Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 22 Ιουλίου 2011 στις 22:47

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
χμμμ ας βάλω και εγώ μια άσκηση που προέκυψε από τον τρόπο που έλυσα μια άλλη άσκηση..
εντάξει, μπορεί να λυθεί σε 2 σειρές

αν a $\geq$ b και a,b Ε $R$ νδο ${a}^{a} \geq {b}^{b}$

Για βάλε α=1/e και b=1/(2e). Είναι α>b>0 και α^α<b^b. Υπάρχει λάθος.

Guest 278211 · 22 Ιουλίου 2011 στις 22:55

Να κοιτάξω ένα λεπτό την άσκηση μήπως ξέχασα και κάτι ακόμα...

αααα πάλι μισή είναι :fool:

α>1 και β>1 συγνώμη...

Dmitsos · 22 Ιουλίου 2011 στις 23:22

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
Να κοιτάξω ένα λεπτό την άσκηση μήπως ξέχασα και κάτι ακόμα...

αααα πάλι μισή είναι α>1 και β>1 συγνώμη...

$a^a\geq b^b\Leftrightarrow a^b\cdot a^{a-b}\geq b^b\Leftrightarrow (\frac{a}{b})^b\cdot a^{a-b}\geq 1$

το οποιο ισχυει αφου $\frac{a}{b}\geq 1$ και a-b>0, α>1, αρα $a^{a-b}\geq1$ . H ισοτητα ισχυει οτι α=β

Guest 278211 · 23 Ιουλίου 2011 στις 11:59

@ Dmitsos :

γράφω και άλλη μια λύση:

1. έστω ότι α=β => ${a}^{a} = {b}^{b}$

2. έστω ότι $1 \prec a \prec b \left( 1 \right) \Rightarrow \ln 1 \prec \ln a \prec \ln b \left(2 \right)$ όλα θετικά άρα
$\left(1 \right) * \left(2 \right) \Rightarrow 1 \ln1 \prec a \ln a \prec b \ln b \Rightarrow \ln 1 \prec ln {a}^{a} \prec \ln {b}^{b} \Rightarrow {a}^{a} \prec {b}^{b}$

Dmitsos · 23 Ιουλίου 2011 στις 13:18

Σωστή η λύση σου, απλώς αυτό που έχουμε ισχύει και για αριθμούς μικρότερους του 1 (για την ακρίβεια από το 1/e και πάνω). Απλώς μας "περιορίζει" η εκφώνηση. Make a little kinky και κάντο

"Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους για α>=β ισχύει αυτό που λέμε"

red span · 30 Ιουλίου 2011 στις 13:18

Μια ασκηση για τους μαθητες,επαναληπτικη στις συναρτησεις
Εστω η συνάρτηση f : R-->R για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει
fof(x)=x για καθε χ Ε R
Να αποδειχθεί ότι
1)η f είναι συνάρτηση 1-1
2)η f έχει σύνολο τιμών το R
3)Η εξισωση f(x)=2011 έχει ακριβώς μια ρίζα η οποία να βρεθεί
4)f^-1(x)=f(x) για καθε x e R
5)Αν η f περριτη τοτε και η f^-1 είναι περριτή
6)αν η συνάρτηση g(x)=e^f(x)+e^x για καθε χ ε R ειναι συνάρτηση 1-1 τότε είναι f(x)=x για καθε x ε R
Νομιζω πως ειναι μια καλή άσκηση για επανάληψη στις συναρτήσεις
(Απο τα γραφομενα του Κωστα Γκατζουλη)
Φιλικα Χαρης

Guest 278211 · 30 Ιουλίου 2011 στις 15:51

ευχαριστώ για την άσκηση, και είχα όρεξη για συναρτήσεις τώρα!!!

1) ${f(x)} \epsilon {R}$ για κάθε ${x} \epsilon {R}$ (αφού f(x): R --> R)
έστω ${x}_{1} , {x}_{2} \epsilon {R}$ και ${f({x}_{1})} = {f({x}_{2})} \Rightarrow {fof({x}_{1})} = {fof({x}_{2})} \Rightarrow {x}_{1} = {x}_{2}$ άρα η f είναι 1-1.

2) έστω f(x)=y, ${y} \epsilon {f(R)} \subseteq {R}$ (1)
f(y)=x => y=f^-1(x) (αφού f 1-1) => ${R} \subseteq {f(R)}$ (2) (αφού f^-1: f(R)-->R)
από (1) και (2) => ${f(R)} = {R}$

3) η f είναι 1-1 άρα f(x)=2011 έχει ακριβώς μια ρίζα.
f(x)=2011 => fof(x)=f(2011) => x=f(2011)

4) f(f(x))=x , όλα $\epsilon {R}$ άρα f^-1(fof(x))=f^-1(x) => f(x)=f^-1(x)

5) αν η f είναι περιττή, τότε ισχύει: -f(x)=f(-x) ή f(x) = -f(-x)
f^-1(x)=f(x)=-f(-x)=-f^-1(-x) δηλαδή -f^-1(x)=f^-1(-x) άρα είναι και η f^-1 περιττή

6) δεν έχω λύσει ακόμα το ερώτημα αυτό :redface:

qwerty111 · 30 Ιουλίου 2011 στις 17:38

6.
g(x)=e^f(x)+e^x, xεR
Θέτω όπου χ το f(x) και παίρνω: g(f(x))=e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)=g(x),xεR
Δηλαδή g(f(x))=g(x) και επειδή η g είναι 1-1, f(x)=x, xεR

Ωραίο ερώτημα. Δεν θυμάμαι να έχω δει παρόμοιο.

Guest 278211 · 30 Ιουλίου 2011 στις 17:42

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
6.
g(x)=e^f(x)+e^x, xεR
Θέτω όπου χ το g(x) και παίρνω: g(f(x))=e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)=g(x),xεR
Δηλαδή g(f(x))=g(x) και επειδή η g είναι 1-1, f(x)=x, xεR

Ωραία άσκηση. Δεν θυμάμαι να έχω δει παρόμοια.

καλά λες!!! πωωωωω δεν το σκέφτηκα αυτό!!!! :redface:

red span · 30 Ιουλίου 2011 στις 21:04

Guest 278211,qwerty13 ευχαριστω πολυ για την ενασχοληση με την ασκηση
Λιγο διαφορετικες προσσεγισεις σε καποια ερωτηματα
2) για να αποδειξω οτι η f εχει συνολο τιμων ενα συνολο Β αρκει να δειξω οτι υπαρχει μοναδικο χ ε Α τετοιο ωστε f(x)=y συνθετοντας ,με f(x)
εχω f(f(x))=f(y) και απο την υποθεση x=f(y) ,αρα επειδη η εξισωση y=f(x) εχει λυση για οποιαδξποτε τιμη του y το συνολο τιμων της f ειναι το R
Παντως με αρεσε και η προσεγγιση του Guest 278211
5)f(f^-1(x))=x (1)
Θετω οπου χ το -χ f(f^-1(-x))=-x
λογω της 1 f(f^-1(-x))=-f(f^-1(x)(αφου η f περριτη)
f(f^-1(x))=f(-f^-1(x))
η f ειναι ''1-1''
f^-1(x)=-f^-1(x)
Αρα η f^-1 περριτη

Dmitsos · 30 Ιουλίου 2011 στις 22:06

Έχοντας αποδείξει ότι η αντίστροφη συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R, μπορούμε εύκολα να βρούμε τον τύπο της χωρίς το βοηθητικό ερώτημα ως εξής

$fof(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(fof(x))=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow y=x\Leftrightarrow f(x)=x$

Οι ισοδυναμίες ισχύουν λόγω του χαρακτηρισμού ως 1-1 της αντίστροφης. Σορρυ αν μου ξεφεύγει κάτι, έχω να πιάσω μαθηματικα από το Μάιο.

Να κάνω μια tricky ερώτηση;

Αν μια συνάρτηση είναι 1-1, είναι και η αντίστροφή της 1-1;

red span · 31 Ιουλίου 2011 στις 03:48

Αρχική Δημοσίευση από Dmitsos:
Έχοντας αποδείξει ότι η αντίστροφη συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R, μπορούμε εύκολα να βρούμε τον τύπο της χωρίς το βοηθητικό ερώτημα ως εξής

$fof(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(fof(x))=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow y=x\Leftrightarrow f(x)=x$

Οι ισοδυναμίες ισχύουν λόγω του χαρακτηρισμού ως 1-1 της αντίστροφης. Σορρυ αν μου ξεφεύγει κάτι, έχω να πιάσω μαθηματικα από το Μάιο.

Να κάνω μια tricky ερώτηση;

Αν μια συνάρτηση είναι 1-1, είναι και η αντίστροφή της 1-1;

Αν η f :A-->R ειναι ''1-1'' τότε η αντίστροφη της f^-1:f(A)--->R ειναι μοναδικη και ''1-1''
Εχω μια γεωμετρικη αποδειξη,αλλα νομιζω βγαινει με την κοινη λογικη
Φιλικα Χαρης

exc · 31 Ιουλίου 2011 στις 05:41

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
6.
g(x)=e^f(x)+e^x, xεR
Θέτω όπου χ το f(x) και παίρνω: g(f(x))=e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)=g(x),xεR
Δηλαδή g(f(x))=g(x) και επειδή η g είναι 1-1, f(x)=x, xεR

Ωραίο ερώτημα. Δεν θυμάμαι να έχω δει παρόμοιο.

Έχεις κάνει ένα σοβαρό λάθος. Μπορείς να βάλεις στη θέση του χ το f(x) ως μία άλλη μεταβλητή, αλλά δεν μπορείς να θεωρήσεις δεδομένο ότι ισχύει f(x)=x (αυτό ζητείται να αποδείξεις) και συνεπώς η ισότητα «e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)» η οποία έγραψες δεν ισχύει.

Με την προϋπόθεση, ότι θα χρησιμοποιήσεις το στοιχείο ότι η g(x) είναι 1-1 και συνεπώς από την εξίσωση που σου δίνει ( g(x)=e^f(x)+e^x) συμπεραίνεις ότι και η f(x) είναι 1-1, σωστή απάντηση είναι η παρακάτω:

Αρχική Δημοσίευση από Dmitsos:
$fof(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(fof(x))=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow y=x\Leftrightarrow f(x)=x$

Η οποία καλύτερα θα ήταν να γραφεί διαφορετικά ως εξής:
Ισχύει f(f(x))=χ.
Επειδή f είναι 1-1, ισχύει και f(f^-1(x))=x.
Επομένως ισχύει ότι: f(f^-1(x))=f(f(x)), από εδώ επειδή η f είναι 1-1 ισχύει: f^-1(x)=f(x) και επομένως f(x)=x.

vassilis498 · 31 Ιουλίου 2011 στις 06:08

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Έχεις κάνει ένα σοβαρό λάθος. Μπορείς να βάλεις στη θέση του χ το f(x) ως μία άλλη μεταβλητή, αλλά δεν μπορείς να θεωρήσεις δεδομένο ότι ισχύει f(x)=x (αυτό ζητείται να αποδείξεις) και συνεπώς η ισότητα «e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)» η οποία έγραψες δεν ισχύει.

Με την προϋπόθεση, ότι θα χρησιμοποιήσεις το στοιχείο ότι η g(x) είναι 1-1 και συνεπώς από την εξίσωση που σου δίνει ( g(x)=e^f(x)+e^x) συμπεραίνεις ότι και η f(x) είναι 1-1, σωστή απάντηση είναι η παρακάτω:

Η οποία καλύτερα θα ήταν να γραφεί διαφορετικά ως εξής:
Ισχύει f(f(x))=χ.
Επειδή f είναι 1-1, ισχύει και f(f^-1(x))=x.
Επομένως ισχύει ότι: f(f^-1(x))=f(f(x)), από εδώ επειδή η f είναι 1-1 ισχύει: f^-1(x)=f(x) και επομένως f(x)=x.

δε νομίζω ότι κάνει κάτι λάθος η ιδιότητα που εκμεταλλεύεται είναι το fof(x)=x ( το οποίο δίνεται ) και όχι το f(x)=x
από την άλλη δεν καταλαβαίνω πώς προκύπτει το bold.

Guest 278211 · 31 Ιουλίου 2011 στις 10:45

@ red span:

(είμαι η Guest 278211

)
@ exc: Γνωρίζουμε πως η g είναι 1-1, οπότε δεν υπάρχει λάθος

Γενικά: Το 6ο ερώτημα χρειάζεται για να απαντήσουμε ότι f(x)=x, διαφορετικά δεν αποδεικνύεται. Για παράδειγμα, αν fof(x)=x μπορεί f(x)=-x.

Dmitsos · 31 Ιουλίου 2011 στις 13:43

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Αν η f :A-->R ειναι ''1-1'' τότε η αντίστροφη της f^-1:f(A)--->R ειναι μοναδικη και ''1-1''
Εχω μια γεωμετρικη αποδειξη,αλλα νομιζω βγαινει με την κοινη λογικη
Φιλικα Χαρης

Aχ πόσο μ' αρέσει αυτό που θα κάνω τώρα

'Εχουμε f: A -> B.

A= {1,2,3}
f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3.
B= {1,2,3,4}={f(1),f(2),f(3),4}

Όλα τα στοιχεία του Α αντιστοιχίζονται σε κάτι του Β, όμως δεν αντιστοιχίζοντα όλα του Β σε κάτι του Α, οπότε η έννοια της αντίστροφης δεν ισχύει στην περίπτωση αυτή!

Κάπου υπάρχει μια λεπτή διαφορά...και κάνει τη διαφορά

Guest 278211 · 31 Ιουλίου 2011 στις 14:01

Αρχική Δημοσίευση από Dmitsos:
Αν μια συνάρτηση είναι 1-1, είναι και η αντίστροφή της 1-1;

Ναι. Αν η Df=A τότε η f και η f^-1 είναι 1-1 για κάθε ${x} \epsilon {A}\bigcap {f(A)}$

red span · 31 Ιουλίου 2011 στις 14:05

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
Ναι. Αν η Df=A τότε η f και η f^-1 είναι 1-1 για κάθε ${x} \epsilon {A}\bigcap {f(A)}$

Και εγω αυτο,λεω αλλα ο μιτσος δεν συμφωνει
Ας μας διαφωτισει κανενας μαθηματικος

Dmitsos · 31 Ιουλίου 2011 στις 14:19

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
Ναι. Αν η Df=A τότε η f και η f^-1 είναι 1-1 για κάθε ${x} \epsilon {A}\bigcap {f(A)}$

Εγώ δε μίλησα πουθενά για χ μέσα στο σύνολο τιμών της f, εδώ υπάρχει η διαφορά.

dark_knight · 31 Ιουλίου 2011 στις 14:33

Αρχική Δημοσίευση από dmitsos:
Εγώ δε μίλησα πουθενά για χ μέσα στο σύνολο τιμών της f, εδώ υπάρχει η διαφορά.

Δεν μίλησες γενικώς για χ. Ρώτησες "Αν μια συνάρτηση είναι 1-1 είναι και η αντίστροφή της 1-1;" και η απάντηση είναι ένα ξερό ναι. Προφανώς είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, το οποίο εν γένει μπορεί να μην ταυτίζεται με το R, αλλά κάθε φορά που αναφέρουμε μια ιδιότητα για μια συνάρτηση φ δεν χρειάζεται να επαναλαμβάνουμε "στο πεδίο ορισμού της". Επομένως οι απαντήσεις που δόθηκαν ήταν απόλυτα σωστές (αν και δεν αιτιολογήθηκαν επαρκώς). Μάλιστα ο Χάρης ανέφερε και ότι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το f(Α).

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος