Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Kristal · 23 Μαρτίου 2008 στις 22:26

πως είναι δυνατόν να βγήκε το ίδιο με το αρχικό?

Γιώργος · 23 Μαρτίου 2008 στις 22:28

Αρχική Δημοσίευση από Kristal:
πως είναι δυνατόν να βγήκε το ίδιο με το αρχικό?

Μάλλον έκανε κατά λάθος παραγοντική στο πολυώνυμο.

Σ' αυτά που βγαίνουν "κλασικά" με παραγοντική, απλά κάνεις παραγοντική συνέχεια στο ίδιο.
Η λογική πολύ απλή: για να "φύγει" το πολυώνυμο. Γιατί με ν-παραγοντικές (όπου ν: ο βαθμός του) φεύγει.

Kristal · 23 Μαρτίου 2008 στις 22:43

Ρε συ γιώργο και με κατα παράγοντες στο πολυώνυμο δεν νομίζω να βγαίνει το ίδιο ολοκλήρωμα...

Γιώργος · 23 Μαρτίου 2008 στις 22:44

Αρχική Δημοσίευση από Kristal:
Ρε συ γιώργο και με κατα παράγοντες στο πολυώνυμο δεν νομίζω να βγαίνει το ίδιο ολοκλήρωμα...

Το δοκίμασες;

Πρώτα στο εκθετικό και αμέσως μετά στο πολυώνυμο που βγαίνει.

Kristal · 23 Μαρτίου 2008 στις 22:51

Αρχική Δημοσίευση από Γιώργος:
Το δοκίμασες;

Πρώτα στο εκθετικό και αμέσως μετά στο πολυώνυμο που βγαίνει.

Οχι δεν το δοκίμασα αλλα λογικά ο βαθμός του πολυωνύμου θα αυξάνει διαρκώς λόγω των παραγουσών του...
Εναλλάξ θα το πάμε?

Γιώργος · 23 Μαρτίου 2008 στις 23:00

Αρχική Δημοσίευση από Kristal:
Οχι δεν το δοκίμασα αλλα λογικά ο βαθμός του πολυωνύμου θα αυξάνει διαρκώς λόγω των παραγουσών του...
Εναλλάξ θα το πάμε?

Εννοώ: αν κάνεις παραγοντική στο εκθετικό το πολυώνυμο πέφτει. Αν κάνεις αμέσως μετά στο πολυώνυμο, ξαναέρχεται στη θέση του.

Kristal · 23 Μαρτίου 2008 στις 23:07

Αρχική Δημοσίευση από Γιώργος:
Εννοώ: αν κάνεις παραγοντική στο εκθετικό το πολυώνυμο πέφτει. Αν κάνεις αμέσως μετά στο πολυώνυμο, ξαναέρχεται στη θέση του.

Ναι ρε συ το κατάλαβα η πρώτη πρόταση πήγαινε για την ερώτηση αν το δοκίμασα και η 2η για αυτο που λες...

nick29 · 25 Μαρτίου 2008 στις 19:59

Τι λέτε για αυτό; Φαίνεται απλό, αλλά κόλλησα...
$\int \frac{1}{x^2+1} dx$

mostel · 25 Μαρτίου 2008 στις 20:00

$x = \tan u$ και είσαι οκ νομίζω.

(Αν και το αποτέλεσμα θα 'ναι arctan, εκτός ύλης λυκείου!)

maria122132 · 3 Απριλίου 2008 στις 10:54

.............

mad cow · 3 Απριλίου 2008 στις 14:06

εγω δεν βλεπω καμια ασκηση?

Γιώργος · 3 Απριλίου 2008 στις 17:04

Για όσους δεν βλέπουν εικόνα:

Έστω μία συνάρτηση $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ με $f'(x)=\sqrt{1+f^2(x)}$ για κάθε $x\in[0,1]$ . Αν $f(0)+f(1)=0$ να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
$I = \int_0^1 f(x)dx$

Λοιπόν, έτσι όπως είναι το ολοκλήρωμα δεν προχωρά. Το μοναδικό που μπορώ να κάνω είναι παραγοντική (τσεκάρετέ το όταν δεν προχωρά το ολοκλήρωμα).

$\begin{eqnarray} I & = & \int_0^1 f(x)dx \\ & = & \int_0^1 (x)' f(x)dx \\ & = & [x f(x)]_0^1 - \int_0^1 x f'(x)dx \\ & = & f(1) - \int_0^1 x \sqrt{1+f^2(x)}dx \\ \end{eqnarray}$

Αλλά δεν μπορώ να σκεφτώ πώς μπορεί να προχωρήσει αυτό. :/:

Ωστόσο, σε τέτοιες περιπτώσεις στο τέλος, γράφτε ακόμα κι αυτό. Σίγουρα θα πάρετε κάνα μόριο, για τον "κόπο" σας. Ποτέ δεν αφήνουμε ένα θέμα κενό - καθώς δεν υπάρχει αρνητική βαθμολόγηση.

Άλλες πληροφορίες επίσης είναι ότι f: γνησίως αύξουσα (εύκολα προκύπτει). Κι αυτό το γράφουμε, καθώς μπορεί να μας δώσει κάτι παραπάνω.

eliza04 · 3 Απριλίου 2008 στις 19:19

και εγω μεχρι εκει εχω φτασει, δεν μπορω να το προχωρησω

maria122132 · 3 Απριλίου 2008 στις 22:41

Την έλυσα!:no1:

Γιώργος · 3 Απριλίου 2008 στις 22:45

Αρχική Δημοσίευση από maria122132:
Την έλυσα!:no1:

Πες και πώς γιατί μ' έχει φάει η περιέργεια.

mostel · 3 Απριλίου 2008 στις 23:44

Εγώ πάλι θα 'λεγα kinda classic one...

Let me try:

$\frac{f'(x)}{\sqrt{f^2(x)+1}}=1$

$\frac{2f'(x)f(x)}{2\sqrt{f^2(x)+1}}=f(x)$

$\frac{((f^2(x)+1)'}{2\sqrt{f^2(x)+1}}=f(x)$

$(\sqrt{f^2(x)+1})'=f(x)$

Μετά integrate, αντικατάσταση και προκύπτει άμεσα το ζητούμενο .

Στέλιος

ΥΣ: Τι να το κάνεις που 'ναι γνησίως αύξουσα... αυτό είναι εκτός τόπου και χρόνου από το θέμα... Να γράψω αν είναι το πάτερ ημών μπας και πάρω κανά μόριο παραπάνω αν πέσω σε κάναν θρήσκο...

Γιώργος · 4 Απριλίου 2008 στις 20:09

Α στο διάολο.

Όντως, κάτι τέτοια έκανα πριν κάτι βδομάδες για να υπολογίσω το:
$\int_{-L}^L [f(x)]^2 dx$ , όπου η f αναπτύσσεται σε σειρά Fourier!

mostel · 4 Απριλίου 2008 στις 21:42

Πρόσεχε όμως , στη Fourier analysis , δεν αναλύεται κάθε f - άσχετα που αυτό πίστευε ο φουκαράς ο Fourier -

Στέλιος

demerlad · 6 Απριλίου 2008 στις 22:11

Λοιπον εχθες εγραψα στον καθηγητη που μου κανει ιδιαιτερο ενα προχειρακι στα μαθηματικα κατευθυνσης...θα ποσταρω το 2ο θεμα να δω πόση φαντασια μπορει να έχετε για καποιο υποερωτηματακι, λιγο τραβηγμενο για το τέλος βέβαια αλλα τελος παντων...

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f $:[a,b]-> R$ με f(b) = 2f(a) τέτοια ώστε να ισχύει : $f'(x) = 2f^2(x) - 4f(x) +4$ για κάθε x που ανήκει στο [a,b] .

Να δείξετε ότι :
α. $f(a) > 0$

β. $\int_a^b f(x) dx$ $< ln2$

γ. Αν $f(a) > 1$ τότε

i) Η f κυρτή
ii)Δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της f τρία διαφορετικά σημεία συνεθυειακά.

Περιμένω απαντήσεις...Καλή επιτυχία :no1:

mostel · 7 Απριλίου 2008 στις 03:01

Λοιπόν... Θα ασχοληθώ μόνο με το β , το οποίο μου άρεσε .

Έχουμε:

$f^2(x)<f'(x)$

Έστω ότι ίσχυε $f^2(x)\geq f'(x)$ . Τότε θα είχαμε από υπόθεση:

$f'(x) = 2f^2(x) -4f(x)+4\leq f^2(x)$

$(f(x)-2)^2\leq 0$

$f(x)=2$

Άτοπο , μιας και δεν είναι σταθερή η συνάρτησή μας .

Άρα ισχύει:

$f^2(x)<f'(x)$

Ή

$f(x)<\frac{f'(x)}{f(x)}$

ή

$\int_a^bf(x)dx<\int_a^b\frac{f'(x)}{f(x)}dx$

$\int_a^bf(x)dx<[\ln f(x)]_a^b$

$\int_a^bf(x)dx<\ln f(b)-\ln f(a)$ (1)

Όμως

$f(b)=2f(a)$

$\frac{f(b)}{f(a)}=2$

$\ln\frac{f(b)}{f(a)}=\ln 2$

$\ln f(b)-\ln f(a)=\ln 2$ (2)

Τη (2) την τοποθετούμε στην (1) και τελειώσαμε .

Στέλιος

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος