Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

transient · 22-01-12

Μπράβο και εγώ αυτή του Τάσου είχα σκεφτεί, αλλά έλεγα μη γίνω ρόμπα σε περίπτωση που ήταν λάθος

Ερώτηση: Τάσο τι συμβολίζει αυτο το σύμβολο που είναι σα καπελάκι (το έχεις βάλει μετά απο το α^2-4b)?

Guest 018946 · 22-01-12

το $\wedge$ ειναι το και το βαζω επειδη βαριεμαι να βαζω $10 ^2$ φορες τις κωλοετικετες του $\LaTeX$

transient · 22 Ιανουαρίου 2012

Έχουμε δύο ενδεχόμενα Γ και Δ του δειγματικού χώρου Ω. Έστω οι πιθανότητες P(Γ) και P(ΓUΔ) οι λύσεις της εξίσωσης:
16χ^2 - 20χ + 6 = 0
α) Να βρεθούν οι P(Γ) και P(Γ U Δ)
β) Επίσης, ισχύει

P(Γ-Δ)= (τετρ.ριζα του 32 + τετραγωνική ρίζα του 8 - τετραγωνική ρίζα του 50)^-6

1) Ποιά η πιθανότητα να πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Γ και Δ;
2) Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση:

P(Ω) * χ^2 - 16^P(Δ-Γ) τελος εκθετη * |x| = 3 + P(κενο_σύνολο)

Guest 018946 · 23 Ιανουαρίου 2012

α) $x_{1}=\frac{3}{4} , \quad x_{2}=\frac{1}{2}$ Ομως $P( \Gamma ) \leq P( \Gamma \cup \Delta)$ αρα ειναι $P( \Gamma) = \frac{3}{4} \wedge P( \Gamma \cup \Delta ) =\frac{3}{4}$
β) $P( \Gamma - \Delta )=[\sqrt{2}(4+2-5)]^{-6} \Leftrightarrow P( \Gamma - \Delta )=\frac{1}{8}$
1) $P( \Gamma - \Delta )=P(\Gamma)-P( \Gamma \cap \Delta ) \Leftrightarrow P( \Gamma \cap \Delta )=\frac{3}{8}$
2) Λιγο πραξολοι και εχω $P(\Delta) =\frac{5}{8} \wedge P( \Delta - \Gamma )=\frac{1}{4}$ Και η εξισωση γινεται ευκολα
$x^2-2|x|-3=0$ Εδω θα θεσω $u= |x|$ με $u \geq 0$ και θα παρω $u^2-2u-3=0 \Leftrightarrow u_{1}=3 \wedge u_{2}=-1$ Η δευτερη προφανως αποριπτεται αρα εχω $x = 3 \vee x = -3$ .

rebel · 24-01-12

Αν $r_1,\,r_2$ οι ρίζες της εξίσωσης $ax^2+bx+c=0$ και $r_1=2r_2$ , να λυθεί η εξίσωση $2ax^2-4bx+9c=0$ . Tα a,b,c θεωρούνται γνωστά.

Guest 018946 · 24-01-12

Βρηκα λυσεις συναρτησει του $r_{2}$ αυτο ζητηται ;

rebel · 24-01-12

Συναρτήσει κάποιων από τους a,b,c. Γιαυτό δίνεται ότι θεωρούνται γνωστά.

Αγγελική!!! · 24-01-12

Να λυθεί η εξίσωση:
${x}^{4}+3{x}^{3}+4{x}^{2}+3x+1=0$

Guest 018946 · 24 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν $r_1,\,r_2$ οι ρίζες της εξίσωσης $ax^2+bx+c=0$ και $r_1=2r_2$ , να λυθεί η εξίσωση $2ax^2-4bx+9c=0$ . Tα a,b,c θεωρούνται γνωστά.

Στην πρωτη εχω απο Vieta : $r_{1}+r_{2}=\frac{-b}{a} \Leftrightarrow 3r_{2}=\frac{-b}{a} \quad (1) \quad r_{1}r_{2}=\frac{c}{a} \Leftrightarrow r_{2}^2=\frac{c}{2a}$ Η δευτερη εξισωση μπορει να μετασχηματιστει ως εξης αν το $a$ ειναι διαφορο του μηδενος . Ετσι εχω $x^2-x\frac{2b}{a}+\frac{c}{2a}$ Ομως απο τις πανω σχεσεις μπορω να βγαλω
$-6r_{2}=\frac{2b}{a} \wedge 9r_{2}^2=\frac{9c}{2a}$ ετσι την μετασχηματιζω ως $x^2+6r_{2}x+9r_{2}^2=0$ Βγαζω διακρινουσα και εχω οτι $\Delta=0$ αρα το $x_{0}$ που μηδενιζει το τριωνυμο ειναι $x_{0}=\frac{-6r_{2}}{2}=-3r_{2}=\frac{b}{a}$

Edited : Μετα απο υποδειξη του Κωστα αφου ειδα οτι ειχα κανει παπαρια .

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Να λυθεί η εξίσωση:
${x}^{4}+3{x}^{3}+4{x}^{2}+3x+1=0$

$x^4+x^2+2x^3+x^3+3x^2+3x+1=0 \Leftrightarrow (x^2+x)^2+(x+1)(x^2-x+1)+3x(x+1)=0 \Leftrightarrow (x+1)[x^2(x+1)^2+(x+1)^2]=0 \Leftrightarrow (x+1)(x+1)(x^2+x+1)=0 \Leftrightarrow x=-1$ Το δευτερο τριωνυμο προφανως δεν μηδενιζει πουθενα.

SonnY · 24-01-12

guys πείτε μου το πρόγραμμα με το οποίο γράφετε αλγεβρικές παραστάσεις!!

Guest 018946 · 24-01-12

Δεν ειναι προγραμμα ειναι ΤΟ $\LaTeX$ γραφεις αυτο που θες στον συντακτη ( https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?p=2956538# _)
και το επικολλας εδω με τις ετικετες $[./latex] Χωρις το . στο δευτερο .$

Αγγελική!!! · 24-01-12

Το LATEX είναι αυτό: https://ischool.e-steki.gr/equationeditor/equationeditor.php

rebel · 25-01-12

1) Να γίνει γινόμενο το άθροισμα $(x^2+x-5)^3+(1-2x^2)^3+(x^2-x+4)^3$

2) Άν $a,b>0$ δείξτε ότι $\frac{a+b}{1+a+b}<\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$

3) Να απλοποιηθεί η παράσταση $A=\frac{\left | x^2-4|x|+4 \right |}{|x|^2-4x+4}$

4)Αν $0 \leq a<\epsilon,\,\forall \epsilon>0$ δείξτε ότι $a=0$ (Περίεργο αποτέλεσμα ε; )

Αγγελική!!! · 25-01-12

Με δευτεροβάθμιες εξισώσεις:
1)Εάν $\rho$ είναι η ρίζα της εξίσωσης ${x}^{2}+\beta x+\gamma =0$ , να αποδείξετε ότι $\left|\rho \right|<1+\left|\beta \right|+\left|\gamma \right|$
2)Eάν ${\rho }_{1},{\rho }_{2}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma =0$ , $\alpha \neq 0$ να κατασκευάσετε δευτεροβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες $\left| {\rho }_{1}\right|,\left| {\rho }_{2}\right|$
3)Εάν $<3$ \gamma " /> να δείξετε ότι η εξίσωση ${x}^{2}-\beta x+\gamma =0$ δεν έχει ρίζες στο $R$
4)Εάν η εξίσωση $\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma =0$ έχει ρίζες τις ${x}_{1},{x}_{2}$ και $S,P$ να βρείτε τις ρίζες της και το $S,P$ ,αν ${S}_{\nu }-S{S}_{\nu -1}+P{S}_{\nu -2}=0$
( ${S}_{\nu }={{x}_{1}}^{\nu }+{{x}_{2}}^{\nu }$ , ${S}_{\nu-1 }={{x}_{1}}^{\nu-1 }+{{x}_{2}}^{\nu -1}$ , ${S}_{\nu-2 }={{x}_{1}}^{\nu-2 }+{{x}_{2}}^{\nu -2}$ )

gregory nub · 25-01-12

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Με δευτεροβάθμιες εξισώσεις:
1)Εάν $\rho$ είναι η ρίζα της εξίσωσης ${x}^{2}+\beta x+\gamma =0$ , να αποδείξετε ότι $\left|\rho \right|<1+\left|\beta \right|+\left|\gamma \right|$
2)Eάν ${\rho }_{1},{\rho }_{2}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma =0$ , $\alpha \neq 0$ να κατασκευάσετε δευτεροβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες $\left| {\rho }_{1}\right|,\left| {\rho }_{2}\right|$
3)Εάν $<3$ \gamma " /> να δείξετε ότι η εξίσωση ${x}^{2}-\beta x+\gamma =0$ δεν έχει ρίζες στο $R$
4)Εάν η εξίσωση $\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma =0$ έχει ρίζες τις ${x}_{1},{x}_{2}$ και $S,P$ να βρείτε τις ρίζες της και το $S,P$ ,αν ${S}_{\nu }-S{S}_{\nu -1}+P{S}_{\nu -2}=0$
( ${S}_{\nu }={{x}_{1}}^{\nu }+{{x}_{2}}^{\nu }$ , ${S}_{\nu-1 }={{x}_{1}}^{\nu-1 }+{{x}_{2}}^{\nu -1}$ , ${S}_{\nu-2 }={{x}_{1}}^{\nu-2 }+{{x}_{2}}^{\nu -2}$ )

1. $g= r*r=r^2$
Οποτε |ρ|=<|γ| ομως 1 και |β| ειναι θετικες ποσοτητες, αρα θα ισχυει και το |ρ|=<|γ|+1+|β|

3. Δ=β^2-4γ και απο δεδομενο θα ειναι μικροτερο του 0, αρα δεν εχει πραγματικη ριζα

akis95 · 25-01-12

Η ανισοτητα στο 1 ισχυει και με γενικευση προσπαθηστε να την αποδειξετε.

Άκης(παντα ηθελα να υπογραψω με το ονομα μου)

Guest 018946 · 25-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1) Να γίνει γινόμενο το άθροισμα $(x^2+x-5)^3+(1-2x^2)^3+(x^2-x+4)^3$

2) Άν $a,b>0$ δείξτε ότι $\frac{a+b}{1+a+b}<\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$

3) Να απλοποιηθεί η παράσταση $A=\frac{\left | x^2-4|x|+4 \right |}{|x|^2-4x+4}$

4)Αν $0 \leq a<\epsilon,\,\forall \epsilon>0$ δείξτε ότι $a=0$ (Περίεργο αποτέλεσμα ε; )

1) Παρατηρω οτι οι βασεις εχουν αθροισμα μηδεν αρα Euler αρα γινεται $3(x^2+x-5)(1-2x^2)(x^2-x+4)$
2) Εδω δεν εχω τοσο τεχνικη λυση οσο πραξολογικη $\frac{a+b}{a+b+1} < \frac{a+ab+b+ab}{ab+a+b+1} \Leftrightarrow (a+b)(ab+a+b+1) < (a+b+2ab)(1+a+b) \Leftrightarrow a^2b+a^2+ab+a+b^2a+b^2+b+ab< a^2+ab+a+ba+b^2+b+2a^2b+2b^2a+2ab \Leftrightarrow a^2b+b^2+2ab > 0$ που ισχυει ως αθροισμα θετικων
3) $A=\frac{|(|x|-2)^2|}{(x-2)^2}$
Για $x \geq 2$ Έχω $A=\frac{(x-2)^2}{(x-2)^2}=1$
Για $x < 2$ έχω $A=\frac{(x+2)^2}{(x-2)^2}$
4) Εδω πρεπει να εννοεις οτι το $\epsilon$ ειναι η απειροελαχιστη θετικη ποσοτητα αρα για να ειναι μικροτερο το $a$ μικροτερο θα ειναι μηδεν ( λογικα χανω καπου αλλα δεν πειραζει ) .

SonnY · 25 Ιανουαρίου 2012

Guest 018946 · 25-01-12

Λογικα εννοεις αυτο $\left|\left|\chi +1 \right|+\chi +1 \right| +\left|\left|\chi+1 \right| -\chi -1 \right| - 2\left|\chi +1 \right| = 0$ :
Έχω $|x+1| \geq -x-1 \Leftrightarrow |x+1|+x+1 \geq 0 \quad (1)$
$|x+1| \geq x+1 \Leftrightarrow |x+1|-x-1 \geq 0 \quad (2)$ Αρα εξαγοντας τα απολυτα εχω
$|x+1|+|x+1|+x+1-x-1-2|x-1| =0 \Leftrightarrow 2|x+1|-2|x+1|=0 \Leftrightarrow 0=0$ που ισχυει .

SonnY · 25-01-12

αν $\left|\chi \right|\prec 1$ και $-1\prec \psi \prec 3$ να αποδείξετε ότι $\left|{\chi }^{2} - 3\chi -10 \right| \prec 14$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος