Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

mostel · 23 Απριλίου 2008 στις 03:13

Θα ασχοληθώ με το 3ο ερώτημα , που παρεπτιπτόντως είναι ωραίο .

Τα πρώτα δύο είναι σχετικά εύκολα !

Ισχύει :

$[f(x)-x]^2\geq 0$

Άρα :

$\int_0^1[f(x)-x]^2\geq 0$

$\int_0^1f^2(x)dx -\int_0^12xf(x)dx +\int_0^1x^2dx\geq<br /> 0$

$\int_0^1f^2(x)dx\geq 2\int_0^1xf(x)dx -\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1\geq 2\cdot\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=1$ (η τελευταία ανισοτική σχέση προκύπτει από το ερώτημα ii).

Άλλο ερώτημα θα μπορούσε να 'ναι να δειχθεί ότι $f(1) =2$ ... (Θεώρημα Fermat στην αρχική)

galois01 · 23 Απριλίου 2008 στις 11:25

@sentenced κάτι λείπει στην εκφώνηση κοίτα το λίγο ξανά.

_sentenced_ · 23 Απριλίου 2008 στις 17:40

τι να σου πω...και μένα έτσι μου την έδωσαν και πελάγωσα, σεν ξέρω τι να κάνω, λες γι αυτό? θα ρωτήσω

mostel · 28 Απριλίου 2008 στις 02:23

Αυτή ισχύει μόνο αν η f είναι κυρτή . (Ανισότητα Jensen για δύο όρους)

Αν είναι κοίλη, ισχύει η αναστροφή αυτής (διαφορειτκή φορά στην ανίσωση).

Π.χ.

Πάρε την lnx που στρέφει τα κοίλα κάτω στο R .

Έχουμε :

$\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)>\frac{\ln a +\ln b}{2}$

$\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)>\frac{1}{2}\cdot \ln ab$

$\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)>\ln(ab)^{\frac{1}{2}}$

$\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)>\ln\sqrt{ab}$

$a+b>\sqrt{ab}$

Που ισχύει αφού:

$a+b\geq 2\sqrt{ab} >\sqrt{ab}$

Απόδειξη της $a+b\geq2\sqrt{ab}$ :

$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2 -2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\geq 0$

$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq 0$

που ισχύει .

Άρα η άσκηση είναι λάθος δοσμένη και αφήστε που δεν είναι για Β' Λυκείου !

Γιώργος · 28 Απριλίου 2008 στις 02:30

Συν ότι λείπει το 1ο ερώτημα που ζητάει να αποδείξεις την ανισότητα Jensen. Στις Πανελλήνιες δεν θα δοθεί ΠΟΤΕ κάτι τέτοιο μόνο του, αλλά θα έχει ένα 1ο ερώτημα για να σε καθοδηγήσει.

Υ.γ.: Επειδή έχει ύλη Γ' Λυκείου το μεταφέρω στη Γ' Λυκείου, σόρρυ.

_sentenced_ · 28 Απριλίου 2008 στις 11:28

είπα και γω...
οκ πάντως ευχαριστώ...

stelmar87 · 5 Μαΐου 2008 στις 15:17

Ρε παιδια μηπως εχετε τις απαντήσεις στα θέματα των επαναλητικών πανελλαδικών της Γ Λυκείου για τα μαθηματικά????

Scandal · 7 Μαΐου 2008 στις 20:13

Λίγο help με την παρακάτω.

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: [α,β]->R για τις οποίες ισχύουν:

οι f,g είναι συνεχείς στο [α,β], όπου α>0
οι f,g είναι παραγωγίσιμες στο (α,β)
f(α)=f(β)=0
f(x)g(x)=/0 για κάθε xε(α,β)

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε $\frac{f'( \xi)}{f( \xi)} + \frac{g'( \xi)}{g( \xi)}= \frac{1}{\xi}$

Η πλάκα είναι ότι κάποτε την είχα λύσει και την είχα σημειώσει σαν σοσ επειδή με είχε δυσκολέψει.

-petros

mostel · 7 Μαΐου 2008 στις 20:33

Θεώρησε τη συνάρτηση :

$H(x)=\frac{f(x)g(x)}{x}$

και κάνε Rolle

Στέλιος

hrstav59 · 7 Μαΐου 2008 στις 20:55

εφαρμοσε Rolle για τη συνάρτηση [φ(χ)=f(χ)*g(χ)/χ στο διαστημα [α,β]

Scandal · 7 Μαΐου 2008 στις 22:14

Thanks!

Η αλήθεια είναι πως γνώριζα από τις υποδείξεις ότι πρέπει να κάνω Rolle σε αυτή τη βοηθητική, όμως δεν ξέρω πώς ακριβώς προκύπτει.

-petros

mostel · 7 Μαΐου 2008 στις 22:29

Όπου $\xi$ βάζω $x$ ...

Και έχουμε :

$\frac{f'(x)}{g(x)}+\frac{g'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x}$

Ξεφορτώνομαι τα $f(x), g(x)$ στους παρανομαστές πολ/ζοντας με $f(x)\cdot g(x)$ και έχουμε :

$g(x)f'(x)+g'(x)f(x)=\frac{g(x)f(x)}{x}$

$xg(x)f'(x)+xg'(x)f(x)=g(x)f(x)$

$x\left[g(x)f'(x)+g'(x)f(x)\right]=g(x)f(x)$

$x\left[f(x)g(x)\right]' - (x)'g(x)f(x)=0$

Ή

$\frac{x\left[f(x)g(x)\right]' - (x)'g(x)f(x)}{x^2}=0$

$\left[\frac{f(x)g(x)}{x}\right]'=0$

( μπορώ να διαιρέσω με $x^2$ μιας και κινείται μεταξύ του $[a,b]$ , με $a>0$ ).

Άρα κάνω Rolle στην $H(x)=\frac{f(x)g(x)}{x}$ !

Στέλιος

Scandal · 7 Μαΐου 2008 στις 22:42

:no1::no1::no1::no1::no1::no1::no1:

-petros

kritikos · 7 Μαΐου 2008 στις 23:18

Λύστε στο C την εξίσωση
$z^3-3z^2+3z-28=0$

mostel · 8 Μαΐου 2008 στις 00:12

Διαφορά κύβων ;

$z^3-3z^2+3z-1 -27 = 0$

$(z-1)^3 - 3^3 = 0$

Xρησιμοποιούμε την

$a^3 -b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

κλπ

Στέλιος

go2jimmys · 9 Μαΐου 2008 στις 12:02

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Διαφορά κύβων ;

$z^3-3z^2+3z-1 -27 = 0$

$(z-1)^3 - 3^3 = 0$

Xρησιμοποιούμε την

$a^3 -b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

κλπ

Στέλιος

Σωστός!!!
και εγω το προσεξα

riemann80 · 11 Μαΐου 2008 στις 11:11

εστω α ενας πραγματικος αριθμος.να αποδειξετε οτι δεν υπαρχει θετικη συνεχης συναρτηση $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ ωστε

$<br /> \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 1,\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)} dx = a,\int\limits_0^1 {x^2 f\left( x \right)} dx = a^2 <br />$

nefertiti · 12 Μαΐου 2008 στις 12:00

ρε παιδια μήπως ξέρετε που μπορώ να βρώ τις απαντήσεις του ιουλίου στα
μαθηματικα των επαναληπτικών εξετάσεων??

nefertiti · 12 Μαΐου 2008 στις 18:19

ασε τιποτα,κανεις δεν εχει και εγω τα ψαχνω

dal_kos · 12 Μαΐου 2008 στις 20:29

Εδω:
https://www.kelafas.gr/Panellinies07/themata07_6.htm

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διαχειριστής

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διαχειριστής

Πολύ δραστήριο μέλος

Διαχειριστής

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος