rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αφού παρατηρήσουμε ότι , αφαιρώντας το από τα μέλη έχουμε:Να λυθει ανισωση :
View attachment 86099
@Samael ,@Alexandros28
να θυμηθουμε τα νιατα μας , τοτε που τα πραγματα ηταν πιο απλα
αφού
Υ.Γ. Πήρα το θάρρος να τη λύσω γιατί θυμήθηκα και εγώ τα νιάτα μου. Παρατήρησα άλλωστε ότι και το τελευταίο μήνυμα πριν την άσκηση ήταν δικό μου! Πως περνούν τα χρόνια...
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω επίσης ο πρώτος όρος της νιοστής ομάδας. Τότε βλέπουμε ότι
Μετά απ' αυτά συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των όρων της νιοστής ομάδας είναι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Να βρείτε τον πρώτο όρο της νιοστής ομάδας και να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αριθμών που περιλαμβάνονται στην νιοστή ομάδα είναι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Με 509 μέρες καθυστέρηση...Ασκ/
α = 111...1 (2ν ψηφία) + 111...1 (ν+1 ψηφία) + 666...6 (ν ψηφία) + 8
ΝΔ ότι ο α είναι τέλειο τετράγωνο.
για έχουμε
οπότε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
οπότε από αυτή και την δοσμένη ανισότητα έχουμε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
bueno από την σχέση που βγάζει αντικαθιστάΓιατι οι παλιες αγαπες δεν ξεχνιουνται ....
και το ζητουμενο ειναι προφανες .
Ε λοιπόν αυτήν την ταυτότητα δεν την θυμόμουν. Αντίθετα ξεκίνησα από την αρχή να υπολογίσω το το οποίο τελικά βγαίνει 0. Μπράβο Τάσο. Την άσκηση που έχω βάλει στο thread της Β' Λυκείου την έχεις κοιτάξει; Να βάλω λύση;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Τώρα την συγκεκριμένη εδώ δεν ξέρω γιατί την έβαλα. Μάλλον δεν είχε πάει από πριν το μυαλό μου στην λύση σου. Μία λύση εκτός thread είναι η εξής: Από την δοσμένη ισότητα παίρνουμε:
λόγω ανισότητας αριθμητικού γεωμετρικού μέσου
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
-Αν τότε
-Aν χωρίς βλάβη υποθέτουμε ότι τότε
Είναι θέμα από την Κινέζικη Μαθηματική Ολυμπιάδα του 1983.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έκανα ένα λάθος στην μετάφραση της εκφώνησης: Όπου "για κάποια α,b στο [0,1]" ας μπει "για κάθε α,b στο [0,1]". Επίσης το συμπέρασμα να δειχθεί ότι ισχύει και αυτό για κάθε a,b στο [0,1] .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Επεξεργασία: Βλακωδώς νόμιζα στην αρχή ότι ο κάθε παρονομαστής είναι το γινόμενο των δύο προηγούμενων.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν δείξτε ότι
Άστην κανένα τεταρτάκι να προσπαθήσουν κι άλλα παιδάκια.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
που ισχύει από α υποερώτημα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
1) α) Να δείξετε ότι αν , τότε
β) Αν και , τότε
2) Αν πλευρές τριγώνου
α) Να δείξετε ότι ισχύει:
β) Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά , να δειχθεί ότι
Kαλή διασκέδαση!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
l2x+3/4l=4 πως λυνεται αυτη?
Επεξεργασία: Και η άλλη που γράφεις βασίζεται σε βασική ιδιότητα απολύτων
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Δίνεται η εξίσωση
i) Ν.δ.ο η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες για κάθε .
ii) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης ισούται με το τριπλάσιο του τετραγώνου της άλλης,
να βρείτε : α) την τιμή του .
β) τις ρίζες τις εξίσωσης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω . Λόγω της ανισότητας που είπες είναι
Για ασκησούλα θα προσπαθήσω πιο βράδυ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Πολλαπλασιάζουμε (1) και (2) και παίρνουμε
με την ισότητα να ισχύει μόνο για
Μία άσκηση
Δίνεται η συνάρτηση με και
a) Να δείξετε ότι
β)Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
Κι άλλη μία
Δείξτε ότι
(Διόρθωση του παρονομαστή στο δεξί μέλος. Είναι 1/10 αντί 1/12. Συγγνώμη αν ταλαιπώρησα κάποιον)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου και την σχέση (*) έχουμε
Μετά από πράξεις από την παραπάνω ανισότητα συνεπάγεται ότι
Όπως βλέπουμε η συγκεκριμένη λύση κάθε άλλο παρά τετριμμένη είναι. Προσπάθησα να βρω μία απόδειξη που να αξιοποιεί το δεδομένο , το οποίο πολύ όμορφα έδειξε ο Μανώλης, χωρίς όμως αποτέλεσμα. Αν η Χαρουλίτα έχει κάποια τέτοια απόδειξη υπ' όψιν ας την ανεβάσει αν δεν είναι κόπος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Για από τον πρώτο τύπο έχουμε και από τον δεύτερο . Εξισώνοντας έχουμε . ΕπίσηςΜπορει να μου πει καποιος τον τροπο λυσης αυτης της ασκησης :
Να προσδιορισετε τους κ,λ ωστε η συναρτηση f(x)=κx+2λ για x<=0 και f(x)= k^2x+ λ^2+1 για x>=0
Να ισχυει:
f(-1)=f(1)
οπότε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
2) Σε μία αριθμητική πρόοδο είναι και . Να αποδείξετε ότι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
2) Αν τότε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
2) Nα απλοποιήσετε την παράσταση
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
α) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις για κάθε a,b,c πραγματικούς.
β) Αν να λυθεί το σύστημα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
α)
β)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
2) Αν ισχύουν οι σχέσεις λχ+μy=0 (1) , x+y=xy (2) , x²+y²=1 (3) Να δειχτεί η σχέση
Διαιρώντας την (2) με y και χ διαδοχικά έχουμε
και λόγω της (4) είναι
Αντικαθιστώντας τις (5),(6) στην (3) παίρνουμε
Πολλαπλασιάζουμε την τελευταία σχέση με λ²μ² και παίρνουμε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
2) Άν δείξτε ότι
3) Να απλοποιηθεί η παράσταση
4)Αν δείξτε ότι (Περίεργο αποτέλεσμα ε; )
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
.
Αν ήταν και οι δύο διακρίνουσες αρνητικές τότες και το άθροισμά τους θα ήταν αρνητικό. Άτοπο, άρα τουλάχιστον μία διακρίνουσα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση του 0. Ισοδύναμα τουλάχιστον μία εκ των (1),(2) έχει λύση στους πραγματικούς.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αυτή την διάσπαση έψαχνα κι εγώ ανεπιτυχώς.5.
κάπως πιο απλά....
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Όμως
Άρα
(Γενικά . Είναι και άσκηση στο σχολικό)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Υ.Γ. Άντε πότε μπαίνετε δευτεροβάθμιες, συναρτήσεις, τριγωνομετρία; Εχω στερέψει από θέματα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Δείξτε ότι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
2)Να βρεθούν οι πραγματικοί χ,y αν
3) Έστω n,k μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
α) Να αποδείξετε ότι
β) Αν τότε να δείξετε ότι
γ) Για ποια τιμή του n μεγιστοποιείται η παράσταση Α και ποια είναι η μέγιστη τιμή της;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Ξανακοίταξέ το. Προσπάθησε να εκμεταλλευτείς την διάταξη των αριθμών για να βγάλεις κάποιο συμπέρασμα για το k.για το πρωτο εχω μια μπακαλικη απαντηση. Το Κ πρεπει να ειναι πολλαπλασιο του 21 αρα η μονη επιλογη ειναι το Β.42
Εντελως μπακαλικα, δεν ξερω αν ισχυει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω ότι p, q είναι δύο ισχυρισμοί και θέλουμε να αποδείξουμε την συνεπαγωγή . Υπάρχουν δύο τρόποι.
- Ξεκινάμε από τον ισχυρισμό p και με διαδοχικές συνεπαγωγές καταλήγουμε στον q . Δηλαδή . Για παράδειγμα έστω ότι θέλω να δείξω ότι ισχύει ο ισχυρισμός . Τότε ξεκινώντας από τον ισχυρισμό o οποίος είναι αληθής έχουμε διαδοχικά
- Επειδή κάποιες φορές δεν είναι προφανής ο αληθής ισχυρισμός p από τον οποίο πρέπει να ξεκινήσουμε, λειτουργούμε ως εξής: Για να ισχύει ο q αρκεί να ισχύει ο l,... αρκεί να ισχύει ο s, αρκεί να ισχύει ο r, αρκεί να ισχύει ο p ο οποίος είναι αληθής. Στην παραπάνω περίπτωση θα είχαμε δηλαδή: που είναι ουσιαστικά η ίδια σειρά συνεπαγωγών με πάνω. Να σημειωθεί εδώ ότι με την "μέθοδο του αρκεί" χρησιμοποιούμε καταχρηστικά (έτσι το έχει και το σχολικό σε κάποιες αποδείξεις) το σύμβολο τις διπλής ισοδυναμίας απαιτώντας έτσι να ισχύουν και οι δεξιές συνεπαγωγές κάτι το οποίο κανονικά είναι περιττό γιατί δεν μας ενδιαφέρει η συνεπαγωγή . Ας δεχθούμε παρ' όλα αυτά το σύμβολο της διπλής ισοδυναμίας μιας και έτσι έχει επικρατήσει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
2) Αν οι αριθμοί είναι αντίστροφοι, να δείξετε ότι οι αριθμοί είναι αντίθετοι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Λόγω του ερωτήματος i)
και
οπότε
Αρκεί:
που ισχύει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Καλά το πήγες μόνο που η ισότητα ισχύει και για την (2) και όχι μόνο για την (1). Άρα...Απο τριγωνικη ανισοτητα ξερω τα εξης :
προσθετω την (1) και την (2) κατα μελη και εχω με την ισοτητα να ισχυει αν και μονο αν ενας απο τους δυο ειναι μηδεν ή ειναι ομοσημοι .
Σωστός.μετα απο λιγο πραξολοι φτανω εδω : που ισχυει αφου ο εκθετης με την καμια δεν παει αρνητικος για να μας τα χαλασει με αντιστροφές κτλπ . επισης απο την αρχικη εχω αρα ισχυει ως γινομενο ομοσημων .
Σωστός και εδώ( για την ακρίβεια το ανάπτυγμα είναι ) αλλά θέλω πιο λυκειακά. Βοηθάει το ερώτημα i)Γιαυτην εχω λυση αλλα δεν ειναι πληρως αιτιολογημενη : απο δω εχω εδω οταν αναπτυχθει αυτο το διωνυμο θα βγουν εξω τουλαχιστον ενα που θα απλοποιθουν με τα αντιστοιχα του δεξιου μελους και θα μεινει στα αριστερο μια θετικη ποσοτητα αρα θα ισχυει αυτη η προταση .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Υπάρχει κι άλλη λύση.
απο δω εχω που επαληθευει τις σχεσεις .
Άλλες δύο:
1) Για κάθε να δείξετε ότι
2) i) Για κάθε με να δείξετε ότι όπου n φυσικός με
ii) Να δείξετε ότι όπου και n φυσικός.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε
με την ισότητα να πετυχαίνεται για
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Mηπως μπορει να μου πει καποιος τον τροπο να λυσω τις παρακατω παραμετρικες εξισωσεις???
λ^2 (x-3)=λx-3
(λ+5)(λ-3)x=λ-3
λ^2x+3=3x+λ
λ^2x+1=λ(x+1)
Πρώτη σου δουλειά είναι να φέρεις την εξίσωση στην μορφή αχ=-β(*). Από κει και πέρα διακρίνεις περιπτώσεις σύμφωνα με τον οδηγό στην σελίδα 79 του σχολικού (Μετά την φράση "διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις..."). Έχει και παράδειγμα λύσης παραμετρικής εξίσωσης στην σελίδα 80. Θα κάνω το πρώτο και τα υπόλοιπα τα αφήνω για να προσπαθήσεις μόνος σου(συνίσταται).
Φέραμε την εξίσωση στην μορφή (*) με . Έχουμε επομένως τις εξής περιπτώσεις.
Αν δηλαδή και τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση την . Κοιτάζουμε τώρα τι γίνεται για τις τιμές του λ για τις οποίες μηδενίζεται το α. Έτσι:
- Αν τότε η εξίσωση γίνεται , αδύνατη
- Αν τότε η εξίσωση γίνεται και είναι ταυτότητα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
με ισότητα για
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Ναι... αν αυτό την κάνει μη σχολική μάλλον έχεις δίκιο ούτε εγώ θα το έβρισκα. Δεν ξέρω κάποιον άλλο τρόπο πάντως.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
2) Άν , να δειχθεί ότι (Όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί)
3) Αν και να δειχθεί ότι α=2 ή b=2 ή c=2
4) Αν να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης
5)Αν με να βρεθεί η τιμή της παράστασης
6)Να λυθεί η εξίσωση
7) Αν και με να βρεθεί το k
8 ) Και μία δικιά μου στην προσπάθεια να συνδυάσω απόλυτα και εξισώσεις:
Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθεί η εξίσωση
Συγγνώμη αν κάποιες είναι εκτός πνεύματος...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Nα αποδειξετε οτι :
ii)αν για τους πραγματικους αριθμους a,b και c ισχυουν οι σχεσεις:
τοτε b² + c² ≤ a² + d²
Ισχύει
Μία παρόμοια με την προηγούμενη. Να απλοποιηθεί η παράσταση
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αυτόν εννοείς;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Επίσης
Από (1) και (2) η αρχική παράσταση είναι τελικά ίση με
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
και οπότε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
α) Ένας από τα α,β,γ αρνητικός, δύο θετικοί
β) Δύο από τα α,β,γ αρνητικοί , ένας θετικός
και φτάνουμε εύκολα στο ζητούμενο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν γράψουμε τον κάθε αριθμό σε δεκαδικό ανάπτυγμα και αφαιρέσουμε, έχουμε:
πηγή: ΕΜΕ
- Για το μέγιστο έχουμε . Επειδή όμως τα ψηφία είναι διαφορετικά μεταξύ τους, οι διαφορές αυτές θα παίρνουν τις τιμές 8, 6(αμέσως μικρότερη), 4(αμέσως μικρότερη) και αφού θα είναι και οπότε
- Για το ελάχιστο έχουμε κατ' αρχάς , αφού και η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η διαφορά είναι 1. Άρα μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα ζεύγη . Επίσης οπότε οι δυνατές τιμές για τις διαφορές αυτές είναι -8, -6(αμέσως μεγαλύτερη) και αφού είναι οπότε και δυνατές τιμές για τους αριθμούς x,y - εξαιρώντας τα ζεύγη από τις πιθανές τιμές των αφού πρέπει τα ψηφία να είναι όλα διαφορετικά είναι:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έχεις δίκιο δεν πήγα τόσο πίσω. Τώρα έχουμε...
πηγή: ΕΜΕ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Nα αποδειξετε οτι :
i) x² + y² ≥ 2xy για καθε x,y
ii)αν για τους πραγματικους αριθμους a,b και c ισχυουν οι σχεσεις:
τοτε b² + c² ≤ a² + d²
Αν με δείξτε ότι:
i)
ii)
Και μερικές ακόμη ασκήσεις πάνω στις ανισότητες.
(όπου a,b,c, > 0 και x,y,z πραγματικοί)
5.
(*)6.
Bρείτε τις τιμές των απόλυτων-->
α)
β)
γ)
δ)
ε)
στ)
ζ)
Eπαναφορά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Ένας τρόπος για να δεις αν όντως έχεις σωστά αποτελέσματα είναι κάνεις τα και να δεις αν όντως υπάρχουν τιμές των χ,y για τις οποίες η παράσταση "πιάνει" το άνω και κάτω φράγμα. Εδώ πχ για ενώ για άρα δεν έχουμε βρει απλά ένα άνω και ένα κάτω φράγμα για την Α αλλά το μέγιστο και το ελάχιστο της Α.
Y.Γ. Στο mathematica η αντίστοιχη παράσταση πιάνει τα φράγματα όταν πολλαπλασιάζεις τις ανισότητες με τις αλλαγμένες πλευρές κατά μέλη, ενώ δεν τα πιάνει όταν αναπτύσεις την παράσταση του εμβαδού. Και αυτό λόγω της παράστασης -0,1χ η οποία χαλάει την ανισότητα. Βασικά έπρεπε να κάνω παράθεση την παραπομπή που έχει γιατί εκεί το εξηγεί καλύτερα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Οφείλεται στον διαφορετικό τρόπο κατασκευής της ανισότητας για το χ. Στην (2) όταν υψώνεις στο τετράγωνο ήδη με το 49 έχεις <<ξεφύγει>> εντελώς από το ελάχιστο διάστημα στο οποίο κινείται το ,δηλαδή το [0,25]. Σαν να μην έφτανε αυτό όταν προσθέτεις κατά μέλη (2) και (3) προσθέτεις ακόμα 8. Η αφαίρεση του 4 στην σχέση (4) δεν βελτιώνει και πολύ τα πράγματα. Ως εκ τούτου έχεις μια ανισότητα αρκετά <<χαλαρωμένη>> ως προς το άνω φράγμα(το οποίο τελικά απ' ότι βλέπω είναι 153)49>(χ+2)^2 => 49 > χ^2 +4χ + 4 (2)
...
Πολλαπλασιάζεις με -1 (αλλαγή φοράς) και έχουμε -20<-4χ<+8 => +8>-4χ>-20 (3)
προσθέτεις την 2 και την 3 κατα μέλη και έχεις:
49>χ^2 +4χ + 4>0 +
+8>-4χ>-20 =>
57> χ^2 +4 > -20 => -57< -χ^2 - 4 < +20 => -53<-χ^2<+24 => 53>χ^2>-24 (4)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Μία σκέψη. Ουσιαστικά αποδεικνύεις τις συνεπαγωγές-2<χ<5 η οποία μπορεί να είναι έτσι -2<x<0<5 από την -2<χ<0 => 4>χ²>0 Αρα χ²>0 ή έτσι -2<0<χ<5 οπότε 0<χ<5 => 0<χ²<25
.
Δηλαδή βγάζεις άλλη ανισότητα για κάθε διάστημα που ανήκει το χ. Αφού εμείς θέλουμε μία ενιαία ανισότητα δεν θα ήταν καλύτερο να πούμε
οπότε ;
Υ.Γ. Luminous είναι στο τέλος της λύσης σου
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
(*)2.
Υψώνοντας στο τετράγωνο:
που ισχύει αφού
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
. Αρκεί που ισχύει.(*)4.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
i)
ii)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
. Όμως
και το συμπέρασμα έπεται.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Χρησιμοποιούμε δύο φορές την ανισότητα5) Αν και να αποδειχθεί ότι:
iii)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
1) Αν και να αποδείξετε ότι:
2)Αν οι αριθμοί με είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι ο αριθμός:
είναι φυσικός.
3) Για κάθε να αποδείξετε ότι
4)Αν με να αποδείξετε ότι:
i)
ii)
5) Αν και να αποδειχθεί ότι:
i)
ii)
iii)
6) Αν να αποδείξετε ότι
i)
ii)
7) Aν να αποδείξετε ότι
i)
ii)
8 ) Aπό το όπερ έδει δείξαι
Αν με να αποδείξετε ότι:
9) Από την ίδια πηγή με λίγο αλλαγμένα νούμερα
Να βρεθουν οι πραγματικοί αριθμοί αν
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
1) Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει .
i) Να εξετάσετε αν τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα.
ii) Nα αποδείξετε ότι
2) Έστω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα αυτού. Αν είναι γνωστό ότι να βρεθεί η
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
i) γιατί
ii) οπότε , άρα
iii) . Όμως εύκολα αποδεικνύεται ότι .
Aπό (1) και (2):
Τελικά:
Και οι δύο ασκήσεις είναι από τον Ευκλείδη Β' τεύχος 79
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
i)
ii)
iii)
2) Αν και , τότε να δείξετε ότι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Να λυθεί ως προς το σύστημα
Θέτω και έχω:
Αν κάποιο από τα είναι 0, εύκολα βλέπουμε ότι και τα υπόλοιπα 2 θα είναι 0 και η τριάδα θα είναι λύση του . Αν έχουμε:
Αφαιρώντας κατά μέλη την πρώτη με την δεύτερη σχέση και προσθέτωντας το αποτέλεσμα στην τρίτη έχω:
Όμοια βρίσκω και από εδώ προκύπτει ότι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Δείξαμε δηλαδή ότι . Άρα:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.