Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

vassilakos · 07-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
2ος ΤΡΟΠΟΣ
λοιπόν ισχύει

και

άρα

${a}^{3}+{b}^{3}=(a+b)({a}^{2}-ab+{b}^{2})=(a+b)[({a}^{2}+{b}^{2})-ab]=5[13-ab](1)$
όμως.....
${(a+b)}^{2}={(5)}^{2}\Leftrightarrow {a}^{2}+2ab+{b}^{2}=25\Leftrightarrow ({a}^{2}+{b}^{2})+2ab=25\Leftrightarrow 13+2ab=25\Leftrightarrow 2ab=12\Leftrightarrow ab=6$
οπότε η (1) γινεται ${a}^{3}+{b}^{3}=5[13-ab]=5[13-6]=35$

......Καλα ε....Μεσα στο μυαλό μου εισαι

....Αυτο πηγα να γραψω!!!!!

Guest 018946 · 07-08-12

Αφου μαζευτηκαν και τα μπιγκ μποιζ ριχνω κατι αναλογο :

Αν οι πραγματικοί αριθμοί $x,y,z$ είναι τέτοιοι ώστε $|x|\geq|y+z|,|y|\geq|z+x|,|z|\geq|x+y|,$
να δείξετε ότι $x+y+z=0.$

dimitris001 · 07-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Αφου μαζευτηκαν και τα μπιγκ μποιζ ριχνω κατι αναλογο :

Αν οι πραγματικοί αριθμοί $x,y,z$ είναι τέτοιοι ώστε $|x|\geq|y+z|,|y|\geq|z+x|,|z|\geq|x+y|,$
να δείξετε ότι $x+y+z=0.$

Λοιπόν απο τη στιγμή που εχουν απόλυτα μπορούμε να υψώσουμε στο τετράγωνο άρα
${x}^{2}\geq {y}^{2}+{z}^{2}+2yz(1)$
${y}^{2}\geq {z}^{2}+{x}^{2}+2zx(2)$
${z}^{2}\geq {x}^{2}+{y}^{2}+2xy(3)$
με πρόσθεση των (1),(2) και (3) έχουμε:
${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\geq {y}^{2}+{z}^{2}+{z}^{2}+{x}^{2}+{x}^{2}+{y}^{2}+2yz+2zx+2xy\Leftrightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+2yz+2zx+2xy\leq 0\Leftrightarrow {(x+y+z)}^{2}\leq 0$
άρα $x+y+z=0$

vassilakos · 07-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
Λοιπόν απο τη στιγμή που εχουν απόλυτα μπορούμε να υψώσουμε στο τετράγωνο άρα
${x}^{2}\geq {y}^{2}+{z}^{2}+2yz(1)$
${y}^{2}\geq {z}^{2}+{x}^{2}+2zx(2)$
${z}^{2}\geq {x}^{2}+{y}^{2}+2xy(3)$
με πρόσθεση των (1),(2) και (3) έχουμε:
${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\geq {y}^{2}+{z}^{2}+{z}^{2}+{x}^{2}+{x}^{2}+{y}^{2}+2yz+2zx+2xy\Leftrightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+2yz+2zx+2xy\leq 0\Leftrightarrow {(x+y+z)}^{2}\leq 0$
άρα $x+y+z=0$

Y.Γ: Εισαι γρηγορος......(χειρίζεσαι καλα το Latex!!!

)

dimitris001 · 07-08-12

Αρχική Δημοσίευση από vassilakos:
Y.Γ: Εισαι γρηγορος......(χειρίζεσαι καλα το Latex!!!)

ευχαριστώ

τα μαθηματικά τα ΛΑΡΕΥΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΥΓ. πάλι σε πρόλαβα...???

vassilakos · 07-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
ευχαριστώ
τα μαθηματικά τα ΛΑΡΕΥΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΥΓ. πάλι σε πρόλαβα...???

...Ναι....Δεν πειραζει ομως....!!!Παντως και εμενα μου αρεσουν πολυ...!!!! :redface:

akis95 · 07-08-12

Αν α,β,γ είναι διαφορετικοί απο 1 και -1 και $\chi =\gamma y+\beta \omega$
$y=\alpha \omega +\gamma \chi$ και
$\omega =\beta \chi +\alpha y$ να αποδείξετε οτι $\frac{\chi ^{2}}{1-\alpha ^{2}}=\frac{y^{2}}{1-\beta ^{2}}=\frac{\omega^{2} }{1-\gamma ^{2}}$

vassilakos · 07-08-12

Αρχική Δημοσίευση από akis95:
Αν α,β,γ είναι διαφορετικοί απο 1 και -1 και $\chi =\gamma y+\beta \omega$
$y=\alpha \omega +\gamma \chi$ και
$\omega =\beta \chi +\alpha y$ να αποδείξετε οτι $\frac{\chi ^{2}}{1-\alpha ^{2}}=\frac{y^{2}}{1-\beta ^{2}}=\frac{\omega^{2} }{1-\gamma ^{2}}$

Λοιπον....καλουλα...τολμω να πω!!!!Οριστε πως την ελυσα εγω:
=> Για $\chi =0,y=0,\omega = 0$ .....Η δοθεισα σχεση ισχυει καθως 0=0=0,και θα δειξω οτι υποχρεωτικα αν ενας τουλαχιστον απο τους χ,y,ω ειναι μηδεν τοτε και οι αλλοι ειναι επισης μηδεν
Εστω οτι χ=0 τοτε προκυπτει οτι
y=αω και οτι ω=αy....αρα κανοντας αντικατασταση θα πρωκυψει οτι ... $y=\alpha^2 y\Leftrightarrow y(1-\alpha ^2)=0\Leftrightarrow y=0......\eta ......1-\alpha ^2=0[\alpha \tau o\pi o]$ και αν y=0 τοτε και ω=0...Ομοιως και για y=0,ω=0.....Συνεπως, αν οποιοσδηποτε απο τους χ,y,ω ειναι μηδεν τοτε θα ειναι υποχρεωτικα και οι αλλοι δυο μηδεν....
=>Για $\chi ,y,\omega \neq 0$ ...... Εχουμε οτι
$\chi =\gamma y+\beta \omega......[1]$ .....
$y=\alpha \omega +\gamma \chi .......[2]$ ....και....
$\omega =\beta \chi +\alpha y.....[3]$
Αρα ξεκινώντας απο την [1] και αντικαθιστωντας την [2] εχουμε:
$\chi =\gamma y+\beta \omega=\gamma \left(\alpha \omega +\gamma \chi \right)+\beta \omega =\alpha \gamma \omega +\gamma ^2\chi +\beta \omega$ ........πολλαπλασιαζουμε με $\chi \neq 0$ ...οποτε προκυπτει
$\chi ^2=\chi \omega \beta +\alpha \gamma \chi \omega +\gamma ^2\chi ^2\Leftrightarrow \chi ^2(1-\gamma ^2)=\chi \omega \beta +\alpha \gamma \chi \omega$
$\chi ^2(1-\gamma ^2)=\chi \omega \beta +\alpha \gamma \chi \omega .......[4]$
και αντικαθιστώντας στην [3] την [2]...θα παρουμε:
$\omega =\beta \chi +\alpha y=\beta \chi +\alpha (\alpha \omega +\gamma \chi )=\beta \chi +\alpha ^2\omega +\alpha \gamma \chi$ ......πολλαπλασιαζουμε και εδω με $\omega \neq 0$ ...και θα προκυψει οτι:
$\omega^2 =\beta \omega \chi +\alpha ^2\omega^2 +\alpha \gamma \chi\omega \Leftrightarrow \omega ^2(1-\alpha^2)=\beta \omega \chi+\alpha \gamma \chi\omega$ ...Αρα
$\omega ^2(1-\alpha^2)=\beta \omega \chi+\alpha \gamma \chi\omega......[5]$
Οποτε πρεπει [4]=[5].....Αρα:
$\chi ^2(1-\gamma ^2)=\omega ^2(1-\alpha^2)\Leftrightarrow \frac{\chi ^2}{1-\alpha ^2}=\frac{\omega ^2}{1-\gamma ^2}$
Ομοιως αποδεικνυεται και για την υπολοιπη σχεση συνεπως ισχυει οτι αν α,β,γ είναι διαφορετικοί απο 1 και -1 και
$\chi =\gamma y+\beta \omega$
$y=\alpha \omega +\gamma \chi$ και
$\omega =\beta \chi +\alpha y$ τοτε
$\frac{\chi ^{2}}{1-\alpha ^{2}}=\frac{y^{2}}{1-\beta ^{2}}=\frac{\omega^{2} }{1-\gamma ^{2}}$

Αυτααααα.....απο εμενα....πιστευω σωστα την ελυσα!!!! :hmm:

Guest 018946 · 11-08-12

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{\alpha {x^2} + \beta x + \gamma = 0}$ με $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma \in R}$ με πραγματικές διαφορετικές ρίζες.
Αν ισχύει ότι $\displaystyle{\left| \alpha \right| > \left| {\alpha + \beta + \gamma } \right|}$ δείξτε ότι μία τουλάχιστον από τις ρίζες της βρίσκεται στο διάστημα $\displaystyle{\left( {0,2} \right)}$

nick18 · 12-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
καλα αφου θες και τροπο λύσης...
a+b=5 άρα b=5-a
${a}^{2}+{b}^{2}=13\Leftrightarrow {a}^{2}+{(5-a)}^{2}=13\Leftrightarrow {a}^{2}+25-10+{a}^{2}=13\Leftrightarrow {a}^{2}-5a+6=0$
οπότε απο διακρίνουσα a=2 ή a=3
όταν όμως α=2 τότε β=5-2=3
ή
οταν α=3 τότε β=2 άρα
(α,β)=(2,3) ή (α,β)=(3,2) και τελικά ${a}^{3}+{b}^{3}=35$

θες να το κάνω και με τον 2ο τρόπο....????

2ος ΤΡΟΠΟΣ
λοιπόν ισχύει

και

άρα

${a}^{3}+{b}^{3}=(a+b)({a}^{2}-ab+{b}^{2})=(a+b)[({a}^{2}+{b}^{2})-ab]=5[13-ab](1)$
όμως.....
${(a+b)}^{2}={(5)}^{2}\Leftrightarrow {a}^{2}+2ab+{b}^{2}=25\Leftrightarrow ({a}^{2}+{b}^{2})+2ab=25\Leftrightarrow 13+2ab=25\Leftrightarrow 2ab=12\Leftrightarrow ab=6$
οπότε η (1) γινεται ${a}^{3}+{b}^{3}=5[13-ab]=5[13-6]=35$

δημητρη μηπως αντι για διακρινουσσα μπορουμε να χρησιμοποιησουμε τους τυπους του βιετα?

Guest 018946 · 19-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{\alpha {x^2} + \beta x + \gamma = 0}$ με $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma \in R}$ με πραγματικές διαφορετικές ρίζες.
Αν ισχύει ότι $\displaystyle{\left| \alpha \right| > \left| {\alpha + \beta + \gamma } \right|}$ δείξτε ότι μία τουλάχιστον από τις ρίζες της βρίσκεται στο διάστημα $\displaystyle{\left( {0,2} \right)}$

Επαναφερω με ταυτοτητες

Δείξτε την συνεπαγωγη $\displaystyle{a+b+c+d=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab) $

aggressive · 22-08-12

Ας βάλω μια πολύ εύκολη άσκηση πάνω στις προόδους, να τις κάνετε εσείς μια επανάληψη και να τις εμπεδώσω εγώ.

Να βρείτε τον ${\alpha }_{14}$ μιας γεωμετρικής προόδου με ${\alpha }_{4}=125$ και ${\alpha }_{10}=\frac{125}{64}$ .

jj! · 23-08-12

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Ας βάλω μια πολύ εύκολη άσκηση πάνω στις προόδους, να τις κάνετε εσείς μια επανάληψη και να τις εμπεδώσω εγώ.

Να βρείτε τον ${\alpha }_{14}$ μιας γεωμετρικής προόδου με ${\alpha }_{4}=125$ και ${\alpha }_{10}=\frac{125}{64}$ .

Από πού έμαθες προόδους εσύ;

Δαλιδά · 23-08-12

Και την αλγεβρική και την γεωμετρική πρόοδο την μαθαίνετε στην Α λυκείου. Τώρα δεν ξέρω αν αλλάξανε τα πράματα :hmm:

Guest 018946 · 23 Αυγούστου 2012

Λοιπόν μπορεί να μην ξέρω τι μου γίνετε αλλά η aggressive δίνει πολλά λεφτά σε φροντιστήρια ή έχει καθηγητή στην οικογένεια.

jj! · 23-08-12

@Τσούφου: Δεν έχουμε πάει καν Α' λυκείου. Γι' αυτό την* ρώτησα.

*Τόσο καιρό νόμιζα ότι είναι αγόρι :look:

sydney96 · 23-08-12

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Ας βάλω μια πολύ εύκολη άσκηση πάνω στις προόδους, να τις κάνετε εσείς μια επανάληψη και να τις εμπεδώσω εγώ.

Να βρείτε τον ${\alpha }_{14}$ μιας γεωμετρικής προόδου με ${\alpha }_{4}=125$ και ${\alpha }_{10}=\frac{125}{64}$ .

Το χειρότερο κεφάλαιο με διαφορά φέτος.Μεγάλη η ανακούφιση όταν το τελειώσαμε.
Εσύ βρε που τα έμαθες αυτά;Κάτσε ασχολήσου με κανένα απόλυτο καλύτερα.

aggressive · 23-08-12

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Ας βάλω μια πολύ εύκολη άσκηση πάνω στις προόδους, να τις κάνετε εσείς μια επανάληψη και να τις εμπεδώσω εγώ.

Να βρείτε τον ${\alpha }_{14}$ μιας γεωμετρικής προόδου με ${\alpha }_{4}=125$ και ${\alpha }_{10}=\frac{125}{64}$ .

Η λύση στην άσκηση για όσους ενδιαφέρονται...

Δεδομένα και ζητούμενα: ${\alpha }_{4}=125$ , ${\alpha }_{10}=\frac{125}{64}$ , ${\alpha }_{14}=?$ , $\lambda =?$ , ${\alpha }_{1}=?$

$\left\{\begin{matrix}{\alpha }_{4}=125 & \\ {\alpha }_{4}={\lambda }^{3}*{\alpha }_{1} & \end{matrix}\right.\Rightarrow 125={\lambda }^{3}*{\alpha }_{1}$ ΚΑΙ

$\left\{\begin{matrix}{\alpha }_{10}=\frac{125}{64} & \\ {\alpha }_{10}={\lambda }^{9}*{\alpha }_{1} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{125}{64}={\lambda }^{9}*{\alpha }_{1}$

Διαιρούμε κατά μέλη...

$\left\{\begin{matrix}125={\lambda }^{3}*{\alpha }_{1} & \\ \frac{125}{64}={\lambda }^{9}*{\alpha }_{1} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{\frac{125}{64}}{125}=\frac{{\lambda }^{9}*{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{3}*{\alpha }_{1}}\Rightarrow {\lambda }^{6}=\frac{1}{64}\Rightarrow {\lambda }=\pm \frac{1}{2}$

$125={\lambda }^{3}*{\alpha }_{1}$ έχουμε 2 λύσεις.

1) Για $\lambda =\frac{1}{2}$ :

$125=\left( {\frac{1}{2}}\right)^{3}*{\alpha }_{1}\Rightarrow 125*8={\alpha }_{1}\Rightarrow {\alpha }_{1}=1000$

2) και για $\lambda =-\frac{1}{2}$ :

$125={\left( -\frac{1}{2}\right)}^{3}*{\alpha }_{1}\Rightarrow 125*\left( -8\right)={\alpha }_{1}\Rightarrow {\alpha }_{1}=-1000$

${\alpha }_{14}={\lambda }^{13}*{\alpha }_{1}$ , έχουμε 2 λύσεις.

1) Για $\lambda =\frac{1}{2}$ και ${\alpha }_{1}=1000$ :

${\alpha }_{14}= \left( {\frac{1}{2}}\right)^{13}*1000=\frac{125*8}{{2}^{13}}=\frac{125*{2}^{3}}{{2}^{13}}=125*{2}^{-10}=\frac{125}{1024}$

2) και για $\lambda =-\frac{1}{2}$ και ${\alpha }_{1}=-1000$ :

${\alpha }_{14}=\left( {-\frac{1}{2}}^{13}\right)*\left(-1000 \right)= \frac{125}{1024}$ βγαίνει το ίδιο.

aggressive · 24-08-12

Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος $\left( {\alpha }_{\nu }\right)$ της οποίας ο 7ος όρος είναι 9, ενώ το άθροισμα του 4ου και του 9ου είναι 16. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της.

Guest 018946 · 24-08-12

ε οι προοδοι ειναι γτπ βαλε κτ αλλο

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης