Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

vimaproto · 2009-10-30T09:44:57+0200

Αρχική Δημοσίευση από Iliaso:
Αυτά είναι εσωτερικό γινόμενο vimaproto;

Ναι
Αυτά βρίσκει (όπως βλέπω) και ο babisgr.

Leo 93 · 2009-10-30T20:59:39+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Zorc ή καποιος αλλος ξερετε πως βαζω spoiler?

(γράφεις αυτό που θες) [/spoiler)

μονο που στο τέλος βάζεις αγκύλη, όχι παρένθεση. Την παρένθεση την έβαλα για να μην ενεργοποιηθηεί το spoiler.

manos66 · 2009-10-31T00:31:14+0200

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
Ισχυει η ανισοτητα των Cauchy-Schwarz-Buniakowsky:

$|vec{a}cdot vec{b}|leq |vec{a}||vec{b}|$

Αν τα διανυσματα a,b ειναι μη μηδενικα τοτε ισχυει

$-1geqfrac{vec{a}cdot vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|}leq 1$

Επομενως υπαρχει γωνια θ στο [0,π] για την οποια αληθευει

$frac{vec{a}cdot vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|}=costheta$

* Η αποδειξη της ανισοτητας Cauchy-Schwarz-Buniakowsky βγαινει αμεσα απο την ταυτοτητα Lagrange.

και επειδή υπάρχει γωνία αυτό σημαίνει ότι είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα $\vec{a}$ και $\vec{\beta }$ ;

vimaproto · 2009-10-31T00:34:18+0200

Αρχική Δημοσίευση από Mix_Mix:
Μηπως μπορει καποιος να μου πει την αποδειξη του εσωτερικου γινομενου....?

Δεν υπάρχει απόδειξη.
Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α,β ορίζεται ο αριθμός |α|.|β|συνφ , όπου φ η μεταξύ τους γωνία. Γιαυτό και δεν τη βρίσκετε στο σχολικό βιβλίο.
Και για να λύσω και την απορία του Leo 93 υπάρχει και ο ορισμός του εξωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων α, β που δεν είναι αριθμός αλλά διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα α και β , με μέτρο |α|.|β|ημφ . Αν έχετε απορίες να σας παραπέμψω (τους φοιτητές) σε πανεπιστημιακά συγγράμματα για περισσότερες λεπτομέρειες.
Μία συμβουλή σαν μεγαλύτερος. Μεταξύ των έξυπνων, των μελετηρών και των εξυπνάκιδων, προτιμώ να ανήκω στους δεύτερους.

babisgr · 2009-10-31T00:39:24+0200

Το σχολικό βιβλίο έχει μόνο απόδειξη για την (γεωμετρική) ανάλυση του εσωτερικού γινομένου.(

)

vimaproto · 2009-10-31T00:54:34+0200

Αρχική Δημοσίευση από babisgr:
Το σχολικό βιβλίο έχει μόνο απόδειξη για την (γεωμετρική) ανάλυση του εσωτερικού γινομένου.(

)

Συμφωνώ ότι αυτό είναι πράγματι απόδειξη κάνοντας χρήση των συντεταγμένων των διανυσμάτων και του ορισμού του εσωτερικού γινομένου.

babisgr · 2009-10-31T19:37:43+0200

επομένως έχει απόδειξη μόνο για την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου και όχι για τον τύπο: $\vec{a}\vec{b}=\left|a \right|\left|b \right|$ συν $(\vec{a},\vec{b})$

guess · 2009-10-31T20:28:23+0200

θα το εκτιμουσα αν μπορουσατε να με βοηθησετε στην παρακατω ακηση....

δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και σημειο ο του επιπεδου ωστε να ισχυει
6 x OA + 15 x ΟΒ + 5 x ΟΓ = 0 ΚΑΙ Β(0,0) , Γ(4,0)
Να αποδειξετε οτι ΟΑ κάθετο στο ΟΓ

όπου x (πολλαπλασιασμος)
και τα ΟΑ,ΟΒ,ΟΓ,0 διανυσματα....

djimmakos · 2009-10-31T20:43:35+0200

Λοιπόν, απλή σκέψη.

Ισχύει |ΑΒ|=|ΒΓ|=|ΓΑ|=2, οπότε βρίσκεις τις συντεταγμένες του Α

Από την 6ΟΑ+15ΟΒ+5ΟΓ=0, βρισκειςτις συντεταγμένες του Ο.

