Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 11 Ιουλίου 2012 στις 13:43

Παιζει τιποτα καλοκαιρινο ;

nQvy · 30 Ιουλίου 2012 στις 11:00

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z ισχύει η σχέση ${\left(x+y+z \right)}^{2}=3({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})$

ν.δ.ο : $x=y=z$

Guest 018946 · 30 Ιουλίου 2012 στις 11:17

είναι ισοδυναμη με την

$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0 \Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2}{2}=0 \Leftrightarrow a=b=c$

Guest 018946 · 31 Ιουλίου 2012 στις 14:32

Τα τσακαλακια της Α να με ενημερωσουν αμα θελουν υλικο προς επιλυση .

Ομολογουμενως υπαρχει μπολικο .

jj! · 31 Ιουλίου 2012 στις 17:43

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Τα τσακαλακια της Α να με ενημερωσουν αμα θελουν υλικο προς επιλυση .

Ομολογουμενως υπαρχει μπολικο .

Κάτσε να αρχίσει η σχολική χρονιά και θα ανατρέχουμε εδώ για εξάσκηση

Τάσος97 · 1 Αυγούστου 2012 στις 16:53

βρε βαλτε καμμια ασκησουλα να ξεκινησουμε σιγα σιγα

Guest 018946 · 1 Αυγούστου 2012 στις 22:38

πειτε μου ύλη και θα εχετε ασκησουλες .

jj! · 1 Αυγούστου 2012 στις 22:42

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
πειτε μου ύλη και θα εχετε ασκησουλες .

Προφανώς, θα μας βάλεις ασκήσεις τις οποίες θα μπορεί να λύσει ένας απόφοιτος γυμνασίου

Guest 018946 · 1 Αυγούστου 2012 στις 22:45

Ο τασ μπορει να εχει προχωρησει στην υλη γιαυτο σε λεω ρε τζι

aggressive · 1 Αυγούστου 2012 στις 23:08

Βάλε... βάλε!

Όχι πολύ δύσκολες για αρχή.

jj! · 1 Αυγούστου 2012 στις 23:09

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Ο τασ μπορει να εχει προχωρησει στην υλη γιαυτο σε λεω ρε τζι

Σου το εγγυόμαι, δεν πρόκειται ούτε καν να είδε την ύλη της Α' λυκείου

Guest 018946 · 1 Αυγούστου 2012 στις 23:09

πειτε και σε τι θελετε να ειναι ρε γκαιζ , οχι μονο βαλε .

sydney96 · 1 Αυγούστου 2012 στις 23:19

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
πειτε και σε τι θελετε να ειναι ρε γκαιζ , οχι μονο βαλε .

Ε βάλε τώρα εσύ και αν δεν μπορούν να τη λύσουν θα σου πουν.

Guest 018946 · 1 Αυγούστου 2012 στις 23:23

Αν $x, y, z$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει $x+y+z=0$ να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}=\frac{x^{3}}{yz}+\frac{y^{3}}{zx}+\frac{z^{3}}{xy}$

aggressive · 1 Αυγούστου 2012 στις 23:25

Προβλέπω πρόβλημα με την latex....

Guest 018946 · 1 Αυγούστου 2012 στις 23:28

Αμα εχεις προμπ με το λατεκι λυστην στο χαρτι και σκαναρε την

OChemist · 2 Αυγούστου 2012 στις 04:03

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Αν $x, y, z$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει $x+y+z=0$ να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}=\frac{x^{3}}{yz}+\frac{y^{3}}{zx}+\frac{z^{3}}{xy}$

Εγω δεν ξερω αν επιτρεπεται αλλα την ελυσα....

....Βεβαια βρηκα εναν πολυ μακρυ δρομο (4 σελιδες!!!) και εναν συντομο τον οποιο και θα παραθεσω....(για οσους ενδιαφερονται!!!

)...

Λοιπον εχουμε οτι: $x+y+z=0....[1]$ οποτε ξεκινώντας απο το πρωτο μελος της προς αποδειξης εξισωσης θα καταληξουμε στο δευτερο... εχουμε: $\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{x^2+z^2}{x+z}$ ....ομως ισχυουν τα εξεις λογω της [1]
$x+y=-z$
$y+z=-x$
$x+z=-y$
Οποτε η αρχικη εξισωση γινεται:
$\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{x^2+z^2}{x+z}\Rightarrow \frac{-x^2-y^2}{z}+\frac{-y^2-z^2}{x}+\frac{-x^2-z^2}{y}$ ....που αν κανουμε ομωνυμα...:
$\frac{-x^2-y^2}{z}+\frac{-y^2-z^2}{x}+\frac{-x^2-z^2}{y}\Rightarrow \frac{xy(-x^2-y^2)+yz(-y^2-z^2)+xz(-x^2-z^2)}{xyz}$ .....και αν κανουμε τις επιμεριστικες:
$\frac{xy(-x^2-y^2)+yz(-y^2-z^2)+xz(-x^2-z^2)}{xyz}\Rightarrow \frac{-x^3y-xy^3-y^3z-yz^3-x^3z-xz^3}{xyz}$ ...και βγαζοντας κοινους ανα δυο και σπαζοντας το κλασμα σε επιμερους:
$\frac{-x^3y-xy^3-y^3z-yz^3-x^3z-xz^3}{xyz}\Rightarrow \frac{-x^3(y+z)}{xyz}+\frac{-y^3(x+z)}{xyz}+\frac{-z^3(y+x)}{xyz}$ .....και χρησιμοποιώντας ξανα τις συνεπειες της [1] και κανοντας τις απαραίτητες απλοποιησεις προκυπτει οτι...:
$\frac{-x^3(-x)}{xyz}+\frac{-y^3(-y)}{xyz}+\frac{-z^3(-z)}{xyz}\Rightarrow\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}$
Συνοψίζοντας, αν x,y,z μη μηδενικοι αριθμοι που ανηκουν στο R με $x+y+z=0$ τοτε ισχυει και οτι $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}=\frac{x^{3}}{yz}+\frac{y^{3}}{zx}+\frac{z^{3}}{xy}$

sydney96 · 2 Αυγούστου 2012 στις 15:24

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Αν $x, y, z$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει $x+y+z=0$ να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}=\frac{x^{3}}{yz}+\frac{y^{3}}{zx}+\frac{z^{3}}{xy}$

Θα βάλω κι εγώ τη δική μου

$\frac{{x}^{2} + {y}^{2}}{-z} + \frac{{y}^{2} + {z}^{2}}{-x} + \frac{{z}^{2} + {x}^{2}}{-y} = \frac{{x}^{3}}{zy} + \frac{{y}^{3}}{zx} + \frac{{z}^{3}}{xy} \Leftrightarrow -xy\left({x}^{2} + {y}^{2} \right) -zy\left({y}^{2} + {z}^{2} \right) -zx\left({z}^{2} + {x}^{2} \right) = {x}^{4} + {y}^{4} + {z}^{4} \Leftrightarrow -{x}^{3}y -{y}^{3}x -{y}^{3}z -{z}^{3}y -{z}^{3}x -{x}^{3}z = {x}^{4} + {y}^{4} + {z}^{4} \Leftrightarrow-{x}^{3} \left(y + z \right) -{y}^{3}\left(x + z \right) -{z}^{3}\left(y + x \right) = {x}^{4} + {y}^{4} + {z}^{4} \Leftrightarrow -{x}^{3}\left(-x \right) -{y}^{3}\left(-y \right) -{z}^{3}\left(-z \right) = {x}^{4} + {y}^{4} + {z}^{4}$ που ισχύει

aggressive · 2 Αυγούστου 2012 στις 16:52

Ας βάλω και εγώ μία ευκολούτσικη... απλά για να δοκιμάσω να γράψω με LaTeX... Καλή η άσκηση του dr.tasos.^

Αν $\alpha +\beta +\gamma =0$ , να αποδειχθεί ότι:

α) ${(\alpha }+\beta)}^{2} + {(\beta +\gamma)}^{2} + {(\gamma +\alpha)}^{2}= {\alpha }^{2} + {\beta }^{2} + {\gamma }^{2}$ και

β) $\frac{{\alpha }^{4}}{{\beta }^{3}+{\gamma }^{3}-3\alpha \beta \gamma } + \frac{{\beta }^{4}}{{\gamma }^{3}+{\alpha }^{3}-3\alpha \beta \gamma }+ \frac{{\gamma }^{4}}{{\alpha }^{3}+{\beta }^{3}-3\alpha \beta \gamma }=0$

sydney96 · 2 Αυγούστου 2012 στις 17:04

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Ας βάλω και εγώ μία ευκολούτσικη... απλά για να δοκιμάσω να γράψω με LaTeX... Καλή η άσκηση του dr.tasos.^

Αν $\alpha +\beta +\gamma =0$ , να αποδειχθεί ότι:

α) ${(\alpha }+\beta)}^{2} + {(\beta +\gamma)}^{2} + {(\gamma +\alpha)}^{2}= {\alpha }^{2} + {\beta }^{2} + {\gamma }^{2}$ και

β) $\frac{{\alpha }^{4}}{{\beta }^{3}+{\gamma }^{3}-3\alpha \beta \gamma } + \frac{{\beta }^{4}}{{\gamma }^{3}+{\alpha }^{3}-3\alpha \beta \gamma }+ \frac{{\gamma }^{4}}{{\alpha }^{3}+{\beta }^{3}-3\alpha \beta \gamma }=0$

Πω κι εγώ έχω πρόβλημα με αυτό το Latex.Το προηγούμενο που έγραψα ήταν η πρώτη μου απόπειρα.Δεν το είχα ξαναχρησιμοποιήσει αν και το είχα παλέψει πολλές φορές στο παρελθόν και δεν τα κατάφερνα.Μου πήρε κάνα μισάωρο για να γράψω τις σειρούλες που είδες.

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος