Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

demerlad · 7 Απριλίου 2008 στις 17:20

Ωραιος :no1: Βασικα αυτο ηταν η ασκηση ολα τα αλα ειναι κλασικα

firekid · 9 Απριλίου 2008 στις 19:11

'Εστω κυρτή συνάρτηση f : [0,+άπειρο) --> R με f(0)=1 και f'(0) = 0
Α. Να δείξετε ότι f(x) > 1 , για x > 0.
Β. Αν g(x) = $\int_1^x f(t)dt$ - $\int_1^x lnf(t)dt$ , x ε [0,+απειρο) , να δείξετε ότι :
α. η συνάρτηση g είναι κυρτή στο [0,+απειρο)
β. $e^f(x) > ef(x)$ , για x >0
γ. $\int_1^2 f(t)dt$ > $\int_1^2 lnf(t)dt$

δεν μου βγαίνει καθόλου :'(

P.S. συγνώμη αν έχω κάνει κάνα λάθος στο πως την έγραψα αλλά είμαι καινούργιο μέλος

M.d · 9 Απριλίου 2008 στις 19:39

firekid · 9 Απριλίου 2008 στις 20:54

και για τα 2 θές?

firekid · 9 Απριλίου 2008 στις 21:32

'Εστω κυρτή συνάρτηση f : [0,+άπειρο) --> R με f(0)=1 και f'(0) = 0
Α. Να δείξετε ότι f(x) > 1 , για x > 0.
Β. Αν g(x) =

-

, x ε [0,+απειρο) , να δείξετε ότι :
α. η συνάρτηση g είναι κυρτή στο [0,+απειρο)
β.

, για x >0
γ.

>

δεν μου βγαίνει καθόλου :'(

P.S. συγνώμη αν έχω κάνει κάνα λάθος στο πως την έγραψα αλλά είμαι καινούργιο μέλος

nickzor · 9 Απριλίου 2008 στις 22:19

οκ για να γράψω το πρώτο μου Post αναγκάστηκα να κάνω ολόκληρο restart είχα κλείσει πολλά πράγματα απο το task manager και δεν τράβαγε το PC

Σκιαγραφώ το θέμα :

Α.

f κυρτή αρα f'(x) αυξουσα.

Για x>0 έχω : f'(x)>f'(0) <=> f'(x)>0 αρα f αύξουσα.

για χ>0 <=> f(x)>f(0) αρα f(x)>1 αρα ισχύει.[/latex]

Β. μετά απο εξήγηση περι παραγωγισημότητας της g(x) παραγωγίζεις 2 φορές και καταλήγεις σε :

g''(x) = f'(x) -f'(x)/f(x)
g"(x) = f'(x)*(1-1/f(x))
g"(x) = f'(x)*(f(x)-1)/f(x)

έχεις f'(x)>0 και f(x)>1 Αρα g''(x)>0

αρα η g'(χ) αυξ. αρα g(x) κοίλα άνω.

β. e^f(x)>e*f(x)

Θεωρώ h(x) = e^f(x)-e*f(x), h(0)=0
h'(x)= f'(x)*e^f(x) - e*f'(x)
h'(x) = f'(x)(e^f(x)-e)

Έχω f'(x)>0 και e^f(x)>e <=> f(x)>1 που ισχύει

Αρα h'(x)>0
Αρα για χ>0, h(x)>0

γ. Απο Β.α έχω g' αύξουσα αρα *έφαγα ένα κομμάτι εδώ* για x>0 g'(x)>1 άρα g αυξ.
για 2>1
g(2)>g(1)
και βγαίνει δεν μπορώ να μάθω να γράφω και ολοκληρώματα, όλα σε 5 λεπτά

Μόνο σκιαγράφηση δεν ήταν αυτό αλλά anywayz

καλά έβγαλα τα latex γιατί δεν ξέρω ακόμα να τα χρησιμοποιώ και δεν θα έβγαζες νόημα.

AnaCroN · 9 Απριλίου 2008 στις 22:28

A.
f κυρτή. Άρα h f'(x) γνησίως αύξουσα.
Επίσης σε κάθε σημείο η Cf βρίσκεται πάνω απο την εφαπτομενη της, με εξαίρεση το σημείο επαφής.

f(0) = 1
f'(0) = 0
Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο x=0 είναι η:

$y-f(0)=f'( 0) (x-0)$
f κυρτή άρα $f(x) >= f(0) + f'( 0) (x-0)$

Η ισότητα ισχύει για x=0, άρα για x>0 έχουμε:

$f(x) > f(0) + f'( 0) (x-0)$
$f(x) > 1$

B. α
Η g παραγωγίσιμη 2 φορές ως πράξεις/σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

$g(x) = \int_\1^x f(t) dt - \int_\1^x lnf(t) dt$
$g'(x) = f(x) - lnf(x)$
$g''(x) = f'(x) - \frac{f'(x)}{f(x)}$

Αρκεί g''(x) > 0 για να είναι η g κυρτή.

Έχουμε:

$g''(x) = f'(x)(1 - \frac{1}{f(x)})$

για $x>0$
$f'(x) > f'(0)$
$f'(x) > 0$

$\frac{1}{f(x)} < 1 <br /> 1 - \frac{1}{f(x)}>0$

Οπότε: $g''(x) = f'(x)(1 - \frac{1}{f(x)}) > 0$

β.
$e^{f(x)} > ef(x)$
$\frac{e^{f(x)}}{e} > f(x)$
$e^{f(x)-1} > f(x)<br />$

$f(x)-1>lnf(x)$
$f(x) - lnf(x) > 1$
$g'(x) > 1$

$g'(x)$ γνησίως αύξουσα με $g(0) = 1 - 0 = 1$
Δηλαδή για $x>0$
$g'(x) > g'(0)$
$g'(x) > 1$ Οπότε ισχύει.

γ. Έχουμε $g'(x) > 1$
$f(x) - lnf(x) > 1 > 0$
$f(x) - lnf(x) > 0$
$f(x) > lnf(x)$

Ολοκληρώνοντας παίρνουμε το ζητούμενο:

$\int_\1^2 f(t) dt > \int_\1^2 lnf(t) dt$

mostel · 9 Απριλίου 2008 στις 22:36

Προσθέτω ακόμη ένα ερώτημα για να γίνει λίγο πιο hot

Για $a,b,c>0$ , να δειχθεί ότι:

$a^{f(x)}+b^{f(x)}+c^{f(x)}> 4-\frac{1}{(abc)^{f(x)}}$

Στέλιος

firekid · 9 Απριλίου 2008 στις 23:36

THNX!! Τελικά βέβαια κατάφερα να το λύσω αλλά δυσκολέυτικα

ελπίζω να μην πέσει κάτι τέτοιο φέτος !

Chris0705 · 10 Απριλίου 2008 στις 00:19

A. f κυρτή άρα f ' γνησίως αύξουσα στο [0,+άπειρο), κατά συνέπεια για
χ>0=> f '(x)>f '(0)=>f '(x)>0 Άρα η f γνησίως αύξουσα στο ίδιο διάστημα και άρα για χ>0=> f(x)>f(0)=>f(x)>1
B. g'(x)=f(x)-lnf(x)
$g''(x)=f '(x)-\frac{f '(x)}{f(x)}\\\frac{f '(x)f(x)-f '(x)}{f(x)}\\\frac{f '(x)(f(x)-1)}{f(x)}>0$ αφού f(x)>1 & f '(x)>0 για κάθε χ>0. Άρα η g κυρτη στο [0,+άπειρο)
$e^{f(x)}>ef(x)=> lne^{f(x)}>ln(ef(x))$ =>f(x)>1+lnf(x) => f(x)-lnf(x)>1=> g'(x)>1=>g'(x)>g'(0) που ισχύει
αφού η g' είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό δεδομένου του ότι η g είναι κυρτή.
$\int_1^2 f(t)dt > \int_1^2 lnf(t)dt$ άρα $\int_1^2 f(t)dt - \int_1^2 lnf(t)dt >0$
=>g(2)>0=> g(2)>g(1) που ισχύει διότι g' γνησίως αύξουσα, άρα g'(x)>g'(0)=> g'(x)>1>0, άρα g γνησίως αύξουσα, οπότε ισχύει η προηγούμενη σχέση.
Ελπίζω να βοήθησε!

