Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Γατόπαρδος. · 28 Μαρτίου 2015 στις 18:19

Μπορεί να βοηθήσει κάποιος?Έστω και μια υπόδειξη

Αν υπάρχει συνάρτηση f:R-->R για την οποία ισχύει https://prntscr.com/6mg01f για καθε xER να βρείτε συναρτήσεις g,h τέτοιες ώστε να ισχύει gof=h

PiDefiner · 28 Μαρτίου 2015 στις 21:07

Αρχική Δημοσίευση από blackorgrey:
Έχεις g^2(x)=e^x-x+c.
Θέτοντας χ=0 παίρνεις c=0.Άρα g^2(x)=e^x-x το οποίο είναι πάντα θετικό,μπορείς να το δείξεις εύκολα.Άρα η g^2 δεν μηδενίζεται και συνεπώς ούτε η g.
Μπορεί να χω κάνει κάποιο λαθάκι γιατί τα βλέπω με το μάτι αλλά νομίζω αυτό είναι

Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι το δεξί σκέλος δεν μηδενίζεται και να βρω ένα g(xo) για να πω ότι διατηρεί πρόσημο; Απ' όσο θυμάμαι από bolzano που τα πρωτοέκανα, δεν έπρεπε να δείξω ότι η συνάρτηση που έθεσα είναι διάφορη του μηδέν; Γιατί στις ασκήσεις, προκειμένου να μπει ρίζα, είχαμε πάντα το δεξί σκέλος διάφορο του μηδέν.

kachorra · 28 Μαρτίου 2015 στις 21:19

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αυτό έχει ενδιαφέρον. Αρκεί να βρεις κατάλληλο εσωτερικό σημείο, ας πούμε $\rho$ , του $[0,2]$ και στην συνέχεια να εφαρμόσεις ΘΜΤ στα επιμέρους διαστήματα $[0,\rho],[\rho,2]$ . Θέλω δηλαδή να βρω $\xi_1\in (0,\rho),\xi_2 \in (\rho,2)$ τέτοια ώστε
$1=f'(\xi_1)f'(\xi_2)=\frac{f(\rho)-f(0)}{\rho-0}\frac{f(2)-f(\rho)}{2-\rho}=\frac{f(\rho)-2}{\rho}\,\,\frac{-f(\rho)}{2-\rho}$
Αρκεί δηλαδή $f(\rho)=\rho$ . Μπορώ να εξασφαλίσω την ύπαρξη ενός τέτοιου $\rho$ ;

Μπορώ να κάνω bolzano Στην g(x)= f(x)-x στο 0,2?

rebel · 28 Μαρτίου 2015 στις 22:02

Ναι ακριβώς. Παραπάνω έγραψα απλώς την σκέψη/ανάλυση. Όταν το καθαρογράψεις κάνε πρώτα το bolzano στο [0,2] και μετά τα ΘΜΤ στα [0,ρ],[ρ,2].
Κάτι ακόμα. Η παραπάνω λύση εξασφαλίζει ότι $\xi_1 \neq \xi_2$ . Επειδή όμως από την εκφώνηση δεν απαγορεύεται να είναι $\xi_1=\xi_2$ προσωπικά θα το θεωρούσα σωστό ακόμα κι αν κάποιος θεωρούσε $\xi_1=\xi_2=\xi$ όπου $\xi$ είναι το σημείο του επόμενου υποερωτήματος.

Χαλαραα · 29 Μαρτίου 2015 στις 13:07

Μια βοηθεια εδω!

blackorgrey · 29 Μαρτίου 2015 στις 13:53

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι το δεξί σκέλος δεν μηδενίζεται και να βρω ένα g(xo) για να πω ότι διατηρεί πρόσημο; Απ' όσο θυμάμαι από bolzano που τα πρωτοέκανα, δεν έπρεπε να δείξω ότι η συνάρτηση που έθεσα είναι διάφορη του μηδέν; Γιατί στις ασκήσεις, προκειμένου να μπει ρίζα, είχαμε πάντα το δεξί σκέλος διάφορο του μηδέν.

Το δεξιά μέλος είναι θετικό...άρα δε μηδενίζεται,συνεπώς ούτε η g^2 μηδενίζεται άρα ούτε η g μηδενίζεται οπότε αφού είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο

PiDefiner · 29 Μαρτίου 2015 στις 14:18

Αρχική Δημοσίευση από blackorgrey:
Το δεξιά μέλος είναι θετικό...άρα δε μηδενίζεται,συνεπώς ούτε η g^2 μηδενίζεται άρα ούτε η g μηδενίζεται οπότε αφού είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο

Λογικό μου φαίνεται. Θα τσεκάρω ξανά και τα παλιά από το Bolzano για να το τεστάρω έτσι όπως λες.

blackorgrey · 29 Μαρτίου 2015 στις 14:22

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Λογικό μου φαίνεται. Θα τσεκάρω ξανά και τα παλιά από το Bolzano για να το τεστάρω έτσι όπως λες.

Ποιο σημείο δεν σου κολλάει;Μήπως το εξηγήσω καλύτερα.

PiDefiner · 29 Μαρτίου 2015 στις 14:35

Αρχική Δημοσίευση από blackorgrey:
Ποιο σημείο δεν σου κολλάει;Μήπως το εξηγήσω καλύτερα.

Απλά θυμάμαι (πιθανόν κάνω λάθος) πως όταν κατέληγες σε g²(x)=κάτι , δεν αρκούσε να ξέρεις ότι το "κάτι" είναι διαφορετικό του μηδέν, αλλά έπρεπε να αποδείξεις ότι g(x)<>0 (αυτό που έχεις θέσει ως g), για να μπορείς να βγάλεις το τετράγωνο και να κρατήσεις το ανάλογο πρόσημο. Αν δεν ήξερες ότι g(x)<>0, έβγαζες δύο κλάδους με + και -, με σημείο αλλαγής του τύπου το σημείο που μηδενίζει η g.

Credits στον Dias για το ²

blackorgrey · 29 Μαρτίου 2015 στις 14:38

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Απλά θυμάμαι (πιθανόν κάνω λάθος) πως όταν κατέληγες σε g²(x)=κάτι , δεν αρκούσε να ξέρεις ότι το "κάτι" είναι διαφορετικό του μηδέν, αλλά έπρεπε να αποδείξεις ότι g(x)<>0 (αυτό που έχεις θέσει ως g), για να μπορείς να βγάλεις το τετράγωνο και να κρατήσεις το ανάλογο πρόσημο. Αν δεν ήξερες ότι g(x)<>0, έβγαζες δύο κλάδους με + και -, με σημείο αλλαγής του τύπου το σημείο που μηδενίζει η g.

Credits στον Dias για το ²

Ναι κοίτα λες έστω ότι η g μηδενίζεται σε κάποιο χo...αφού g(xo)=0 τότε g^2(xo)=0.Οπότε αν η g^2 δε μηδενίζεται δε μηδενίζεται ούτε η g.Άρα αφού είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο.

Guest 018946 · 29 Μαρτίου 2015 στις 14:48

Αρχική Δημοσίευση από Χαλαραα:
Μια βοηθεια εδω!

Δες ότι $\int^{1}_{0} (f(x)-x/2)^2 dx =0$
αν η φ(χ)-χ/2 ειχε ενα σημειο που δεν μηδενιζοταν τοτε το ολ/μα θα ηταν μη μηδενικο αρα φ(χ)=χ/2 .

Γατόπαρδος. · 29 Μαρτίου 2015 στις 17:01

ισχύει f(x)+f(3x)=f(3x+x) ??

chonx · 29 Μαρτίου 2015 στις 17:34

παιδια αν μπορειτε να με βοηθησετε στο Δ ερωτημα δεν μπορω να βρω την τιμη της h

DumeNuke · 29 Μαρτίου 2015 στις 17:35

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
ισχύει f(x)+f(3x)=f(3x+x) ??

Μόνο για γραμμικές συναρτήσεις [f(x)=ax, a οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός]

πχ f(x)=x² και g(x)=lnx

f(x)+f(3x)=x²+9χ²=10χ²
f(4x)=16x² =/= 10χ²

g(x)+g(3x)=lnx+ln3x=2lnx+ln3
g(4x)=ln4x=lnx+ln4 =/= 2lnx+ln3

chonx · 29 Μαρτίου 2015 στις 20:49

παιδια μπορέσατε το Δ ερωτημα?? ας μου απαντησει καποιος παρακαλω

rebel · 29 Μαρτίου 2015 στις 22:34

δ) Είναι
$G\left( \frac{1}{x} \right)=\int_{1/e}^{1/x} \frac{f(t)}{t^2} dt \mathop{=}_{du=-\frac{1}{t^2}dt}^{u=\frac{1}{t}}-\int_e^x f\left(\frac{1}{u}\right)du \stackrel{\alpha \,\, i)}{=}\int_x^e f(u) du$
άρα για $x \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right)$ :
$g(x)=F\left( \epsilon \phi x \right)+G\left( \sigma \phi x \right)=F\left( \epsilon \phi x \right)+G\left( \frac{1}{\epsilon \phi x} \right)=\int_{1/e}^{\epsilon \phi x} f(t) dt+\int_{\epsilon \phi x}^e f(t) dt=\int_{1/e}^e f(t) dt=c$
σταθερό και $g(0)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)=c$ λόγω συνέχειας.

johnietraf · 29 Μαρτίου 2015 στις 22:56

Αν w= z + i / 1 + iz οπου z#0
Ndo
| w - i| / | w + i |= |z|

chonx · 29 Μαρτίου 2015 στις 23:58

προφανως για g(x) εννοεις την h(x).
ωραια μεχρι εδω το εκανα και εγω αλλα το c πως το βρίσκεις μετα?

rebel · 30 Μαρτίου 2015 στις 00:13

Ναι την h εννοώ. Μετά είναι
$\int_{1/e}^e f(x)dx=\int_{1/e}^e \frac{x}{1+x^2} dx =\frac{1}{2} \int_{1/e}^e \frac{2x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int_{1/e}^e \frac{\left(1+x^2\right)'}{1+x^2} dx =\left[\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right) \right]_{1/e}^e$

chonx · 31 Μαρτίου 2015 στις 21:25

μια δύσκολη άσκηση!! Αν μπορείτε να με βοηθήσετε στο γ και δ ερώτημα! ευχαριστώ

Απο εκει που λεει θεωρουμε... ειναι αλλη ασκηση

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα