χ ( λν του 1 και 1διαχ και η παρένθση εις τη χ) ?
Ευχαριστώ!

DumeNuke · 02-03-14

Αρχική Δημοσίευση από Μαριλινάκι:
Θυμάστε πώς γίνεται η παραγώγιση της παράστασης ln( 1 + 1/χ)χ ( λν του 1 και 1διαχ και η παρένθση εις τη χ) ?
Ευχαριστώ!

{ln[(1+1/x)^x]}'

vimaproto · 4 Μαρτίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Μαριλινάκι:
Θυμάστε πώς γίνεται η παραγώγιση της παράστασης ln( 1 + 1/χ)χ ( λν του 1 και 1διαχ και η παρένθση εις τη χ) ?
Ευχαριστώ!

Την ονομάζω y και $y=xln\frac{x+1}{x}$
$\{y}^{'}=1.ln\frac{x+1}{x}+x.[ln\frac{x+1}{x}]'=1.ln\frac{x+1}{x}+x.\frac{\frac{x-x-1}{{x}^{2}}}{\frac{x+1}{x}}=ln\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x+1}$

DumeNuke · 03-03-14

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
{ln[(1+1/x)^x]}'

Διόρθωση καθώς περιείχε λάθη.

need4sheed · 05-03-14

αν μπορει καποιος ας βοηθησει:Δινονται οι μιγαδικοι z,w των οποιων οι εικονες ανηκουν σε κυκλο με κεντρο 0(0,0) και ρ=1 και ισχυει z^2 +1=wz
α)να βρειτε την αποσταση των εικονων των μιγαδικων z και w
Β)να αποδειχθει οτι w(z^2 +1)=z
γ)να βρειτε τους μιγαδικους z,w
δ)αφου παραστησετε στο μιγαδικο επιπεδο τις εικονες ολων των μιγαδικων z,w να αποδειξετε οτι σχηματιζουν κανονικο εξαγωνο εγγεγραμμενο στον μοναδιαιο κυκλο

rebel · 6 Μαρτίου 2014

α)
$z^2+1=zw \Rightarrow z(z-w)=-1 \Rightarrow |z||z-w|=|-1| \Rightarrow |z-w|=1$
β)
Παίρνουμε συζυγείς στην σχέση:
$\bar{z}^2+1=\bar{z}\bar{w} \stackrel{z \bar{z}=1,\,\,w \bar{w}=1}{ \Rightarrow}\frac{1}{z^2}+1=\frac{1}{zw} \Rightarrow w\left(z^2+1\right)=z$
γ)
$\begin{cases} z^2+1=wz \\ w\left(z^2+1\right)=z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z^2+1=wz \\ w wz= z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z^2+1=wz \\ \left(w^2-1\right)z=0 \end{cases}.$
Επειδή $z \neq 0$ απο τη δεύτερη σχέση παίρνουμε $w=1$ ή $w=-1$ και αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση παίρνουμε τις εξισώσεις $z^2-z+1=0,\,\,z^2+z+1=0$ αντίστοιχα οι οποίες έχουν λύσεις
$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
δ)
Θεωρούμε
$z_0=1$
$z_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$z_3=-1$
$z_4=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$z_5=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
και εύκολα βλέπουμε ότι $|z_i|=1,\,\,i=0,\ldots,5$ και $|z_i-z_{i-1}|=1,\,\,i=1,\ldots,5,\,\,\,|z_0-z_5|=1$

Dafni16 · 07-03-14

Μία βοήθεια στην 4 και στην 5

rebel · 8 Μαρτίου 2014

4)
α)
$\int_0^1 e^{t-1}\left[f(t)+F(t)\right]dt = \int_0^1 \left(e^{t-1}F(t)\right)' dt = \left[e^{t-1}F(t)\right]_0^1= F(1)$
αφού $F'(t)=f(t)\,\,\forall t \geq 0$
β)
$h'(x)=\frac{f(x) \int_0^x t f(t) dt-F(x)x f(x)}{\left(\int_0^x t f(t) dt \right)^2}=\frac{f(x) \left(\int_0^x t f(t) dt-xF(x)\right)}{\left(\int_0^x t f(t) dt \right)^2}.$
Όμως για κάθε $x >0$ έχουμε:
$0 \leq t \leq x \stackrel{f(t)>0}{\Rightarrow} t f(t) \leq x f(t) \Rightarrow \int_0^x tf(t) dt < \int_0^x x f(t) dt = x F(x)\Rightarrow \\ h'(x)<0$
γ)
i)
Άμεσο από $h(1)>h(2)$
ii)
Με παραγοντική ολοκλήρωση:
$\int_0^1 F(t) dt = \int_0^1 (t)' F(t) dt= \left[tF(t)\right]_0^1-\int_0^1 t f(t) dt = F(1) - \frac{F(1)}{2}=\frac{F(1)}{2}$
Αφού
$h(1)=2 \Rightarrow \int_0^1 t f(t) dt = \frac{F(1)}{2}$
δ)
Η ανίσωση γράφεται:
$F\left(x^4+1\right)> F \left(x^2+1 \right) ,\,\,(1)$
και αφού $F'(x)=f(x)>0$ για $x>0$ , η $F$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ οπότε
$(1) \Leftrightarrow x^4+1>x^2+1 \Leftrightarrow x^2 \left( x^2-1 \right)>0 \stackrel{x>0} {\Leftrightarrow} x >1$

Η 5 είναι σαν το περσινό Δ2 των πανελληνίων.

Filippos14 · 08-03-14

Αν ισχυει x^2(1-f(x))>=0 για καθε χ στο R,τοτε συνεπαγεται οτι 1-f(x)>=0 ?

rebel · 08-03-14

Για $x \neq 0$ ισχύει. Στο $0$ δεν ξέρω τι γίνεται.

Filippos14 · 08-03-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Για $x \neq 0$ ισχύει. Στο $0$ δεν ξέρω τι γίνεται.

Δεν σε καταλαβαινω :/:

rebel · 8 Μαρτίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Filippos14:
Δεν σε καταλαβαινω

Για $x \neq 0$ ισχύει $x^2>0$ οπότε $x^2 \left(1- f(x) \right) \geq 0 \Rightarrow f(x) \leq 1$

Για $x=0$ όμως είναι $0^2 \left(1-f(0)\right) =0$ αλλά μπορεί να ισχύει είτε $f(0)>1$ είτε $f(0)=1$ είτε $f(0)<1$

t00nS · 8 Μαρτίου 2014

(χ^2 + 1) ^ (χ^2 + 1) * f ' (x) * e ^2x *f(x)=1 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης μια βοήθεια αν γίνεται!!

rebel · 08-03-14

$\left(x^2+1\right)^{x^2+1}f'(x)e^{-2x}f(x)=1$
Αυτό;

t00nS · 08-03-14

έτσι αλλά το f '(x) και το f(x) είναι υψωμένα και στο e δεν υπάρχει - δηλαδή e^2x

Civilara · 08-03-14

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
(χ^2 + 1) ^ (χ^2 + 1) * f ' (x) * e ^2x *f(x)=1 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης μια βοήθεια αν γίνεται!!

Γράψε την εκφώνηση ξεκάθαρα και ακριβώς όπως την δίνει η άσκηση. Η f είναι παραγωγίσιμη σε όλο το R ή σε υποσύνολο του; Δώσε που ορίζεται, που είναι συνεχής και που παραγωγίζεται η f.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος