Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Dmitsos]

Η πιο σωστή απάντηση (και το ξέρεις πιστεύω) είναι ότι αν μια συνάρτηση είναι 1-1 απλά, δεν ξέρουμε καν αν είναι αντιστρέψιμη.
Σκέψου το εξής. Μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει το 1 στο 1, το 2 στο 2 και το 3 στο 3. Το 1, 2, 3 όμως (οι τιμές της f) ανήκουν στο σύνολο Β={1,2,3,4}. Aπό το Α στο Β ορίζεται η συνάρτηση f και είναι 1-1, αφού για διαφορετικά χ έχουμε διαφορετικά y. Από το Β στο Α όμως δεν ορίζεται καν συνάρτηση αφού το 4 μένει ξεκρέμαστο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 278211]

Εγώ δε μίλησα πουθενά για χ μέσα στο σύνολο τιμών της f, εδώ υπάρχει η διαφορά.

Ναι. Το πεδίο ορισμού είναι αυτό που κάνει τη διαφορά. Εξαρτάται από το σύνολο στο οποίο αναφερόμαστε.

Για παράδειγμα:

Αν και η , αντιστρέφεται στο πεδίο ορισμού της, η δεν αντιστρέφεται στο πεδίο ορισμού της.
Όταν όμως μιλάμε για το [0, + άπειρο) και οι 2 αντιστρέφονται.

υγ: πως είναι το άπειρο στη latex;

Συμπλήρωση: Η ερώτηση νομίζω δεν ήταν ακριβής. Το αν αντιστρέφεται μια συνάρτηση, εξαρτάται από το ΠΟΥ θέλεις να αντιστρέφεται.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vassilis498]

Aχ πόσο μ' αρέσει αυτό που θα κάνω τώρα

'Εχουμε f: A -> B.

A= {1,2,3}
f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3.
B= {1,2,3,4}={f(1),f(2),f(3),4}

Όλα τα στοιχεία του Α αντιστοιχίζονται σε κάτι του Β, όμως δεν αντιστοιχίζοντα όλα του Β σε κάτι του Α, οπότε η έννοια της αντίστροφης δεν ισχύει στην περίπτωση αυτή!

Κάπου υπάρχει μια λεπτή διαφορά...και κάνει τη διαφορά

όταν δίνουμε f:A-->B δεν σημαίνει απαραίτητα ότι το B είναι σύνολο τιμών, απλά ότι

αν Α={1,2,3} και ισχύει f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3 τότε έχω f(A)={1,2,3}

άρα αντίστοιχα και το πεδίο ορισμού / σύνολο τιμών της αντίστροφης θα είναι το {1,2.3}

το 4 πού κολλάει;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[qwerty111]

Μια ασκηση για τους μαθητες,επαναληπτικη στις συναρτησεις
Εστω η συνάρτηση f : R-->R για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει
fof(x)=x για καθε χ Ε R
Να αποδειχθεί ότι
1)η f είναι συνάρτηση 1-1
2)η f έχει σύνολο τιμών το R
3)Η εξισωση f(x)=2011 έχει ακριβώς μια ρίζα η οποία να βρεθεί
4)f^-1(x)=f(x) για καθε x e R
5)Αν η f περριτη τοτε και η f^-1 είναι περριτή
6)αν η συνάρτηση g(x)=e^f(x)+e^x για καθε χ ε R ειναι συνάρτηση 1-1 τότε είναι f(x)=x για καθε x ε R
Νομιζω πως ειναι μια καλή άσκηση για επανάληψη στις συναρτήσεις
(Απο τα γραφομενα του Κωστα Γκατζουλη)
Φιλικα Χαρης

Τώρα που ξαναβλέπω την άσκηση, στο 6 χρειάζεται να εξετάσουμε αν για f(x)=x
i) ισχύει fof(x)=x
ii) η g(x) είναι 1-1 ;
Ρωτάω διότι ο Στεργίου αναφέρει ότι είναι απαραίτητη η επαλήθευση όταν βρίσκουμε συνάρτηση μέσα από συναρτησιακή σχέση.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

Τώρα που ξαναβλέπω την άσκηση, στο 6 χρειάζεται να εξετάσουμε αν για f(x)=x
i) ισχύει fof(x)=x
ii) η g(x) είναι 1-1 ;
Ρωτάω διότι ο Στεργίου αναφέρει ότι είναι απαραίτητη η επαλήθευση όταν βρίσκουμε συνάρτηση μέσα από συναρτησιακή σχέση.

Μονο οταν χρησιμοποεις συνεπαγωγες ειναι απαραιτητη η επαληθευση

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[qwerty111]

Όταν θέσαμε όπου χ το f(x), ουσιαστικά δε χρησιμοποιήσαμε συνεπαγωγή;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vassilis498]

Όταν θέσαμε όπου χ το f(x), ουσιαστικά δε χρησιμοποιήσαμε συναπαγωγή;

όχι γιατί μετά μπορείς να θέσεις όπου χ την αντίστροφη και να επανέλθεις

η άσκηση γράφεται κανονικά και αντίστροφα

f(x)=x
g(f(x))=g(x)
e^f(f(x)) + e^f(x) = e^f(x) + e^x
e^x + e^f(x) = e^f(x) + e^x
0 = 0

βέβαια και με συνεπαγωγές να το πας δεν καταλαβαίνω γιατί θέλει επαλήθευση από τη στιγμή που δεν έχεις κάνει κάποιο λάθος τα ίδια τα δεδομένα του προβλήματος σε οδηγούν στο αποτέλεσμα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[qwerty111]

Πάντως έχω κάνει άσκηση με συναρτησιασκή σχέση που είχε χ και y και έβγαιναν δύο συναρτήσεις. Με επαλήθευση όμως απέρριπτες τη μία.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vassilis498]

Πάντως έχω κάνει άσκηση με συναρτησιασκή σχέση που είχε χ και y και έβγαιναν δύο συναρτήσεις. Με επαλήθευση όμως απέρριπτες τη μία.

Α, αν έχεις παραπάνω από μια περίπτωση τότε ίσως ναι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[qwerty111]

Και γιατί να μην το γενικεύσουμε ότι όταν ζητείται η εύρεση συνάρτησης, κάνουμε πάντα επαλήθευση; Δύο λεπτά δουλειάς είναι. Πάντως, ο Στεργίου σε όλες αυτές τις ασκήσεις αφού βρίσκει τη συνάρτηση, αναφέρει ότι είναι δεκτή λόγω επαλήθευσης.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

Και γιατί να μην το γενικεύσουμε ότι όταν ζητείται η εύρεση συνάρτησης, κάνουμε πάντα επαλήθευση; Δύο λεπτά δουλειάς είναι. Πάντως, ο Στεργίου σε όλες αυτές τις ασκήσεις αφού βρίσκει τη συνάρτηση, αναφέρει ότι είναι δεκτή λόγω επαλήθευσης.

Σε λεω μονο οταν χρησιμοπουμε συνεπαγωγες χρειαζετε επαληθευση.Εσυ παλι για γενικευση με λες!
Και αν πεσει κατι τετοιο στις πανελληνιες η επαληθευση πιανει μολις 1 μοριο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[g1wrg0s]

πρεπει να προσεχει καποιος πριν χρησιμοποιήσει διπλη συνεπαγωγη.Δυστυχως στα Μαθ. του σχολειου τα περισσοτερα παιδια μαθαινουν να την χρησιμοποιουν αβερτα και να μην εχουνε καταλαβει την διαφορα της με την μονη συνεπαγωγη.Οντως σε ολα τα βοηθηματα λεει οτι χρειαζεται επαληθευση αλλα δν θυμαμαι αν αυτοι χρησιμοποιουν μονη ή διπλη... red span νομιζω οτι αν το κανεις στις πανελληνιες και ειναι σωστο τοτε δεν προσφερει μονο ενα μοριο, δειχνει στον καθηγητη οτι ξερεις και αυτο ειναι αβανταζ για τις επομενες ασκησεις...Δυστυχως ομως μαθαινουμε μαθηματικα για πανελληνιες...(δεν αναφερομαι σε σενα red span)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[qwerty111]

Γενικά ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[g1wrg0s]

Γενικά ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία;

Αυτο απο που ειναι; πως τα ανβαζεις ρε με αυτον τον τροπο;Εννοω ετσι τους μαθηματικους τυπους κ.α . Εμενα μου βγαινει η πιστη να γραψω εδω μια λυση

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[qwerty111]

Πηγαίνεις στις περισσότερες επιλογές μορφοποίησης και στη συνέχεια στη σύνταξη κώδικα Latex. Αφού τελειώσεις, πατάς το εικονίδιο που μοιάζει με δύο κρίκους και βάζεις ενδιάμεσα το κώδικα λατεχ. Τέλος, αντικαθιστάς το CODE στις αγκύλες με LATEX

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[dark_knight]

Γενικά ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία;

Αν στις σχέσεις αυτές εννοείς , τότε ναι προφανώς και ισχύει.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

Αν στις σχέσεις αυτές εννοείς , τότε ναι προφανώς και ισχύει.

Θα μας πεις την γνωμη σου για την επαληθευση στις συναρτησιακες σχεσεις?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[qwerty111]

Ρίξτε μια ματιά στην παρακάτω άσκηση:
https://imageshack.us/photo/my-images/200/part1cf.jpg/
https://imageshack.us/photo/my-images/221/part2pgh.jpg/

Πιστεύω ότι η επαλήθευση σε αυτή την περίπτωση δεν είναι απαραίτητη. Εσείς τι λέτε;

p.s. Αχ αυτές οι ισοδυναμίες και οι συνεπαγωγές. Πόσο με έχουν παιδέψει και πόσο θα με παιδέψουν ακόμη...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[dark_knight]

Ρίξτε μια ματιά στην παρακάτω άσκηση:
https://imageshack.us/photo/my-images/200/part1cf.jpg/
https://imageshack.us/photo/my-images/221/part2pgh.jpg/

Πιστεύω ότι η επαλήθευση σε αυτή την περίπτωση δεν είναι απαραίτητη. Εσείς τι λέτε;

p.s. Αχ αυτές οι ισοδυναμίες και οι συνεπαγωγές. Πόσο με έχουν παιδέψει και πόσο θα με παιδέψουν ακόμη...

Εδώ χάθηκε η ισοδυναμία στο βήμα που πολλαπλασίασε τις σχέσεις (1) και (2).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[qwerty111]

Ααα, δηλαδή για να μην κάναμε επαλήθευση θα έπρεπε να είχαμε ισοδυναμίες και στο α ερώτημα, σωστά;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.