Βρισκεις τα ΟΑ, ΟΓ και δειχνεις οτι ΟΑ x OΓ=0

guess · 2009-10-31T22:40:16+0200

εδώ...---> |ΑΒ|=|ΒΓ|=|ΓΑ|=2 βγαίνει 4 και όχι 2 έτσι?

Semfer · 1 Νοεμβρίου 2009 στις 00:14

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Δεν υπάρχει απόδειξη.
Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α,β ορίζεται ο αριθμός |α|.|β|συνφ , όπου φ η μεταξύ τους γωνία. Γιαυτό και δεν τη βρίσκετε στο σχολικό βιβλίο.

O τύπος με το συνημίτονο μπορεί να αποδειχθεί. Ορίστε μια απόδειξη που βρήκα για δυο διανύσματα $x=(x_1,x_2)$ και $y=(y_1,y_2)$ του $\mathbb{R}^2$ .

Έστω ότι a και b είναι οι γωνίες που σχηματίζουν τα διάνυσμα x και y με τον θετικό οριζόντιο άξονα χ, αντίστοιχα. Τότε

$\cos(a)=\frac{x_1}{|x|}$
$\cos(b)=\frac{y_1}{|y|}$
$\sin(a)=\frac{x_2}{|x|}$
$\sin(b)=\frac{y_2}{|y|}$

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων x και y είναι $\theta=a-b$ (υποθέτουμε ότι $a\geq b$ ).

$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)=\frac{x_1 y_1+x_2 y_2}{|x||y|}$

Επομένως $\cos(\theta)=\frac{x_1 y_1+x_2 y_2}{|x||y|}$

Όμως από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε ότι $x\cdot y=x_1 y_1+x_2 y_2$

Άρα $\cos(\theta)=\frac{x\cdot y}{|x||y|}$

Η "απόδειξη" με την ανισότητα Cauchy-Schwarz δεν είναι ακριβώς απόδειξη του τύπου γιατί πράγματι δεν σου αποδεικνύει ότι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι η θ. Για αυτό και χρειαζόμαστε μια γεωμετρική απόδειξη όπως αυτή που έγραψα παραπάνω.

vimaproto · 1 Νοεμβρίου 2009 στις 10:01

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
O τύπος με το συνημίτονο μπορεί να αποδειχθεί. Ορίστε μια απόδειξη που βρήκα για δυο διανύσματα $x=(x_1,x_2)$ και $y=(y_1,y_2)$ του $mathbb{R}^2$ .

Έστω ότι a και b είναι οι γωνίες που σχηματίζουν τα διάνυσμα x και y με τον θετικό οριζόντιο άξονα χ, αντίστοιχα. Τότε

$cos(a)=frac{x_1}{|x|}$
$cos(b)=frac{y_1}{|y|}$
$sin(a)=frac{x_2}{|x|}$
$sin(b)=frac{y_2}{|y|}$

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων x και y είναι $theta=a-b$ (υποθέτουμε ότι $ageq b$ ).

$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)=frac{x_1 y_1+x_2 y_2}{|x||y|}$

Επομένως $cos(theta)=frac{x_1 y_1+x_2 y_2}{|x||y|}$

Όμως από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε ότι $xcdot y=x_1 y_1+x_2 y_2$

Άρα $cos(theta)=frac{xcdot y}{|x||y|}$

Η "απόδειξη" με την ανισότητα Cauchy-Schwarz δεν είναι ακριβώς απόδειξη του τύπου γιατί πράγματι δεν σου αποδεικνύει ότι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι η θ. Για αυτό και χρειαζόμαστε μια γεωμετρική απόδειξη όπως αυτή που έγραψα παραπάνω.

Όμως από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε ότι
$eq.latex$

Το παραπάνω φίλε Semfer που γράφεις, δεν είναι ορισμός , είναι απόδειξη που στηρίζεται στον ορισμό. Δεν ξέρω σε ποιο τμήμα είσαι φοιτητής , αλλά άνοιξε το βιβλίο των Ιωαν. Αναστασιάδη - Στεφ. Μπαλλή , Εκδοση 1967 Πανεπ. Θεσσαλονίκης στη σελίδα 343.

Semfer · 1 Νοεμβρίου 2009 στις 15:59

Το παραπάνω φίλε Semfer που γράφεις, δεν είναι ορισμός , είναι απόδειξη που στηρίζεται στον ορισμό. [/QUOTE]

Σε πολλά σύγχρονα βιβλία έχω δει ότι αυτός είναι ο ορισμός του εσωτερικού γινομένου.

Αλλά αυτό δεν έχει και πολύ σημασία, μπορείς να το ορίσεις όπως θέλεις. Όμως εδώ το παιδί ζήτησε την απόδειξη του τύπου με το συνημίτονο, επομένως δεν μπορείς να πεις ότι ο τύπος αυτός δεν αποδεικνύεται γιατί ισχύει εξ ορισμού :iagree:

alexandra ole · 1 Νοεμβρίου 2009 στις 21:17

διανυσματική έκφραση του εσωτερικού γινομένου
Έστω φ η γωνία που σχηματίζουν δύο διανύσματα

ορισμός: εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων

λέγεται η παράσταση

που είναι ίση με

=

Αν

τότε

= 0
Προσοχή!!! Το εσωτερικό γινόμενο είναι αριθμός και όχι διάνυσμα

φυσική ερμηνεία του εσωτερικού γινομένου
Το εσωτερικό γινόμενο

παριστάνει το έργο της δύναμης

που μετακινεί το σημείο εφαρμογής Ο από τη θέση Ο μέχρι τη θέση Α.
(γιατί

τετράγωνο του

: λέγεται το εσωτερικό γινόμενο

που το γράφουμε

ισχύει:

=

(το τετράγωνο ενός διανύσματος ισούται με το τετράγωνο του μέτρου του)
απόδειξη:

ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου ( Ι )
i)

=

(αντιμεταθετική ιδιότητα)
ii) αν

τότε

= 0 και αντιστρόφως ( γιατί

(δύο διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνον αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν)

iii) αν
τότε

=

και αντιστρόφως (γιατί

αν
>0 τα διανύσματα σχηματίζουν οξεία γωνία

iv) αν
τότε

= -

<0 και αντιστρόφως (γιατί

αν
<0 τα διανύσματα σχηματίζουν αμβλεία γωνία

v) αν θ η γωνία των

,

ισχύει:

(διανυσματικός υπολογισμός του συνθ)
vi) για τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων ισχύει:

και

(γιατί

vii)

(προφανώς)

babisgr · 1 Νοεμβρίου 2009 στις 21:53

Ρε συ Αλλεξάνδρα, τόσος κόπος τζάμπα πάει, δεν φαίνεται τίποτα...

maria roum · 5 Νοεμβρίου 2009 στις 17:43

Θα ήθελα να με βοηθήσετε σε μια άσκηση, της οποίας δεν υπάρχει παρόμοια σε κανένα απ' τα 3 βοηθήματα μαθηματικών που έχω. Η άσκηση είναι η εξής:
Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαγώνιες ΑΓ=(ο,5) και ΒΔ=(-2,1). Να βρεθούν οι γωνίες του παραλληλογράμμου.
Η άσκηση είναι για αύριο. Ευχαριστώ όποιον βρει κάποια λύση. Εντωμεταξύ ,αν βρω κάποια εγώ, θα τη δημοσιεύσω.

coheNakatos · 5 Νοεμβρίου 2009 στις 18:45

Αρχική Δημοσίευση από maria roum:
Θα ήθελα να με βοηθήσετε σε μια άσκηση, της οποίας δεν υπάρχει παρόμοια σε κανένα απ' τα 3 βοηθήματα μαθηματικών που έχω. Η άσκηση είναι η εξής:
Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαγώνιες ΑΓ=(ο,5) και ΒΔ=(-2,1). Να βρεθούν οι γωνίες του παραλληλογράμμου.
Η άσκηση είναι για αύριο. Ευχαριστώ όποιον βρει κάποια λύση. Εντωμεταξύ ,αν βρω κάποια εγώ, θα τη δημοσιεύσω.

Αυτο το ο εκει στο ΑΓ μηπως ειναι λαθος ?

maria roum · 5 Νοεμβρίου 2009 στις 18:52

Όχι, δυστυχώς. Έτσι μας το έχει δώσει σε φωτοτυπία.

coheNakatos · 5 Νοεμβρίου 2009 στις 19:02

Αρχική Δημοσίευση από maria roum:
Όχι, δυστυχώς. Έτσι μας το έχει δώσει σε φωτοτυπία.

Μηπως εννοει μηδεν ? το ο τι συμβολιζει δηλαδη

maria roum · 5 Νοεμβρίου 2009 στις 19:05

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Μηπως εννοει μηδεν ? το ο τι συμβολιζει δηλαδη

Δεν ξέρω. Πάντως την άσκηση την έχω γράψει ακριβώς όπως τη λέει στην φωτοτυπία που μας έχει δώσει.

Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος