Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Δέσποινα_ · 4 Απριλίου 2012 στις 15:59

ευχαριστώ πάρα πολύ!εχω μια άλλη β λυκείου κατεύθυνσης που λέει: Σημείο Μ(ημθ,2-συνθ) με θ ανήκει [0,2π)
α)Να βρείτε τη γραμμή που κινείται το Μ.
β)Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομενων της γραμμής που άγονται από την αρχή των αξόνων.
γ)Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν αυτές οι εφάπτομενες.
δ)Αν C1 η γραμμή που βρήκατε στο α ερώτημα, να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται εξωτερικά με τη C1 και έχουν κοινές εφαπτομενες τις εφαπτομενες του β ερωτήματος.

rebel · 4 Απριλίου 2012 στις 16:37

Υπάρχει εδώ μία συνοπτική λύση.

getinfo · 10 Απριλίου 2012 στις 18:11

Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει με αυτή τη Δ.Ε.?

y΄-y^2+(2x+3)y+(-x^2-3x-1)=0

antwwwnis · 10 Απριλίου 2012 στις 19:24

Αρχική Δημοσίευση από getinfo:
Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει με αυτή τη Δ.Ε.?
y΄-y^2+(2x+3)y+(-x^2-3x-1)=0

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27-y^2%2B%282x%2B3%29y%2B%28-x^2-3x-1%29%3D0

rebel · 10 Απριλίου 2012 στις 20:10

Η συγκεκριμένη ανήκει στις εξισώσεις Ricatti που έχουν συγκεκριμένη μεθοδολογία. Συγκεκριμένα πρώτα βρίσκεις μία προφανή λύση. Εδώ μία τέτοια είναι η $y_1(x)=x$ και μετά κάνουμε την αντικατάσταση $y=y_1+u=x+u$ απ' όπου έχουμε
$x'+u'-(u+x)^2+(2x+3)(u+x)-x^2-3x-1=0 \Leftrightarrow u'-u^2+3u=0$
που είναι μία εξίσωση πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών...

*Serena* · 16 Απριλίου 2012 στις 14:49

AΣΚΗΣΗ:
Α: Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της υπερβολής χ^2/4 -ψ^2=1, η οποία έχει μεσο το σημείο Μ(3,-1).
Β: Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής ψ^2=8χ η οποία έχει μέσο το σημειο Μ(2,-3) και δεν ειναι παραλληλη στον άξονα ψ'ψ.
Λίγη βοήθεια στην άσκηση αυτή?? :redface:

vimaproto · 17 Απριλίου 2012 στις 19:57

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):
AΣΚΗΣΗ:
Α: Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της υπερβολής χ^2/4 -ψ^2=1, η οποία έχει μεσο το σημείο Μ(3,-1).
Β: Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής ψ^2=8χ η οποία έχει μέσο το σημειο Μ(2,-3) και δεν ειναι παραλληλη στον άξονα ψ'ψ.
Λίγη βοήθεια στην άσκηση αυτή??

Η εξίσωση είναι y=λx+k και τα κοινά σημεία αυτής με την υπερβολή Μ(x1,y1) , N(x2,y2)
Ισχύουν ${y}_{1}=\lambda {x}_{1}+k ..kai..{y}_{2}=\lambda {x}_{2}+k$
Επίσης $\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-{{y}_{1}}^{2}=1\kappa \alpha \iota \frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-{{y}_{2}}^{2}=1$
καθώς και $\frac{{x}_{1}+{y}_{1}}{2}=3 \kappa \alpha \iota \frac{{x}_{2}+{y}_{2}}{2}=-1$
αφαιρώ μεταξύ τους τις εξισώσεις της υπερβολής (x1-x2)(x1+x2)/4-(y1-y2)(y1+y2)=0 που με τα παραπάνω γίνεται 6(x1-x2)/4+y1-y2=0 Αλλά από την εξίσωση έχουμε y1-y2=λ(x1-x2) και η τελευταία σχέση γίνεται 6(x1-x2)/4+λ(x1-x2)=0 και επειδή x1-x2 δεν είναι μηδέν , διότι αλλιώς βγαίνει ότι y1=y2 ή y1+y2=0 (στην πρώτη περίπτωση τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται και στη δεύτερη άτοπο αφού y1+y2=-2) προκύπτει λ=-3/2.
Από την εξίσωση της ευθείας για τα σημεία Μ και Ν με πρόσθεση έχω y1+y2=λ(x1+x2)+2k ==>-2=λ.6+2κ και κ=-11/2
Αρα η χορδή έχει εξίσωση 2y+3x+11=0

Ομοίως και η άλλη άσκηση που βγαίνει 4x+3y+1=0

Δημήτρης365 · 18 Απριλίου 2012 στις 14:29

Καλησπερα και χρονια πολλα θα ηθελα βοηθεια στην ασκηση : Να βρειτε τις κοινες εφαπτομενες του κυκλου χ^2+ψ^2=2 και της παραβολης ψ^2=8χ και να δειξετε οτι ειναι καθετες . Σας ευχαριστω

Δημήτρης365 · 18 Απριλίου 2012 στις 16:05

Καλησπερα και χρονια πολλα θα ηθελα βοηθεια στην ασκηση : Να βρειτε τις κοινες εφαπτομενες του κυκλου χ^2+ψ^2=2 και της παραβολης ψ^2=8χ και να δειξετε οτι ειναι καθετες . Σας ευχαριστω

Απορια εχω και σε ακομα μια ασκηση . Δινεται ο κυκλος χ^2+ψ^2-4χ=0 .Αν η αποσταση του σημειου Μ απο τον αξονα ψ΄ψ ειναι ιση με το μηκος του εφ τμηματος ΜΑ στον κυκλο να βρειτε που κινειται το Μ .

rebel · 18 Απριλίου 2012 στις 16:56

H εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο $(x_1,y_1)$ είναι $(\varepsilon):\,yy_1=p(x+x_1) \stackrel{p=4}{\Leftrightarrow}4x-y_1y+4x_1=0\,(*)$
Για να εφάπτεται στον κύκλο πρέπει και αρκεί
$d(O,\varepsilon)=\rho=\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{|4x_1|}{\sqrt{4^2+y_1^2}}=\sqrt{2} \Leftrightarrow 16x_1^2=32+2y_1^2 \stackrel{y_1^2=8x_1}{\Leftrightarrow} \\ 16x_1^2=32+16x_1 \Leftrightarrow x_1^2-x_1-2=0 \Leftrightarrow x_1=2 \,\, \acute{\eta} \,\, x_1=-1$

H λύση -1 απορρίπτεται γιατί $x_1 \geq 0$ . Λόγω της σχέσης $y_1^2=8x_1$ παίρνουμε $y_1=\pm 4$ και από την σχέση (*) προκύπτουν οι εφαπτομένες $y=x+2,\,y=-x-2$ οι οποίες είναι προφανώς κάθετες.

Δημήτρης365 · 18 Απριλίου 2012 στις 17:21

Ευχαριστω πολυ φιλε

rebel · 18 Απριλίου 2012 στις 18:54

Έστω $A(x_0,y_0)$ το σημείο επαφής και $M(x,y)$ σημείο με την ιδιότητα της εκφώνησης. Τότε αν
$K(2,0)$ το κέντρο του κύκλου, έχουμε
$\overrightarrow{KA}\cdot \overrightarrow{AM}=0 \Rightarrow (x-x_0)(x_0-2)+(y-y_0)y_0=0 \\ \Rightarrow x x_0 -2x+ 2x_0 -x_0^2+y y_0 - y_0^2=0 \Rightarrow 2x x_0 -4x+4x_0 -2x_0^2+2y y_0 - 2y_0^2=0 ,\,(1)$
και από υπόθεση
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=x^2 \Rightarrow -2x x_0+x_0^2+y^2-2y y_0+y_0^2=0,\,(2)$

Προσθέτοντας κατά μέλη (1) και (2) και λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι $x_0^2+y_0^2-4x_0=0$ , αφού το Α είναι σημείο του κύκλου, παίρνουμε $y^2=4x$ που είναι και η ζητούμενη καμπύλη.

Δέσποινα_ · 19 Απριλίου 2012 στις 21:04

Ευχαριστώώ πολύ παιδια για τη βοήθεια!! Εχω απορία και σε άλλες δυο στην κατεύθυνση!!
1η Άσκηση: Ισχύει αβ +βγ +αγ=-3/2
Να δειχτεί ότι :1) α+β= -γ
2)βγ=-1/2
3)Αν υ=λα+(λ+1)β + (λ+2)γ να δειχτεί ότι το μέτρο του υ είναι ανεξάρτητο του λ. Τα α,β και γ είναι διανύσματα!!!!
2η Άσκηση: Ισχύει |α|=|β|=|γ|=ριζα2 και 2αγ-6=β(α-2γ)
Δείξτε ότι α+β=2γ
Τα α,β και γ είναι διανύσματα!!!!

vimaproto · 20 Απριλίου 2012 στις 10:10

Αρχική Δημοσίευση από Δημήτρη365:
Καλησπερα και χρονια πολλα θα ηθελα βοηθεια στην ασκηση : Να βρειτε τις κοινες εφαπτομενες του κυκλου χ^2+ψ^2=2 και της παραβολης ψ^2=8χ και να δειξετε οτι ειναι καθετες . Σας ευχαριστω

Απορια εχω και σε ακομα μια ασκηση . Δινεται ο κυκλος χ^2+ψ^2-4χ=0 .Αν η αποσταση του σημειου Μ απο τον αξονα ψ΄ψ ειναι ιση με το μηκος του εφ τμηματος ΜΑ στον κυκλο να βρειτε που κινειται το Μ .

Θα περιγράψω τη λύση γιατί έχει πού γραφή.
Η κοινή εφαπτομένη έχει εξίσωση y=λx+k . Αυτή με την εξίσωση του κύκλου , λύνοντας το σύστημα δίνει εξίσωση (λ²+1)χ²+2κλχ+κ²-2=0 της οποίας η διακρίνουσα είναι Δ=0 και δίνει 2λ²-μ²+2=0
Ομοίως η εφαπτομένη με την εξίσωση της παραβολής δίνει λκ=2
Λύνοντας το σύστημα των δύο τελευταίων εξισώσεων βρίσκω (μετά από τους αποκλεισμούς κάποιων τιμών) λ=1, κ=2 και λ=-1 , κ=-2.
Οι δύο κοινές εφαπτόμενες είναι y=x+2 και y=-x-2
ΥΓ. Πρόταση για τη λύση του συστήματος. Ονομάζω τον λόγο λ/κ=ρ ==> λ=κρ και καταλήγω κ²(2μ²-1)=-2 και κ²μ=2. Διαιρώ κατά μέλη και βρίσκω δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς ρ με ρίζες ρ=-1 απορρίπτεται (θα δεις γιατί) και ρ=1/2. Αρα κ=2λ κλπ

rebel · 20 Απριλίου 2012 στις 20:57

Μήπως στην πρώτη άσκηση δίνει και κάποιο δεδομένο του τύπου $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=\left|\vec{c}\right|=1$ ;

Δέσποινα_ · 24 Απριλίου 2012 στις 02:44

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μήπως στην πρώτη άσκηση δίνει και κάποιο δεδομένο του τύπου $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=\left|\vec{c}\right|=1$ ;

μπαα όχι δεν δίνει τίποτα!!

rebel · 24 Απριλίου 2012 στις 06:12

Αρχική Δημοσίευση από Δέσποινα_:
μπαα όχι δεν δίνει τίποτα!!

Κι όμως κάτι θα έπρεπε να δίνει γιατί πχ για $\vec{a}=(0,0),\,\vec{b}=(-\frac{1}{2},1),\,\vec{c}=(1,-1)$ εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\vec{a}\vec{b}+\vec{a}\vec{c}+\vec{b}\vec{c}=-\frac{3}{2}$ αλλά $\vec{a}+\vec{b} \neq -\vec{c}$

drosos · 1 Μαΐου 2012 στις 14:11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Η συγκεκριμένη ανήκει στις εξισώσεις Ricatti που έχουν συγκεκριμένη μεθοδολογία. Συγκεκριμένα πρώτα βρίσκεις μία προφανή λύση. Εδώ μία τέτοια είναι η $y_1(x)=x$ και μετά κάνουμε την αντικατάσταση $y=y_1+u=x+u$ απ' όπου έχουμε
$x'+u'-(u+x)^2+(2x+3)(u+x)-x^2-3x-1=0 \Leftrightarrow u'-u^2+3u=0$
που είναι μία εξίσωση πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών...

Καναμε τετοια πραματα δευτερα λυκειου ???

Δέσποινα_ · 1 Μαΐου 2012 στις 14:58

Καλο μήνα παιδια!!!

Εχω πρόβλημα σε μια άσκηση κατεύθυνσης β λύκειου(για το 4ο ερώτημα δεν είμαι σίγουρη τι πρέπει να κάνω) 1)Να βρείτε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται τα σημεία Γ(λ^2-4λ+4,4-2λ) με λ να ανήκει στο R.
2)Να βρείτε τις εφαπτόμενες της παραπάνω κωνικης τομής που άγονται από το (-2,0)
3)Να βρείτε τα λ ώστε το Γ και τα Α(3,1), Β(5,4) να είναι συνευθειακα.
4)Για λ=4 να βρείτε τον κύκλο με κεντρο Γ ο οποίος εφάπτεται στην ΑΒ

rebel · 1 Μαΐου 2012 στις 15:09

Η ΑΒ έχει εξίσωση $y-1=\frac{3}{2}(x-3)$ . Για να εφάπτεται στον κύκλο πρέπει η απόστασή της από το Γ να είναι ίση με την ακτίνα. Αρκεί λοιπόν να βρεις αυτή την απόσταση για να έχεις και την ακτίνα. Ελπίζω να βοήθησα. Καλό μήνα!

Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος