Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

aggressive · 2 Αυγούστου 2012 στις 17:07

Αρχική Δημοσίευση από sydney96:
Πω κι εγώ έχω πρόβλημα με αυτό το Latex.Το προηγούμενο που έγραψα ήταν η πρώτη μου απόπειρα.Δεν το είχα ξαναχρησιμοποιήσει αν και το είχα παλέψει πολλές φορές στο παρελθόν και δεν τα κατάφερνα.Μου πήρε κάνα μισάωρο για να γράψω τις σειρούλες που είδες.

Εγώ αρχίζω και μαθαίνω.

Εdit: Ας κρατήσουμε ζωντανό το θρεντ.

sydney96 · 2 Αυγούστου 2012 στις 17:14

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Ας βάλω και εγώ μία ευκολούτσικη... απλά για να δοκιμάσω να γράψω με LaTeX... Καλή η άσκηση του dr.tasos.^

Αν $\alpha +\beta +\gamma =0$ , να αποδειχθεί ότι:

α) ${(\alpha }+\beta)}^{2} + {(\beta +\gamma)}^{2} + {(\gamma +\alpha)}^{2}= {\alpha }^{2} + {\beta }^{2} + {\gamma }^{2}$ και

β) $\frac{{\alpha }^{4}}{{\beta }^{3}+{\gamma }^{3}-3\alpha \beta \gamma } + \frac{{\beta }^{4}}{{\gamma }^{3}+{\alpha }^{3}-3\alpha \beta \gamma }+ \frac{{\gamma }^{4}}{{\alpha }^{3}+{\beta }^{3}-3\alpha \beta \gamma }=0$

Πάρε πρώτα το α γιατί το άλλο θα μου πάρει μια ζωή να το γράψω.

${\left(-\gamma \right)}^{2} + {\left(-\alpha \right)}^{2} + {\left(-\beta \right)}^{2}= {\alpha }^{2} + {\beta }^{2} + {\gamma }^{2}$
και ισχύει

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Εγώ αρχίζω και μαθαίνω.

Εdit: Ας κρατήσουμε ζωντανό το θρεντ.

Μπα εγώ τίποτα.Τόση ώρα για μισή γραμμή.Δεν ήξερα ότι δεν μπορώ να πληκτρολογήσω εγώ τα α,β,γ και τα ξαναέγραψα από την αρχή.Μετά είχα πρόβλημα με τις παρενθέσεις και τα τετράγωνα...Άσε με θύμωσα τώρα :mad:

!

akis95 · 2 Αυγούστου 2012 στις 23:51

Ξέρω απο γνωστό λήμμα ότι $a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$

Έτσι η προς απόδειξη σχέση γραφεται ισοδυναμα :

$\frac{a^4}{-a^3}+\frac{b^4}{-b^3}+\frac{c^4}{-c^3}=0 \Leftrightarrow -a-b-c=0 \Leftrightarrow a+b+c=0$ απο drtasos

aggressive · 3 Αυγούστου 2012 στις 00:11

Αρχική Δημοσίευση από akis95:
Ξέρω απο γνωστό λήμμα ότι $a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$

Έτσι η προς απόδειξη σχέση γραφεται ισοδυναμα :

$\frac{a^4}{-a^3}+\frac{b^4}{-b^3}+\frac{c^4}{-c^3}=0 \Leftrightarrow -a-b-c=0 \Leftrightarrow a+b+c=0$ απο drtasos

Ναι. Σωστός.

Είναι μια από τις ταυτότητες υπό συνθήκη. Αν ${\alpha }^{3}+{\beta }^{3}+{\gamma }^{3}=3\alpha \beta \gamma$ , τότε $\alpha +\beta +\gamma =0$ ή $\alpha =\beta =\gamma$

Πολύ βασική.

jj! · 3 Αυγούστου 2012 στις 00:46

Μου θυμίσατε μία άσκηση που είχαμε λύσει στο σχολείο :hmm:

Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου - Άλγεβρα - Γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου (Άσκηση 11α, σελ. 118):
Να αποδείξετε ότι ${\left(\alpha - \beta \right)}^{2} + {\left( \beta - \gamma \right)}^{2} + {\left( \gamma - \alpha \right)}^{2} = 2\left({\alpha }^{2} + {\beta }^{2} + {\gamma }^{2} - \alpha \beta - \beta \gamma - \gamma \alpha \right)$

Ας τη λύσουμε

gregory nub · 3 Αυγούστου 2012 στις 01:09

Αρχική Δημοσίευση από jj!:
Μου θυμίσατε μία άσκηση που είχαμε λύσει στο σχολείο

Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου - Άλγεβρα - Γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου (Άσκηση 11α, σελ. 118):
Να αποδείξετε ότι ${\left(\alpha - \beta \right)}^{2} + {\left( \beta - \gamma \right)}^{2} + {\left( \gamma - \alpha \right)}^{2} = 2\left({\alpha }^{2} + {\beta }^{2} + {\gamma }^{2} - \alpha \beta - \beta \gamma - \gamma \alpha \right)$

Ας τη λύσουμε

Παίρνεις το δεξί μέλος, βγάζεις 1/2 έξω από την παρένθεση, και βγαίνουν οι ταυτότητες.

aggressive · 3 Αυγούστου 2012 στις 01:36

Αρχική Δημοσίευση από jj!:
Μου θυμίσατε μία άσκηση που είχαμε λύσει στο σχολείο

Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου - Άλγεβρα - Γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου (Άσκηση 11α, σελ. 118):
Να αποδείξετε ότι ${\left(\alpha - \beta \right)}^{2} + {\left( \beta - \gamma \right)}^{2} + {\left( \gamma - \alpha \right)}^{2} = 2\left({\alpha }^{2} + {\beta }^{2} + {\gamma }^{2} - \alpha \beta - \beta \gamma - \gamma \alpha \right)$

Ας τη λύσουμε

μμ...

εύκολη.

${\left(\alpha - \beta \right)}^{2} + {\left( \beta - \gamma \right)}^{2} + {\left( \gamma - \alpha \right)}^{2} = 2\left({\alpha }^{2} + {\beta }^{2} + {\gamma }^{2} - \alpha \beta - \beta \gamma - \gamma \alpha \right)$

Παίρνουμε το 2ο μέλος και κάνουμε πράξεις:

$2\left({\alpha }^{2} + {\beta }^{2} + {\gamma }^{2} - \alpha \beta - \beta \gamma - \gamma \alpha \right)=2{\alpha }^{2}+2{\beta }^{2}+2{\gamma }^{2}-2\alpha \beta -2\beta \gamma -2\gamma \alpha$

Σπάμε τους όρους:

${\alpha }^{2}+{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}+{\gamma }^{2}-2\alpha \beta -2\beta \gamma -2\gamma \alpha =({\alpha }^{2}-2\alpha \beta +{\beta }^{2})+({\beta }^{2}-2\beta \gamma +{\gamma }^{2})+({\gamma }^{2}-2\gamma \alpha +{\alpha }^{2})= {\left(\alpha - \beta \right)}^{2} + {\left( \beta - \gamma \right)}^{2} + {\left( \gamma - \alpha \right)}^{2}$

Έτσι, καταλήξαμε στο 1ο μέλος.

jj! · 3 Αυγούστου 2012 στις 02:18

Δεν είπα ότι είναι δύσκολη

Well done, Aggressive

Guest 018946 · 3 Αυγούστου 2012 στις 10:31

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Αν $x, y, z$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει $x+y+z=0$ να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}=\frac{x^{3}}{yz}+\frac{y^{3}}{zx}+\frac{z^{3}}{xy}$

Να βάλω και την δικη μου προσεγγιση :

Το πρώτο μέλος είναι ίσο με :
$A=\displaystyle{\frac{({x+y})^2-2xy}{x+y}+\frac{({z+y})^2-2zy}{z+y}+\frac{(x+z)^2-2zx}{z+x} \Leftrightarrow <br /> A=2(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}) \Leftrightarrow <br /> A=2(\frac{x^2y^2+z^2y^2+x^2z^2}{xyz})}$
Το δεύτερο μέλος ειναι ισο με :
$B=\displaystyle{\frac{(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+z^2y^2+x^2z^2)}{xyz}}$
Εξισώνω και έχω
$\displaystyle{(x^2+y^2+z^2)^2=4(x^2y^2+z^2y^2+x^2z^2)}$
Άπο την δοσμένη έχω $\displaystyle{(x^2+y^2+z^2)^2=4(x^2y^2+z^2y^2+x^2z^2)+8xyz(x+y+z) \Leftrightarrow <br /> (x^2+y^2+z^2)^2=4(x^2y^2+z^2y^2+x^2z^2)}$ Αρα απεδείχθη.

Guest 018946 · 3 Αυγούστου 2012 στις 10:40

Αποδειξτε οτι η παρασταση $A=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}$ ειναι τελειο τετράγωνο .

aggressive · 3 Αυγούστου 2012 στις 23:26

Βάλε μας την λύση σε spoiler, αν γίνεται.

nQvy · 7 Αυγούστου 2012 στις 16:35

Να λυθεί η εξίσωση ${\left( x+3\right)}^{8}=1296$

dimitris001 · 7 Αυγούστου 2012 στις 17:22

Αρχική Δημοσίευση από Sheldon:
Να λυθεί η εξίσωση ${\left( x+3\right)}^{8}=1296$

λοιπόν....δεν είμαι σίγουρος....
${\left( x+3\right)}^{8}=1296 \Leftrightarrow {\left( x+3\right)}^{8}=6^4 \Leftrightarrow$
$\sqrt[4]{{\left( x+3\right)}^{8}}=\sqrt[4]{{6}^{4}}\Leftrightarrow {\left( x+3\right)}^{2}=6\Leftrightarrow {\left( x+3\right)}^{2}={(\sqrt{6})}^{2}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow (x+3)=+/-\sqrt{6}$
άρα $x=-3+\sqrt{6}$
ή
$x=-3-\sqrt{6}$

Giannis721 · 7 Αυγούστου 2012 στις 17:29

Αρχική Δημοσίευση από Sheldon:
Να λυθεί η εξίσωση ${\left( x+3\right)}^{8}=1296$

Είναι $|x + 3| = \sqrt[8]{1296}$
Άρα $x =(\pm \sqrt{\sqrt{\sqrt{1296}}} )- 3 \Leftrightarrow x = (\pm \sqrt{\sqrt{36}}) - 3 \Leftrightarrow x =(\pm \sqrt{6} )- 3$

Giannis721 · 7 Αυγούστου 2012 στις 18:00

Αν για τους αριθμούς a και b ισχύει $a + b = 5$ και $a^2 + b^2=13$ να βρεθεί το άθροισμα $a^3 + b^3$

nQvy · 7 Αυγούστου 2012 στις 18:03

Σωστά, αλλά καλύτερα να αφήνατε κανέναν πιο μικρό να την λύσει, υποτίθεται ότι είναι για Α' λυκείου.

dimitris001 · 7 Αυγούστου 2012 στις 18:06

Αρχική Δημοσίευση από Giannis721:
Αν για τους αριθμούς a και b ισχύει $a + b = 5$ και $a^2 + b^2=13$ να βρεθεί το άθροισμα $a^3 + b^3$

35

Guest 018946 · 7 Αυγούστου 2012 στις 18:09

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
35

Αν και ευκολη υπαρχουν δυο τροποι ας τους δουμε ...

Giannis721 · 7 Αυγούστου 2012 στις 18:10

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
35

Προφανώς μας ενδιαφέρει και ο τρόπος λύσης

dimitris001 · 7 Αυγούστου 2012 στις 18:16

Αρχική Δημοσίευση από Giannis721:
Προφανώς μας ενδιαφέρει και ο τρόπος λύσης

καλα αφου θες και τροπο λύσης...
a+b=5 άρα b=5-a
${a}^{2}+{b}^{2}=13\Leftrightarrow {a}^{2}+{(5-a)}^{2}=13\Leftrightarrow {a}^{2}+25-10+{a}^{2}=13\Leftrightarrow {a}^{2}-5a+6=0$
οπότε απο διακρίνουσα a=2 ή a=3
όταν όμως α=2 τότε β=5-2=3
ή
οταν α=3 τότε β=2 άρα
(α,β)=(2,3) ή (α,β)=(3,2) και τελικά ${a}^{3}+{b}^{3}=35$

θες να το κάνω και με τον 2ο τρόπο....????

2ος ΤΡΟΠΟΣ
λοιπόν ισχύει

και

άρα

${a}^{3}+{b}^{3}=(a+b)({a}^{2}-ab+{b}^{2})=(a+b)[({a}^{2}+{b}^{2})-ab]=5[13-ab](1)$
όμως.....
${(a+b)}^{2}={(5)}^{2}\Leftrightarrow {a}^{2}+2ab+{b}^{2}=25\Leftrightarrow ({a}^{2}+{b}^{2})+2ab=25\Leftrightarrow 13+2ab=25\Leftrightarrow 2ab=12\Leftrightarrow ab=6$
οπότε η (1) γινεται ${a}^{3}+{b}^{3}=5[13-ab]=5[13-6]=35$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος