Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

djimmakos · 2009-02-07T13:44:51+0200

Το πινακάκι φτιάχνεται βρίσκοντας τις ρίζες του τριώνυμου και λέγοντας:

Όταν Δ>0:

Για κάθε τιμή του χ που βρίσκεται μέσα στο διάστημα που ορίζεται από τις ρίζες το πρόσημο του τριωνύμου είναι ετερόσημο του α και έξω απ' αυτό το διάστημα
ομόσημο..
(Οι ρίζες της εξίσωσης προφανώς δεν συμπεριλαμβάνονται, έτσι δεν είναι; Μιλάμε για ανοιχτά διαστήματα; )

Όταν Δ=0:

Είναι παντού ομόσημο του α εκτός από το σημείο Χο, δλδ τη διπλή ρίζα της εξίσωσης, διότι εκεί μηδενίζεται (ΠΡΟΣΟΧΗ: Δε μιλάμε για αρνητικό πρόσημο στο Χο, αφού εκεί μηδενίζεται το τριώνυμο)

Όταν Δ<0:

Είναι παντού ομόσημο του α

Οκ μέχρι εδώ, αλλά στο σ' αυτό που έγραψε ο στέλιος, κάνοντας τις πράξεις, λείπει ο πρωτοβάθμιος όρος, άρα δε χρειάζεται να βρούμε τις ρίζες..Έτσι δεν είναι; :what:

mostel · 2009-02-07T14:29:48+0200

Έστω ότι δεν το έχουν κάνει . Τότε, πάλι έιναι απλό. Μια παράσταση είναι μεγαλύτερη ή ίση του 0 , όταν και μόνο όταν οι δύο παρενθέσεις ή είναι και οι δύο ταυτοχρόνως θετικές ή και οι δύο ταυτοχρόνες αρνητικές. Δηλαδή ότι ισχύει:

Ή:

$x+\sqrt{5}\geq 0\quad\&\quad x-\sqrt{5}\geq 0$ (κρατάμε κοινές λύσεις)

ή

$x+\sqrt{5}\leq 0\quad\&\quad x-\sqrt{5}\leq 0$ (κρατάμε πάλι κοινές λύσεις)

Συνολικώς, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι η ένωση των κοινών αυτών λύσεων που ισχύουν στην πρώτη και δεύτερη περίπτωση αντιστοίχως.

Στέλιος

makedonikosole · 2009-02-07T14:47:12+0200

${x}^{2\geq }5\Leftrightarrow \sqrt{{x}^{2}}\geq \sqrt{5}\Leftrightarrow \left|x \right|\geq \sqrt{5}\Leftrightarrow x\succeq \sqrt{5}ήx\leq -\sqrt{5}$
-----------------------------------------
στελιο η λυση σου ειναι σωστη αλλα δεν ενδεικνυται οταν η μορφη του τριωνυμου ειναι ελλιπης δηλαδη οταν β=0 οταν δεν ειναι ελλιπης η μορφη του τριωνυμου θα το λυνεται οπως ειπε ο στελιος δηλαδη με πινακακι και προσημο τριωνυμου που θα τα μάθετε στο τέλος της πρώτης λυκείου

να ρητοποιήσετε το κλάσμα Α= $\frac{{x}^{2}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}$

Shadowfax · 2009-02-07T15:02:12+0200

Πολλαπλασίασε αριθμητή και παρανομαστή με το $\sqrt[3]{x}$

Edit: Α, άσκηση ήταν. Ε βάλτο κι εσύ στο ανάλογο θέμα να ξέρουμε τι συμβαίνει.

mostel · 2009-02-07T16:04:55+0200

Αρχική Δημοσίευση από makedonikosole:
${x}^{2geq }5Leftrightarrow sqrt{{x}^{2}}geq sqrt{5}Leftrightarrow left|x right|geq sqrt{5}Leftrightarrow xsucceq sqrt{5}ήxleq -sqrt{5}$
-----------------------------------------
στελιο η λυση σου ειναι σωστη αλλα δεν ενδεικνυται οταν η μορφη του τριωνυμου ειναι ελλιπης δηλαδη οταν β=0 οταν δεν ειναι ελλιπης η μορφη του τριωνυμου θα το λυνεται οπως ειπε ο στελιος δηλαδη με πινακακι και προσημο τριωνυμου που θα τα μάθετε στο τέλος της πρώτης λυκείου

It's just another way...

Στέλιος

$\sqrt[3]{x^2}=u$ , κ.λπ.

Chris1993 · 2009-02-07T20:51:21+0200

${x}^{2} \geq {5} <=> \sqrt{{x}^{2}} \geq \sqrt{5} <=> |x| \geq \sqrt{5}$

'Αρα :

$x \geq \sqrt{5}$ και $- x \geq \sqrt{5} <=> x \leq -\sqrt{5}$

So...

$x\in R ( - \propto , -\sqrt{5} ] \upsilon [ \sqrt{5} , + \propto )$

djimmakos · 2009-02-07T23:55:30+0200

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Θέμα προετοιμασίας για όσους δώσουν μαθηματική εταιρία...

Άσκηση by me:

Αν $a,b,c>0$ και ισχύει:

$a+b+c=3$ ,

Να δειχθεί ότι:

$frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}geq 3$

Τώρα που το θυμήθηκα ας κεράσω και εγώ μια λύση:p

Ισχύει ότι:

Αν $a,b,c>0$ και x,y,z τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί τότε:

$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\geq \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$ (Την απόδειξη την αφήνω σαν άσκηση

) (ΙΔΙΟΤΗΤΑ 1)

Τώρα πίσω στην ανισότητα που έδωσε ο Στέλιος.

Θέλουμε να δείξουμε ότι:

Αν $a+b+c=3$ με $a,b,c>0$ τότε ισχύει: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{1^2}{c}$

και σύμφωνα με την ιδιότητα 1 που έγραψα έχουμε:

$\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{1^2}{c}\geq \frac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3$

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε....

ΤΟΣΟ ΑΠΛΑ!!

Κάνω παράθεση και το μήνυμά μου όταν πρωτοείδα την άσκηση για να θυμάμαι ότι έχω αλλάξει:p (Το ψώνιο θα λέτε:p)

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Τις ταυτότητες τις ξέρω....

Τώρα για να την έλυνα...μπα

βιλλαρασ · 2009-02-14T14:23:10+0200

3x^2+2(α+β+γ)χ+(αβ+βγ+γα)=0

και λεει να αποδειξω οτι εχει διπλη λυση ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ α=β=γ

εγω σκεφτηκα πως αφου Δ=0 τοτε

χ=-(α+β+γ)/α αρα η μονη περιπτωση να εχει μοναδικη λυση ειναι να ειναι ισα α=β=γ ωστε ο αριθμητης να παραμενει σταθερος! και η λυση να ειναι
χ=-α=-β=-γ

djimmakos · 2009-02-14T14:34:21+0200

Καταρχήν είσαι σίγουρος ότι είναι έτσι η εξίσωση;...Στο σταθερό έχεις βα και αβ, το οποίο είναι το ίδιο πράγμα.. Νομίζω πρέπει να είναι (αβ+βγ+γα)...

'Εχω την εντύπωση ότι ο συλλογισμός σου είναι λάθος...Καλύτερα να δουλέψεις με τη Διακρίνουσα...

Επιπλέον λες ότι για να έχει ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ πρεπει α=β=γ...

Εμείς θέλουμε να αποδείξουμε ότι έχει ΔΙΠΛΗ ΛΥΣΗ αν και μονο αν α=β=γ

(ΛΥΣΗ) (ΜΕ ΤΗΝ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΗ ΟΤΙ Ο ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΟΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΟΠΩΣ ΤΟΝ ΕΧΩ ΓΡΑΨΕΙ ΕΓΩ)

Τεσπα δούλεψε με τη διακρίνουσα και θα πάρεις ότι α^2+β^2+γ^2=αβ+βγ+γα το οποίο ισχύει μόνο όταν α=β=γ. Το γιατί το αφήνω να το βρεις μόνος σου

miv · 2009-02-14T15:25:50+0200

Πήγαινε με το ευθύ πρώτα, θεωρώντας ότι α=β=γ. Από τη θεωρία είναι γνωστό πως ένα τριώνυμο στο R έχει διπλή ρίζα αν Δ=0. Οπότε αφού θεωρείς α=β=γ προσπαθείς να αποδείξεις ότι Δ=0.
Η έκφραση ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ αυτομάτως σου λέει ότι οφείλεις να αποδείξεις και το αντίστροφο. Έστω, λοιπόν, ότι το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα, δηλαδή έστω Δ=0. Και με δεδομένο αυτό, θα δείξεις ότι α=β=γ.

djimmakos · 2009-02-14T15:28:32+0200

Αρχική Δημοσίευση από miv:
Πήγαινε με το ευθύ πρώτα, θεωρώντας ότι α=β=γ. Από τη θεωρία είναι γνωστό πως ένα τριώνυμο στο R έχει διπλή ρίζα αν Δ=0. Οπότε αφού θεωρείς α=β=γ προσπαθείς να αποδείξεις ότι Δ=0.
Η έκφραση ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ αυτομάτως σου λέει ότι οφείλεις να αποδείξεις και το αντίστροφο. Έστω, λοιπόν, ότι το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα, δηλαδή έστω Δ=0. Και με δεδομένο αυτό, θα δείξεις ότι α=β=γ.

Ωχ αυτό το είχα ξεχάσει τελείως...

Ναι σαι καλά ρε μιβ που μου το θύμησες

Θα γράψω τη λύση ολοκληρωμένη και θα την ανεβάσω κάποια στιγμή

miv · 2009-02-14T15:29:42+0200

Αυτό το καλύπτεις αν αποδείξεις το ευθύ και διατηρήσεις με βεβαιότητα τις ισοδυναμίες, αλλά είναι πιο ασφαλές αν τα αποδείξεις ξεχωριστά.

djimmakos · 2009-02-14T15:32:14+0200

Αρχική Δημοσίευση από miv:
Αυτό το καλύπτεις αν αποδείξεις το ευθύ και διατηρήσεις με βεβαιότητα τις ισοδυναμίες, αλλά είναι πιο ασφαλές αν τα αποδείξεις ξεχωριστά.

Εγώ πήρα τη διακρίνουσα ίση με 0 και έφτασα στο συμπέρασμα ότι για να είναι μηδέν πρέπει:

α^2+β^2+γ^2=αβ+βγ+γα το οποίο ισχύει αν και μόνο αν α=β=γ

miv · 2009-02-14T15:35:44+0200

Αυτό ισχύει από κάποια θεωρία ή το λες επειδή βγαίνει αν κάνεις δοκιμή; Δεν θυμάμαι να το έχω δει αυτό, εκτός κι αν θυμάμαι λάθος.
Εκτός κι αν τα φέρεις όλα μπροστά και με παραγοντοποιήσεις και πράξεις αποδείξεις τον ισχυρισμό σου, αλλά δεν σου εγγυώμαι ότι θα βγει με τη μία.

djimmakos · 2009-02-14T15:39:49+0200

Αρχική Δημοσίευση από miv:
Αυτό ισχύει από κάποια θεωρία ή το λες επειδή βγαίνει αν κάνεις δοκιμή; Δεν θυμάμαι να το έχω δει αυτό, εκτός κι αν θυμάμαι λάθος.
Εκτός κι αν τα φέρεις όλα μπροστά και με παραγοντοποιήσεις και πράξεις αποδείξεις τον ισχυρισμό σου, αλλά δεν σου εγγυώμαι ότι θα βγει με τη μία.

Το έχω αποδείξει..

Boom · 2009-02-14T15:46:01+0200

με τν εκφραση ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ αρκει να αποδειξεις οτι ισχυει μονο το ενα αλλα να βαλεις διπλο συνεπαγεται...

βιλλαρασ · 2009-02-14T15:52:47+0200

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Εγώ πήρα τη διακρίνουσα ίση με 0 και έφτασα στο συμπέρασμα ότι για να είναι μηδέν πρέπει:

α^2+β^2+γ^2=αβ+βγ+γα το οποίο ισχύει αν και μόνο αν α=β=γ

και εγω εκει κατεληξα αλλα δεν φερω καμια τετια ταυτοτητα που να βοηθαει

djimmakos · 2009-02-14T16:07:56+0200

Γράφω τη λύση όπως είπε ο miv:

Έχουμε την εξίσωση:

$3x^2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0$

Θα δείξουμε ότι αν a=b=c τότε έχει διπλή ρίζα και ότι αν έχει διπλή ρίζα τότε a=b=c.

Λοιπόν

Έστω ότι a=b=c

Τότε η εξίσωση γίνεται:

$3x^2+6ax+3a^2 (i)$

και επειδή η διακρίνουσα της (i) είναι ίση με το 0, η αρχική εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα

Έστω τώρα ότι η αρχική εξίσωση έχει διπλή ρίζα. Θα αποδείξουμε ότι a=b=c

Για να έχει η αρχική εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει η διακρίνουσα της να είναι ίση με το 0. Δηλαδή:

$\Delta =0 \Leftrightarrow [2(a+b+c)]^2-12(ab+bc+ca)=0\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)-12(ab+bc+ca)=0\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)-3(ab+bc+ca)=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca (ii)$

Tώρα αρκεί να δείξουμε ότι η (ii) ισχύει όταν a=b=c.

Έχουμε:

$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc\Leftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2=2ab+2ac+2bc\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0 \Leftrightarrow (a-b)^2+(a-c)^2 + (b-c)^2=0 (iii)$

Για να ισχύει η (iii) πρέπει:

$a-b=0 \Leftrightarrow a=b$
$a-c=0\Leftrightarrow a=c$
$b-c=0 \Leftrightarrow b=c$

δηλαδή a=b=c

Και έτσι τελειώσαμε...

Αν δείτε κανά λάθος πείτε...
Άνθρωπος είμαι

Boom · 2009-02-14T16:11:18+0200

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Γράφω τη λύση όπως είπε ο miv:

Έχουμε την εξίσωση:

$3x^2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0$

Θα δείξουμε ότι αν a=b=c τότε έχει διπλή ρίζα και ότι αν έχει διπλή ρίζα τότε a=b=c.

Λοιπόν

Έστω ότι a=b=c

Τότε η εξίσωση γίνεται:

$3x^2+6ax+3a^2 (i)$

και επειδή η διακρίνουσα της (i) είναι ίση με το 0, η αρχική εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα

Έστω τώρα ότι η αρχική εξίσωση έχει διπλή ρίζα. Θα αποδείξουμε ότι a=b=c

Για να έχει η αρχική εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει η διακρίνουσα της να είναι ίση με το 0. Δηλαδή:

$Delta =0 Leftrightarrow [2(a+b+c)]^2-12(ab+bc+ca)=0Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)-12(ab+bc+ca)=0Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)-3(ab+bc+ca)=0Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca (ii)$

Tώρα αρκεί να δείξουμε ότι η (ii) ισχύει όταν a=b=c.

Έχουμε:

$a^2+b^2+c^2=ab+bc+caLeftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bcLeftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2=2ab+2ac+2bcLeftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0 Leftrightarrow (a-b)^2+(a-c)^2 + (b-c)^2=0 (iii)$

Για να ισχύει η (iii) πρέπει:

$a-b=0 Leftrightarrow a=b$
$a-c=0Leftrightarrow a=c$
$b-c=0 Leftrightarrow b=c$

δηλαδή a=b=c

Και έτσι τελειώσαμε...

Αν δείτε κανά λάθος πείτε...
Άνθρωπος είμαι

:!:

djimmakos · 2009-02-14T16:12:46+0200

Γελάσαμε Δώρα:p

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος