Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

eyb0ss · 27 Μαρτίου 2015 στις 15:52

Αρχική Δημοσίευση από johnietraf:
Αν η f παρμη στο R και ισχυει f³(x) + f²(x) + f(x) =x +3 για καθε χ ε R
Να βρειτε τα ακροτατα της φ

Μερικές τροποποιήσεις για να έχει περισσότερη πλάκα η άσκηση.
Δίνεται f συνεχής στο $\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f^3(x)+f^2(x)+f(x)=x+3$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$
α) Νδο η f είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να λυθεί η εξίσωση $f(x)=0$
γ) Nα υπολογιστεί το όριο $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$ .
Η άσκηση είναι λίγο καμμένη (όχι με την έννοια του ΟΕΦΕ) οπότε μην ανησυχείτε αν δεν το λύνετε.

dubudubuza · 27 Μαρτίου 2015 στις 16:41

Οι παρακάτω σχέσεις είναι εντός ύλης?

Νομίζω πως όταν ήμουν στη Β' Λυκείου ήταν εκτός της ύλης της τριγωνομετρίας, αλλά τις βρίσκω συνεχώς μπροστά μου σε ασκήσεις.

PiDefiner · 27 Μαρτίου 2015 στις 21:17

Αρχική Δημοσίευση από dubudubuza:
Οι παρακάτω σχέσεις είναι εντός ύλης?

Νομίζω πως όταν ήμουν στη Β' Λυκείου ήταν εκτός της ύλης της τριγωνομετρίας, αλλά τις βρίσκω συνεχώς μπροστά μου σε ασκήσεις.

Ναι, κανονικά είναι εκτός ύλης-δεν τα έχουμε διδαχτεί. Τώρα για τις πανελλαδικές, είναι άλλο θέμα. Μπορούν να σε βοηθήσουν να λύσεις κάτι, αλλά (υποθέτω) δεν θα μπει κάτι που να λύνεται μόνο με αυτά. Προσωπικά χρησιμοποιώ μόνο το πρώτο.

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
Μερικές τροποποιήσεις για να έχει περισσότερη πλάκα η άσκηση.
Δίνεται f συνεχής στο $\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f^3(x)+f^2(x)+f(x)=x+3$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$
α) Νδο η f είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να λυθεί η εξίσωση $f(x)=0$
γ) Nα υπολογιστεί το όριο $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$ .
Η άσκηση είναι λίγο καμμένη (όχι με την έννοια του ΟΕΦΕ) οπότε μην ανησυχείτε αν δεν το λύνετε.

Δεν έχω χρόνο να κάτσω να την παλέψω, αλλά ο μόνος τρόπος που μπορώ να σκεφτώ για αν λύσω το α), είναι να δείξω ότι η f δεν αλλάζει τύπο.

kachorra · 28 Μαρτίου 2015 στις 08:12

Αρχική Δημοσίευση από kachorra:
Καλησπερα!

Σημερα επεσε το εξης θεμα z^2 -λχ+λ=0
1. Νβ το λ ωστε να μην εχει πραγματικες ριζες
2. Να λυθει για λ=2

Εχω κολλησει..

Καμια ιδεα?

PiDefiner · 28 Μαρτίου 2015 στις 09:59

Για να μην έχει πραγματικές ρίζες, θα πρέπει η διακρίνουσα να βγαίνει αρνητική. Από εκεί μπορείς να προσδιορίζεις τις τιμές του λ.
Μετά αντικαθιστάς όπου λ το 2 και λύνεις εξίσωση (που φαντάζομαι) θα έχει αρνητική διακρίνουσα με το i.
Αν θες αναλυτικά τη λύση, θα την γράψω αργότερα. Ίσως κατά το μεσημεράκι.

DumeNuke · 28 Μαρτίου 2015 στις 11:01

Ναι, αλλά Διακρίνουσα ως προς ποια μεταβλητή? Εκεί μέσα υπάρχει x,z,λ και, εκτός από το λ το οποίο έχει διευκρινιστεί ότι αποτελεί παράμετρο, τα x,z δεν ξέρουμε τι ρόλο έχουν.

PiDefiner · 28 Μαρτίου 2015 στις 11:43

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Ναι, αλλά Διακρίνουσα ως προς ποια μεταβλητή? Εκεί μέσα υπάρχει x,z,λ και, εκτός από το λ το οποίο έχει διευκρινιστεί ότι αποτελεί παράμετρο, τα x,z δεν ξέρουμε τι ρόλο έχουν.

Ουπς, ούτε που το πρόσεξα. :whistle:

Μήπως το x είναι το πραγματικό μέρος του z; Οπότε αν αντικαταστήσουμε το z με x+yi εξισώσουμε πραγματικό με πραγματικό μέρος και φανταστικό με φανταστικό και βγει από εκεί κάτι;
Το ξέρω ότι κανονικά πρέπει να μας λέει ότι z=x+yi, αλλά μπορεί ο kachorra να το παρέλειψε, ή ακόμα πιο απλά να μπερδεύτηκε και να ήθελε να βάλει z.
Περιμένουμε απάντησή του, υποθέτω.

Edit: Μάλλον βλακείες λέω, έχω μπερδέψει τις εξισώσεις μιγαδικών με τις εξισώσεις χωρίς πραγματική ρίζα...

DumeNuke · 28 Μαρτίου 2015 στις 12:17

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Ουπς, ούτε που το πρόσεξα.
Μήπως το x είναι το πραγματικό μέρος του z; Οπότε αν αντικαταστήσουμε το z με x+yi εξισώσουμε πραγματικό με πραγματικό μέρος και φανταστικό με φανταστικό και βγει από εκεί κάτι;
Το ξέρω ότι κανονικά πρέπει να μας λέει ότι z=x+yi, αλλά μπορεί ο kachorra να το παρέλειψε, ή ακόμα πιο απλά να μπερδεύτηκε και να ήθελε να βάλει z.
Περιμένουμε απάντησή του, υποθέτω.

Edit: Μάλλον βλακείες λέω, έχω μπερδέψει τις εξισώσεις μιγαδικών με τις εξισώσεις χωρίς πραγματική ρίζα...

Το z=x+yi αποτελεί σύμβαση. Από τη στιγμή που υπάρχει μεταβλητή χ μέσα στην εξίσωση είναι αυθαίρετο να την εξισώσεις με το πραγματικό μέρος του z. Άμα θες να κάνεις αντικατάσταση τον μιγαδικό, θα πρέπει να πεις z=a+yi, να βάλεις δηλαδή κάποια άλλη μεταβλητή στη θέση του πραγματικού μέρους.

PiDefiner · 28 Μαρτίου 2015 στις 12:53

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Το z=x+yi αποτελεί σύμβαση. Από τη στιγμή που υπάρχει μεταβλητή χ μέσα στην εξίσωση είναι αυθαίρετο να την εξισώσεις με το πραγματικό μέρος του z. Άμα θες να κάνεις αντικατάσταση τον μιγαδικό, θα πρέπει να πεις z=a+yi, να βάλεις δηλαδή κάποια άλλη μεταβλητή στη θέση του πραγματικού μέρους.

Ναι, το γνωρίζω. Απλά έκανα μια υπόθεση, σχετικά με το τι παρέλειψε.

eyb0ss · 28 Μαρτίου 2015 στις 13:01

Αν είμαστε πολύ αυστηροί δεν μπορούμε να πούμε τίποτα για τη συγκεκριμένη εξίσωση διότι ο συντάκτης θα μπορούσε να ορίσει το x ως μιγαδικό και το z ως πραγματικό, επειδή πολύ απλά έχει το δικαίωμα να το κάνει. Προκειμένου να λυθεί ή τουλάχιστον να γίνει κατανοητή η άσκηση θα πρέπει να δοθεί ολόκληρη η εκφώνηση που λογικά θα διευκρινίζει τι ρόλο βαράνε τα λ,x,z. Μέχρι τότε δεν λύνουμε αλλά μαντεύουμε.

In other news, η λύση στην άσκηση που έβαλα ακόμη παραμένει στα αζήτητα.

Fedde le Grand · 28 Μαρτίου 2015 στις 13:08

mathguy σκέφτομαι την άσκηση σου και με παιδεύει το πρώτο ερώτημα. Δεν έχω ξανά κάνει κάτι τέτοιο.
Με ορισμό δε πρέπει να το πάμε για τυχαίο Χo; Έκανα μια παρογοντοποίηση αλλά πέρα από το ότι η f διατήρει σταθερό πρόσημο στο R δεν έβγαλα κάτι άλλο...

ΥΓ: Κάτι μου λέει ότι πέταξα κοτσάνα σε αυτό με τη διατήρηση προσήμου

DumeNuke · 28 Μαρτίου 2015 στις 13:24

Έβγαλα μια πολύ γαμάτη λύση, αλλά όταν πήγα να αποδείξω την παραγωγισιμότητα αντίτροφης συνάρτησης (το οποίο γενικά ισχύει, αλλά δεν ορίζεται στο βιβλίο και θέλει απόδειξη), έκανα κάπου λάθος στις αντικαταστάσεις στο όριο. Έλεγα θα καθίσω σήμερα να δω πού έκανα λάθος με την Q-1 ', αλλά βαρέθηκα.
Οπότε, υπάρχει λάθος στον τύπο της Q-1', αλλά ξέρω ότι μπορεί να οριστεί... Κάπως...

PiDefiner · 28 Μαρτίου 2015 στις 13:44

Έχω βρει τον τύπο της g (που έχω θέσει ως αυτήν στην δεύτερη παράνθεση), αλλά είναι στο τετράγωνο και δεν ξέρω πως να βρω πω ότι διατηρεί πρόσημο, για να κρατήσω μόνο το θετικό.

blackorgrey · 28 Μαρτίου 2015 στις 13:55

Έχεις g^2(x)=e^x-x+c.
Θέτοντας χ=0 παίρνεις c=0.Άρα g^2(x)=e^x-x το οποίο είναι πάντα θετικό,μπορείς να το δείξεις εύκολα.Άρα η g^2 δεν μηδενίζεται και συνεπώς ούτε η g.
Μπορεί να χω κάνει κάποιο λαθάκι γιατί τα βλέπω με το μάτι αλλά νομίζω αυτό είναι

eyb0ss · 28 Μαρτίου 2015 στις 13:58

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Έβγαλα μια πολύ γαμάτη λύση, αλλά όταν πήγα να αποδείξω την παραγωγισιμότητα αντίτροφης συνάρτησης (το οποίο γενικά ισχύει, αλλά δεν ορίζεται στο βιβλίο και θέλει απόδειξη), έκανα κάπου λάθος στις αντικαταστάσεις στο όριο. Έλεγα θα καθίσω σήμερα να δω πού έκανα λάθος με την Q-1 ', αλλά βαρέθηκα.
Οπότε, υπάρχει λάθος στον τύπο της Q-1', αλλά ξέρω ότι μπορεί να οριστεί... Κάπως...

Ωραίος, το λάθος είναι περίπλοκο αλλά μικρής σημασίας. Αν θέσεις $u=Q^{-1}(x)$ θα βγάλεις $Q(u)=x$ και το u θα τείνει στο $Q^{-1}(x_0)$ . Και η τελική σχέση γίνεται $(Q^{-1})'(x)=\frac{1}{Q'(Q^{-1}(x))}$ . Καλή σκέψη αλλά υπάρχει πιο ασφαλής τρόπος που έχει λίγο περισσότερο κόπο. Μάλλον θα αρχίσω να χρησιμοποιώ και εγώ το daum equation editor.

blackorgrey · 28 Μαρτίου 2015 στις 14:03

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
Ωραίος, το λάθος είναι περίπλοκο αλλά μικρής σημασίας. Αν θέσεις $u=Q^{-1}(x)$ θα βγάλεις $Q(u)=x$ και το u θα τείνει στο $Q^{-1}(x_0)$ . Και η τελική σχέση γίνεται $(Q^{-1})'(x)=\frac{1}{Q'(Q^{-1}(x))}$ . Καλή σκέψη αλλά υπάρχει πιο ασφαλής τρόπος που έχει λίγο περισσότερο κόπο. Μάλλον θα αρχίσω να χρησιμοποιώ και εγώ το daum equation editor.

Μάλλον την έβγαλα αλλά δε θέλω να πω λύση γιατί υποτίθεται είναι για τα παιδιά που δίνουν φέτος πανελλήνιες

Ωραία άσκηση πάντως

kachorra · 28 Μαρτίου 2015 στις 15:27

Αυτό είναι το θέμα. ..δεν βγάζω άκρη!https://www.dropbox.com/s/fvkn39oii0wrhnk/image-59c0fb3cb74ec68f3267400ed7006abd07b59bf6b8c79a43c863f6022082a70c-V.jpg?dl=0

rebel · 28 Μαρτίου 2015 στις 16:07

Πιθανότατα πρόκειται για τυπογραφικό λάθος. Όπου χ βάλε z.

kachorra · 28 Μαρτίου 2015 στις 16:27

ποιο λογικο τωρα.

Ελυσα α και β ερωτηματα και απο το γ το ii βγαινει με θμτ στο 0,2 σωστα?

Το ερωτημα γ i ομως?

rebel · 28 Μαρτίου 2015 στις 16:41

Αυτό έχει ενδιαφέρον. Αρκεί να βρεις κατάλληλο εσωτερικό σημείο, ας πούμε $\rho$ , του $[0,2]$ και στην συνέχεια να εφαρμόσεις ΘΜΤ στα επιμέρους διαστήματα $[0,\rho],[\rho,2]$ . Θέλω δηλαδή να βρω $\xi_1\in (0,\rho),\xi_2 \in (\rho,2)$ τέτοια ώστε
$1=f'(\xi_1)f'(\xi_2)=\frac{f(\rho)-f(0)}{\rho-0}\frac{f(2)-f(\rho)}{2-\rho}=\frac{f(\rho)-2}{\rho}\,\,\frac{-f(\rho)}{2-\rho}$
Αρκεί δηλαδή $f(\rho)=\rho$ . Μπορώ να εξασφαλίσω την ύπαρξη ενός τέτοιου $\rho$ ;

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος