variax
Νεοφερμένος
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα νομίζω πως έτσι μπορούμε να αποδέιξουμε την παραγωγισημότητα της f^(-1) στο R.
Εφόσον η f 1-1 από την σχέση θα ισχύει:
f^(-1)(f(x))=f^(-1)(x^5+x^3+x) <=>
f^(-1)(x^5+x^3+x)=x
Επειδή η x είναι παραγωγίσιμη στο R επομένως και η f^(-1)(x^5+x^3+x) είναι παραγωγίσιμη... Άρα:
(5x^4+3x^2+1)f'^(-1)(x^5+x^3+x)=1 <=> (για χ=1)
9f'^(-1)(3)=1 <=>
f'^(-1)(3)=1/9 και μετα συνεχίζουμε...
Αλλιώς δεν μπορούμε να αποδείξουμε την παραγωγισιμώτητα της f^(-1)(x)
Στηριζόμαστε στα στοιχεία που μας δίνει...
Καλή μας επιτυχία και όχι άγχος! Θα προσπαθήσω να ανεβάσω την λύση και σε word αργότερα. :no1:
Έχεις κάνει το ίδιο ακριβώς λάθος με αυτό που ανέφερα παραπάνω (στη λύση που υπάρχει στο συνημμένο αρχείο) δηλαδή όταν η σύνθεση δυο συναρτήσεων f και g είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση δεν σημαίνει αναγκαστικά ότι θα είναι παραγωγίσιμες και η f και η g. Εδώ το ρόλο της μιας από τις δυο τον έχει η f^(-1).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
f(x)=cos(1/x). η f οριζεται κοντα στο 0. αλλα δεν υπαρχει κανενα απο τα 2 πλευρικα ορια.
Σωστός ο Γιάννης. Βέβαια αυτό αποδεικνύεται είτε με τον ορισμό του ορίου είτε με τη χρήση του θεωρήματος μεταφοράς μέσω της έννοιας της ακολουθίας (Η Ανάλυση είναι ένας κλάδος των Μαθηματικών που θέλει ιδιαίτερη προσοχή γιατί εύκολα μπορεί κάποιος να παρασυρθεί σε επιπόλαια συμπεράσματα!!!)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σωστό ή Λάθος
Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σημείο x0 τότε η γραφική της παράσταση δεν παρουσιάζει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο x0
Είναι λάθος. Π.χ. f(x)=x αν x>=0 και f(x)=1/x αν χ<0 έχει κατακόρυφη ασύπτωτη την ευθεία x=0.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος;
Έστω συνάρτηση f η οποία είναι 1-1. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο (x0,f(x0)), τότε η αντίστροφη f-1 συνάρτηση της f δεν είναι παραγωγίσιμη στο f(x0).
Είναι σωστό αλλά είναι εκτός ύλης και δεν μπορεί να ζητηθεί.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Να θυμίσω ότι οι εξετάσεις του 2003 ήταν ένα βατερλώ για την Κεντρική επιτροπή των εξετάσεων (βλέπε Θέμα 4 ερώτημα γ το οποίο ήταν λάθος) και επιπλέον αν μπορούσες να παρακολουθήσεις τα διαδραματιζόμενα εκείνης της εποχής θα έβλεπες ότι και στο ερώτημα που αναφέρεις υπήρχαν ενστάσεις σχετικά με το αν έπρεπε να δοθεί ότι η αντίστροφη συνάρτηση ήταν συνεχής (αφού δεν ήταν δυνατόν να προσδιορίσουμε την αντίστροφη).Πανελλήνιες 2003
Θεμα 3
Ερώτημα δ
Πολλοί βρήκαν το εμβαδόν επικαλούμενοι τη συμμετρία των γραφικών παραστάσεων f και f-1.Δεν απέδειξαν όμως ότι κάΘε σημείο της μιάς περιοχής έχει το συμμετρικό του στην άλλη και αντίστροφα ώστε να είναι καλυμμένοι! Αυτό που έκαναν όμως όσοι το έκαναν έτσι, οι βαθμολογητές το δέχτηκαν σωστό.
-----------------------------------------
Στην Ανάλυση ευτυχώς έχουμε πάντα εναλλακτικούς δρόμους. Επίσης όσον αφορά τη συμμετρία (αξονική, κεντρική), στροφή κατά γωνία θ κ.λ.π. αυτές ανήκουν σε μια κατηγορία απεικονήσεων που ονομάζονται γραμμικοί μετασχηματισμοί (και μάλιστα οι παραπάνω είναι και ισομετρίες δηλαδή διατηρούν τις αποστάσεις) και με αυτήν την έννοια δεν χρειαζόμαστε καμία γεωμετρική βοήθεια για να τεκμηριώσει κάποιος αυτά που αναφέρεις στις ασκήσεις. Εγώ προσωπικά δεν έχω κανένα πρόβλημα στο να χρησιμοποιήσει κάποιος την έννοια της συμμετρίας μεταξύ των f και f^-1 για να δικαιολογήσει κάτι. Απλά είναι φανερό ότι η πολιτική του σχολικού βιβλίου είναι να μην ασχολούμαστε με οτιδήποτε αφορά ιδιότητες που κληρονομεί η αντίστροφη μιας συνάρτησης από την ίδια τη συνάρτηση (μονοτονία, συνέχεια, παραγώγιση κ.λ.π.) αφού για παράδειγμα θα μπορούσε κάλλιστα στο σημείο που αναφέρει τα θεωρήματα (χωρίς απόδειξη) που αφορούν τις πράξεις με τις συνεχείς συναρτήσεις να είχε αναφέρει και για τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης. Το μόνο που εξετάζει είναι η εύρεση της αντίστροφης μιας συνάρτησης σε κάποιες απλές περιπτώσεις και ότι σχετίζεται με την ισοδυναμία του ορισμού ( f(x)=y τότε και μόνο τότε όταν f^-1(y)=x ). Υπό αυτήν την έννοια απαιτώ αυτό να γίνεται σεβαστό και από την Κεντρική Επιτροπή των Εξετάσεων. (πολλές φορές τα εξωσχολικά βιβλία στην προσπάθειά τους να φανούν όσο πιο πληρέστερα γίνεται οδηγούν τη θεματολογία σε σημεία που κινούνται έξω από τη φιλοσοφία του σχολικού βιβλίου βάσει του οποίου εξετάζονται οι μαθητές). Ελπίζω να έγινε σαφές αυτό που θέλω να τονίσω.Τελικά αυτό που λένε ότι κάθε απόδειξη επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή ισχύει ή όχι?Και έπειτα υπάρχουν αποδείξεις που είναι..λιγο μόνο αποδείξεις?
Δηλαδή επιστρέφοντας στο παραπάνω αν του πω ότι το συμμετρικό ενός σχήματος είναι ένα όμοιο σχήμα έχω κάνει λάθος?Πάει όμως τότε περίπατο η έννοια της συμμετρίας.Ας μην αναφέρουν τότε καθόλου τα βιβλία τη συμμετρία στις αντίστροφες ώστε να μην μας δημιουργούν πρόβλημα.Τότε θα είναι και λάθος οι λύσεις που βλέπω σε μερικά βιβλία να προσπαθούν να υπολογίσουν το εμβαδόν της αντίστροφης μέσω της έννοιας της συμμετρίας.Λόγω λέει συμμετρίας το ζητούμενο εμβαδόν είναι το ίδιο που σχηματίζει η f ...κ.λ.π...κ.λ.π!
Δηλαδή όποτε μας βολεύει(γιατί δεν έχουμε εναλλακτικούς δρόμους) λέμε και καλά ότι ναι αποδείξαμε το ερώτημα της άσκησης, ενώ άλλοτε δεν αποτελεί απόδειξη?
-----------------------------------------
Στην Ανάλυση γενικά η Γεωμετρία δεν κατέχει αυστηρό αποδεικτικό ρόλο.Λάθος δικό μου.Των ενδιαμέσων τιμών είχα κατά νου.
Αλλά το ερώτημα παραμένει.Που μπορούμε να χρησιμοποιούμε άφοβα την Γεωμετρία?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Το θεώρημα Bolzano το βιβλίο δεν το αποδεικνύει (και ούτε θα μπορούσε άλλωστε αφού απαιτεί το αξίωμα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών το οποίο δεν διδάσκεται στα σχολικά Μαθηματικά).Το θεώρημα bolzano το βιβλίο το αποδεικνύει αναλυτικά πέρα από τη γεωμετρική του ερμηνεία.Το ΘΜΤ όμως δεν το αποδεικνύει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Η διατύπωση διορθώθηκεΜάλλον κακή διατύπωση κάνατε?
Αν μιά συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη τότε είναι και συνεχής.Άρα τότε θα είναι και συνεχής γραμμή το συμμετρικό της γράφημα ως προς την ευθεία y=x.Έτσι προκύπτει απλά και εποπτικά ότι και η αντίστροφη συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής.
Μακάρι όλη η Ανάλυση να αντιμετωπίζονταν μόνο γεωμετρικά και οι αποδείξεις των θεωρημάτων και των προτάσεων να γίνονταν με τη χρήση της γεωμετρικής εποπτείας. Γενικά η γεωμετρική εποπτεία αποτελεί ένα σπουδαίο εργαλείο είτε για να μας δώσει πολλές φορές την ιδέα πάνω στην οποία θα στηριχθούμε για να κάνουμε την πραγματική απόδειξη των θεωρημάτων είτε για να ερμηνεύσουμε εποπτικά το περιεχόμενο ενός θεωρήματος!!!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Για το θεώρημα Fermat δεν απαιτείται η συνέχεια της f στο διάστημα Δ παρά μόνο η παραγωγισιμότητα της f στο χο (οπότε εκεί θα είναι και αναγκαστικά συνεχής)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2008.
....................................
Κεφάλαιο 2 Διαφορικός Λογισμός
Παρ. 2.1 Η έννοια της παραγώγου, χωρίς την υποπαράγραφο "Κατακόρυφη εφαπτομένη"
Παρ. 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις- Παράγωγος συνάρτηση.
Παρ. 2.3 Κανόνες παραγώγισης, χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος που αναφέρεται στην παράγωγο γινομένου συναρτήσεων.
Παρ. 2.4 Ρυθμός μεταβολής.
Παρ. 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού.
Παρ. 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Παρ. 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης, χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος της σελίδας 262 και χωρίς το θεώρημα της σελίδας 264 (κριτήριο της 2ης παραγώγου).
Παρ. 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους).
Παρ. 2.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De lʼ Hospital.
Παρ. 2.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.
.....................................................
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
z1=z2 τότε και μόνο τότε όταν Re(z1)=Re(z2) και Im(z1)=Im(z2)
Οπότε κάνε πράξεις και στα δύο μέλη, φέρε την ισότητα στη μορφή α+βi=γ+δi και λύσε το σύστημα α=γ και β=δ και έτσι θα βρεις τα x, y που ζητά η άσκηση. Κάνε αυτά και τα ξαναλέμε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Επειδή γενικά μου <<έχουν βγεί τα μάτια>> από τα ορθογραφικά σας λάθη, αν και Μαθηματικός, ας γράφετε τα μηνύματά σας πρώτα σε έναν επεξεργαστή κειμένου με ορθογράφο και μετά copy-paste. Συγνώμη αλλά δυσκολεύομαι ακόμα και να τα διαβάσω :what::what::what:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
1. ΘΜΤ ξεχωριστά στα διαστήματα [x, 1], [1, x] για την f(x)=lnx και διαπίστωση ότι για x=1 ισχύει ώς ισότητα.
2. Αποδεικνύεις ξεχωριστά ότι και θεωρώντας τις συναρτήσεις , x>0 και , x>0 και με τη βοήθεια μονοτονίας και ολικών ακροτάτων αποδεικνύεις ότι και για κάθε x >0 (με την ύλη της παραγράφου 2.7
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
variax
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.