vamou90 · 10 Απριλίου 2008 στις 21:39

Θέμα 1...α)θέσε όλο αυτό μέσα στο όριο ίσο με g(x) ή ότι άλλο θες... λύσε ως προς f(x) και βρες το όριο της f είναι συνεχής άρα το f(0) ισούται με το όριο της f στο 0...
β)πάρε τον τύπο με το όριο στο 0 f(x)-f(0)/x και πρέπει να βγει πραγματικός
γ)πρέπει να βγάλεις ότι οι παράγωγοι των f k h στο 0 έιναι ίσες δλδ... h'(0)=f'(0)

vamou90 · 10 Απριλίου 2008 στις 21:55

Για το τέταρτο....το α είναι ίδιο με το α κ β του προηγούμενου θέματος...
β. Έστω ότι υπάρχουν τα χ1 κ χ2... από Θ.Rolle πάει σε άτοπο
γ. g(x)=f(x)+x-2...και Θ.Bolzano.
δ. κ ανήκει στο (0,ξ) και λ ανήκει στο (ξ,2) όπου ξ απο το γ δλδ f(ξ)=0
και κάνεις Θ.Μ.Τ. σε αυτά τα διαστήματα....

mostel · 12 Απριλίου 2008 στις 10:54

Κανείς ρε παιδιά δε την προσπάθησε ; :mad:

beautiful loser · 12 Απριλίου 2008 στις 11:14

Εγώ ασχολήθηκα λίγο μαζί της αλλά δεν μου βγήκε ,καθώς γράφω αυτό το post την ξαναδοκιμάζω ,χχμμμ δεν μπορώ να συσχετίσω το αποτέλεσμα που βγαζω με το 4

vamou90 · 12 Απριλίου 2008 στις 11:18

Ρε συ mostel απ' ότι έχω δει κάτι τέτοια βάζουν στη μαθηματική εταιρία... θα προσπαθήσω να δω αν βγαίνει κάτι αλλά δεν νομίζω να μπορέσω...

mostel · 12 Απριλίου 2008 στις 11:27

Το υποερώτημα το κατασκεύασα με πολύ πολύ απλή ανάλυση και τίποτα το εξωφρενικό

vamou90 · 12 Απριλίου 2008 στις 12:41

Άσχετο....αλλά ξέρετε που μπορώ να βρω στο διαδίκτυο τα επαναληπτικά περσινά θέματα???

leftkox · 12 Απριλίου 2008 στις 21:22

Το προχώρησα λίγο με τα κλασικά (παράγωγος, εύρεση ελάχιστου κ.λ.π.) και κατέληξα πως αρκεί να δείξω ότι α + β + γ + 1/αβγ -4 > 0 ... Παίζει μήπως να είμαι σε καλό δρόμο ή μπα;

mostel · 12 Απριλίου 2008 στις 22:56

Αν δεν βαριέσαι , γράψε ολόκληρη τη λογική σου !~

Στέλιος

mostel · 12 Απριλίου 2008 στις 23:07

Btw, αυτή που λες ισχύει . (Η ισότητα είναι πονεμένη ιστορία... γι αυτό έβαλα κυρίως την άσκηση )

Έχουμε:

$a+b+c+\frac{1}{abc} > 4$

Έστω $a =\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}$

Γράφεται δηλαδή και :

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+xyz > 4$

Ή

$\frac{xy+yz+zx}{xyz}+\frac{(xyz)^2}{xyz}>4$

Ή

$\frac{xy+yz+zx+(xyz)^2}{xyz}>4$

Όμως από Arithmetic - Geometric Mean Inequality ισχύει:

$\frac{xy+yz+zx+(xyz)^2}{xyz}\geq\frac{4\sqrt[4]{(xyz)^2\cdot xy\cdot xz\cdot zy}}{xyz}=\frac{4\sqrt[4]{(xyz)^4}}{xyz}=\frac{4xyz}{xyz}=4$

και τελειώσαμε...

Σημείωση: Η ισότητα εδώ ισχύει για $x=y=z$ , όμως γιατί δεν ισχύει γενικά για την άσκηση ;

Στέλιος

ΥΣ: Η λύση μου είναι όμως πολύ πιο απλή...

ΥΣ: Πληροφορίες για την ανισότητα που χρησιμοποίησα παραπάνω εδώ !

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος