Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Shadowfax · 25-10-09

Αρχική Δημοσίευση από georg13pao:
Άρτια είναι όταν έχει το x'x άξονα συμμετρίας

Έλα, σταμάτα τώρα. Δες τι λες.

georg13pao · 25-10-09

y'y εννοούσα

το διορθωσα.

djimmakos · 25-10-09

Bασικά, τώρα που το ξανασκέφτηκα δίκιο έχει ο george13pao. Η γωνία -π/4 δεν ανήκει στο [π,2π] αλλά στο [-π,0] γιατί είμαστε στον άξονα x'x και όχι στον τριγωνομετρικό κύκλο... :oops:

Οπότε κάνουμε την αλλαγή..Στον πρώτο κλάδο βάζουμε x Ε [-π,0] και στο δέυτερο x E [π,0] και καθαρίσαμε :p

manos66 · 26-10-09

Αρχική Δημοσίευση από Evris7:
Ουσιαστικά η γωνία -(π/4) είναι η 7π/4. Τώρα το κατάλαβες;

Οι γωνίες -π/4 και 7π/4 μπορεί να αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο στον τριγωνομετρικό κύκλο, μπορεί να έχουν όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ίσους, όμως δεν είναι ίσες.

Zorc · 26-10-09

Αλλη μια: ${log}_{3}({16}^{x}-2*{12}^{x})\leq 2x-1$ να λυσετε την ανισωση.
κ να βρειτε το αθροισμα: $1+2*2+3*{2}^{2}+4*{2}^{3}+5*{2}^{4}+6*{2}^{5}+...+100*{2}^{99}$

coheNakatos · 27-10-09

Αρχική Δημοσίευση από Zorc:
Αλλη μια: ${log}_{3}({16}^{x}-2*{12}^{x})leq 2x-1$ να λυσετε την ανισωση.
κ να βρειτε το αθροισμα: $1+2*2+3*{2}^{2}+4*{2}^{3}+5*{2}^{4}+6*{2}^{5}+...+100*{2}^{99}$

${log}_{3}({16}^{x}-2*{12}^{x})\leq 2x-1 \Leftrightarrow{log}_{3}({16}^{x}-2*{12}^{x})\leq {log}_{3} {(3)}^{2x-1} \Leftrightarrow {4}^{2x}-2{(3)}^{x}{4}^{x}\leq \frac{{3}^{2x}}{3} \Leftrightarrow 3{(\frac{4}{3})}^{2x}-6{(\frac{4}{3})}^{x}-1 \leq 0 \Leftrightarrow ....$

ειμαι και νυσταγμενος αν εχω κανει κανα λαθος στις πραξεις συγχωρεστε με ..

Zorc · 27-10-09

Σωστο αρκει να παρεις και τους περιορισμους που ισχυουν. coheNakatos θα ηταν καλυτερα να αφηναμε τα παιδια της Β' να τα λυνουν.

djimmakos · 28-10-09

Αρχική Δημοσίευση από Valandil:
Αρχίζω με μία που βρήκα πριν λίγο:

Να δείξετε ότι:
$eta mu alpha - sigma nu nu alpha =sqrt{2}eta mu (alpha-frac{pi }{4})$

Και μια χαζή λύση

$\eta \mu \alpha -\sigma \upsilon \nu \alpha =\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\eta \mu \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sigma \upsilon \nu \alpha )=\sqrt{2}(\eta \mu \alpha \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4}-\eta \mu \frac{\pi }{4}\sigma \upsilon \nu \alpha )=\sqrt{2}\eta \mu (\alpha -\frac{\pi }{4})$

Σ' αυτήν την παρατήρηση στηρίχτηκε και η ανάπτυξη της μεθόδου μετασχηματισμού της f(x)=αημχ+βσυνχ

13diagoras · 30-10-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Και μια χαζή λύση

$eta mu alpha -sigma upsilon nu alpha =sqrt{2}(frac{sqrt{2}}{2}eta mu alpha -frac{sqrt{2}}{2}sigma upsilon nu alpha )=sqrt{2}(eta mu alpha sigma upsilon nu frac{pi }{4}-eta mu frac{pi }{4}sigma upsilon nu alpha )=sqrt{2}eta mu (alpha -frac{pi }{4})$

Σ' αυτήν την παρατήρηση στηρίχτηκε και η ανάπτυξη της μεθόδου μετασχηματισμού της f(x)=αημχ+βσυνχ

1.γιατι την λες χαζη????εγω παντως πιστευω το ακρως αντιθετο...

2.η λυση αυτη παρατεθηκε στην αρχη απο την vanandil(ας με συγχωρεσει αν το γραφω λανθασμενα)

Valandil · 30-10-09

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
1.γιατι την λες χαζη????εγω παντως πιστευω το ακρως αντιθετο...

2.η λυση αυτη παρατεθηκε στην αρχη απο την vanandil(ας με συγχωρεσει αν το γραφω λανθασμενα)

Όχι και την,είπαμε

13diagoras · 31-10-09

Αρχική Δημοσίευση από Valandil:
Όχι και την,είπαμε

την χρηστη εννοουσα αλλα δεν το καταλαβες.....σεεεεεε παρακαλω παρα πολυ.....

rebel · 29 Οκτωβρίου 2010

Αρχική Δημοσίευση από Zorc:
Αλλη μια: ${log}_{3}({16}^{x}-2*{12}^{x})\leq 2x-1$ να λυσετε την ανισωση.
κ να βρειτε το αθροισμα: $1+2*2+3*{2}^{2}+4*{2}^{3}+5*{2}^{4}+6*{2}^{5}+...+100*{2}^{99}$

Για την 2η:
Έστω $S=1+2*2^{1}+3*{2}^{2}+4*{2}^{3}+5*{2}^{4}+6*{2}^{5}+...+100*{2}^{99}\qquad (1)$
Τότε $2S=2^{1}+2*2^{2}+3*{2}^{3}+4*{2}^{4}+5*{2}^{5}+6*{2}^{6}+...+99*{2}^{99}+100*2^{100}\qquad (2)$
Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει:
$-S=1+(2*2^{1}-1*2^{1})+(3*{2}^{2}-2*2^{2})+(4*2^{3}-3*{2}^{3})+\ldots+(100*{2}^{99}-99*{2}^{99})-100*2^{100}\Leftrightarrow -S= 1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{99}-100*2^{100}\Leftrightarrow -S=\frac{2^{100}-1}{2-1}-100*2^{100}=-99*2^{100}-1\Leftrightarrow S=99*2^{100}+1$

vavlas · 23 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
$\sqrt{x^2-7ax+10a^2}-\sqrt{x^2+ax-6a^2}=x-2a\qquad (1)$
Για $x=2a$ η (1) αληθεύει για κάθε $a\in \mathbb{R}$
Για $x \neq 2a$ :

Πολ/ζω την (1) με $\sqrt{x^2-7ax+10a^2}+\sqrt{x^2+ax-6a^2}$ και έχω
$16a^2-8ax=(x-2a)\left(\sqrt{x^2-7ax+10a^2}+\sqrt{x^2+ax-6a^2}\right) \Leftrightarrow -8a(x-2a)=(x-2a)\left(\sqrt{x^2-7ax+10a^2}+\sqrt{x^2+ax-6a^2}\right) \Leftrightarrow -8a=\sqrt{x^2-7ax+10a^2}+\sqrt{x^2+ax-6a^2}\qquad (2)$
Για $a \leq 0$ (λόγω της (2)):
Προσθέτουμε (1) και (2) κατά μέλη και έχουμε $2\left(\sqrt{x^2-7ax+10a^2}\right)=x-10a$
Yψώνουμε στο τετράγωνο και παίρνουμε $3x^2-8ax-60a^2=0$ απ΄ όπου παίρνουμε τις λύσεις $-\frac{10a}{3},6a$ οι οποίες επαληθεύουν την (1)
Άρα τελικά οι λύσεις της (1) είναι: $2a,-\frac{10a}{3},6a$ για $a \leq 0$ και $2a$ για

Μπορούσες να παρατηρήσεις ότι
$x^2 - 7ax + 10a^2 =(x-2a)(x-5a),\,x^2 + ax - 6a^2 =(x-2a)(x+3a)$

Ορίστε μια ακόμα.
Να λύσετε την εξίσωση.
$ \eta\mu 8x + \sigma \upsilon \nu 8x = \sqrt 2 \eta \mu 13x $

Ορίστε μια ζόρικη.

Να λυθεί η εξίσωση.
$ \sqrt {x^2 - 7ax + 10a^2 } - \sqrt {x^2 + ax - 6a^2 } = x - 2a }$

rebel · 23 Αυγούστου 2011

$\sqrt{x^2-7ax+10a^2}-\sqrt{x^2+ax-6a^2}=x-2a\qquad (1)$
Για $x=2a$ η (1) αληθεύει για κάθε $a\in \mathbb{R}$
Για $x \neq 2a$ :

Πολ/ζω την (1) με $\sqrt{x^2-7ax+10a^2}+\sqrt{x^2+ax-6a^2}$ και έχω
$16a^2-8ax=(x-2a)\left(\sqrt{x^2-7ax+10a^2}+\sqrt{x^2+ax-6a^2}\right) \Leftrightarrow -8a(x-2a)=(x-2a)\left(\sqrt{x^2-7ax+10a^2}+\sqrt{x^2+ax-6a^2}\right) \Leftrightarrow -8a=\sqrt{x^2-7ax+10a^2}+\sqrt{x^2+ax-6a^2}\qquad (2)$
Για $a \leq 0$ (λόγω της (2)):
Προσθέτουμε (1) και (2) κατά μέλη και έχουμε $2\left(\sqrt{x^2-7ax+10a^2}\right)=x-10a$
Yψώνουμε στο τετράγωνο και παίρνουμε $3x^2-8ax-60a^2=0$ απ΄ όπου παίρνουμε τις λύσεις $-\frac{10a}{3},6a$ οι οποίες επαληθεύουν την (1)
Άρα τελικά οι λύσεις της (1) είναι: $2a,-\frac{10a}{3},6a$ για $a \leq 0$ και $2a$ για $a > 0$

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Μπορούσες να παρατηρήσεις ότι
$x^2 - 7ax + 10a^2 =(x-2a)(x-5a),\,x^2 + ax - 6a^2 =(x-2a)(x+3a)$

Μετά χρειάζεται πάλι να πολλαπλασιάσεις με συζυγή παράσταση; Μπορείς να γράψεις την λύση περιληπτικά; :hmm:

Άκυρο το βρήκα :redface:

.

Μετά πάρτε κι αυτήν
Να απλοποιηθεί η παράσταση $cos\frac{a}{2}cos\frac{a}{4}\ldots cos\frac{a}{2^n}\qquad n>1$
* cos=συν

red span · 02-11-10

γνωριζουμε οτι sin2x=2sincos cos=sin2x/2 με αυτον τον τυπο πιστευω θα δουλεψουμε

Αντώνης · 07-01-11

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλάσιων τόξων, είναι εκτός ύλης, πάντως.

Dias · 07-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Αντώνης:
Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλάσιων τόξων, είναι εκτός ύλης, πάντως.

Έλεος!!!! Πέρυσι ήταν στην ύλη. Το βγάλανε? Η πλάκα είναι ότι στη Γ λυκείου χρειάζεται!!! Ξανά έλεος!!!

νατ · 09-01-11

μπορει κανεις να βοηθησει στην παρακατω ασκηση;;;;;;;;;;
δινεται το πολυωνυμο f(x)=(2λ-κ)x²+(κ²+λ²)χ+10 που εχει ριζα το 2.
α.να βρειτε τις τιμες των πραγματικων αριθμων κ,λ
β.να βρειτε την αλλη ρίζα του f(x)

toi_toi · 09-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Miss Daisy:
μπορει κανεις να βοηθησει στην παρακατω ασκηση;;;;;;;;;;
δινεται το πολυωνυμο f(x)=(2λ-κ)x²+(κ²+λ²)χ+10 που εχει ριζα το 2.
α.να βρειτε τις τιμες των πραγματικων αριθμων κ,λ
β.να βρειτε την αλλη ρίζα του f(x)

α)
f(2)=0 <=>
(2λ-κ)4 + (κ²+λ²)2 +10 = 0 <=>
8λ - 4κ +2κ² + 2λ² +10 =0 <=>
4λ - 2κ + κ² + λ² + 5 = 0 <=>
(κ² -2κ +1) + (λ² +4λ +4) =0 <=>
(κ-1)² + (λ+2)² = 0 <=>
κ=1 και λ=-2

β) f(x)=(-4-1)x² + (1+4)x +10 = -5x²+5x +10
κανεις διακρινουσα κ βρισκεις τις ριζες

vavlas · 09-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Miss Daisy:
μπορει κανεις να βοηθησει στην παρακατω ασκηση;;;;;;;;;;
δινεται το πολυωνυμο f(x)=(2λ-κ)x²+(κ²+λ²)χ+10 που εχει ριζα το 2.
α.να βρειτε τις τιμες των πραγματικων αριθμων κ,λ
β.να βρειτε την αλλη ρίζα του f(x)

i) f(2)=0....(λ+2)²+(κ-1)²=0 λ=-2,κ=1
ii)f(x)=-5x²+5x+10
-5x²+5x+10=0...x=2,x=-1

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος