Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

jimmy007 · 2009-11-14T17:01:52+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Δεν την εχω κοιταξει πολυ αλλα τι εννοεις εκει στο οριο με το =|<0 ?!

Ότι το όριο αυτό είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. Το l ένας απλός συμβολισμός είναι.

H άσκηση λύνεται και χωρίς αυτό το όριο. Ίσως βέβαια μερικούς τους βοηθήσει..

coheNakatos · 2009-11-14T17:11:00+0200

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Ότι το όριο αυτό είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. Το l ένας απλός συμβολισμός είναι.

H άσκηση λύνεται και χωρίς αυτό το όριο. Ίσως βέβαια μερικούς τους βοηθήσει..

ηταν σαν καθετος γιαυτο ρε

jimmy007 · 2009-11-14T17:22:44+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
ηταν σαν καθετος γιαυτο ρε

Ναι το κατάλαβα...

ahvasilhs · 2009-11-14T17:46:59+0200

το i^4/2 ΕΙΝΑΙ ακεραιος εκθετης...
-----------------------------------------
νομιζω ειναι λαθος το βημα απο το 4ο μερος στο 5ο διοτι πρεπει να κανεις (i^4)^1/2 , το οποιο δεν οριζεται γιατι ο εκθετης πρεπει να ειναι ακεραιος...

coheNakatos · 2009-11-14T17:48:29+0200

Δεν εχω κανει πολυ απο παραγωγους αλλα μεχρι αυτα που εχω κανει μπορω να σου οτι η f ειναι γν.φθινουσα , f([a,b])=[a,b] και καποια αλλα ακομα πραγματα δεν ξερω βεβαια αν βοηθανε..

jimmy007 · 2009-11-14T19:05:22+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Δεν εχω κανει πολυ απο παραγωγους αλλα μεχρι αυτα που εχω κανει μπορω να σου οτι η f ειναι γν.φθινουσα , f([a,b])=[a,b] και καποια αλλα ακομα πραγματα δεν ξερω βεβαια αν βοηθανε..

Δεν χρειάζεσαι κάτι άλλο απο παραγώγους...
Βοηθάνε αυτά...

Δεν έχει βρει κανένας τίποτα??

protodesmitis · 2009-11-18T12:46:23+0200

Γεια σας. Θα ήθελα να ρωτήσω ποιες από τις Γενικές Ασκήσεις των μιγαδικών στις σελίδες 123-124 του σχολικού βιβλίου είναι στην ύλη. Ευχαριστώ.

coheNakatos · 2009-11-19T19:53:28+0200

Παρτε 2 καλες

Θεμα 1ο
g:R->R συνεχης και γν.αυξουσα

$g(g(x))=x-4$ και $g(1)=3$ , $g(2)=4$
Nδο
1)η g αντιστρεφεται και ${g}^{-1}(x)=g(x)+4$
2)Αν $z\in C$ και $|z+4i|=2$ να βρεθουν η μεγιστη και η ελαχιστη τιμη του $|z-3|$
3)Θεωρουμε τη συναρτηση :
$f(x)=|z-3|x+{g}^{-1}(x)-14$ , δειξτε οτι η $f(x)=0$ εχει μια τουλαχιστον ριζα στο $[1,2]$
4)Νδο η γραφικη παρασταση την ${g}^{-1}$ εχει ενα μονο κοινο σημειο με την ευθεια $y=-4x+12$ στο $(1,2)$

Θεμα 2ο
Εστω ${z}_{1}$ , ${z}_{2} \in C$ με ${z}_{1}=a+bi$ , ${z}_{2}=a+ci$ με $b<c$ και $a\neq 0$ για τους οποιους ισχυει :
$|{z}_{1}+{z}_{2}|=|{z}_{1}-{z}_{2}|$
Eπισης θεωρουμε συναρτηση f με πεδιο ορισμου και συνολο τιμων το $[b,c]$ συνεχης και γν.αυξουσα

Δειξτε οτι :
α) ${a}^{2}+bc=0$
b) Η εξισωση : $\frac{x+f(b)}{x-b}+\frac{x+f(c)}{x-c}=-3$ εχει ακριβως 2 ριζες στο $(b,c)$
γ) $\lim_{x->+oo}=\frac{b{x}^{3}+c{x}^{2}+\eta \mu \frac{c}{x}}{c{x}^{2}}=-oo$

Good luck

jimmy007 · 2009-11-19T21:37:43+0200

Kαι άλλη μία
αν f(x)+f(x)(στην τρίτη)=x(στην 5η) +x+1, x Ε R
να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.

Sorry που δεν ξέρω να γράφω με σύμβολα στο pc..

coheNakatos · 2009-11-19T22:04:39+0200

ειναι σιγουρα 2 ισοτητες εκει ή πηγες να γραψεις ισον ?

jimmy007 · 2009-11-19T22:16:52+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
ειναι σιγουρα 2 ισοτητες εκει ή πηγες να γραψεις ισον ?

Την διόρθωσα

Metal-Militiaman · 2009-11-19T23:50:57+0200

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Kαι άλλη μία
αν f(x)+{f}^{3}(x)={x}^{5} +x+1, x E R
να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.

Sorry που δεν ξέρω να γράφω με σύμβολα στο pc..

Η λύση βρίσκεται παρακάτω.

ledzeppelinick · 2009-11-20T00:01:41+0200

Έστω ${x}_{0}\in R$ τότε :
$f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0})={{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1\Leftrightarrow f(x)+{f}^{3}(x)-(f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0})={x}^{5} +x+1-({{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1)\Leftrightarrow [{f}^{3}(x)-{f}^{3}({x}_{0})]+[f(x)-f({x}_{0})]=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})\Leftrightarrow (f(x)-f({x}_{0}))({f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0}))+1))=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})\Leftrightarrow (f(x)-f({x}_{0}))=\frac{(x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$

Διότι για την εξίσωση ${f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1=0$ είναι $\Delta ={f}^{2}({x}_{0})-4({f}^{2}({x}_{0})+1)=-(3{f}^{2}({x}_{0})+4)<0$ .

Οπότε $\left| f(x)-f({x}_{0})\right|=\frac{\left| x-{x}_{0}\right|\left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}\right|}{\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1)\right|}$

Όμως $\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+f(x)-f({x}_{0})\right|$
-----------------------------------------
Μάλλον έτσι ήθελες να τα γράψεις.. στο τέλος τι εννοείς?

coheNakatos · 2009-11-20T00:24:33+0200

ριξτε μια ματια μια σελιδα πισω στις 2 ασκησεις που εδωσα αξιζουν

Metal-Militiaman · 2009-11-20T00:55:15+0200

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Kαι άλλη μία
αν f(x)+f(x)(στην τρίτη)=x(στην 5η) +x+1, x Ε R
να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.

Sorry που δεν ξέρω να γράφω με σύμβολα στο pc..

$f(x)+{f}^{3}(x)={x}^{5} +x+1$ , για κάθε $x\in R$

Έστω ${x}_{0}\in R$ τότε :

$f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0})={{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1$

$(f(x)+{f}^{3}(x))-(f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0}))=({x}^{5} +x+1)-({{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow [{f}^{3}(x)-{f}^{3}({x}_{0})]+[f(x)-f({x}_{0})]=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (f(x)-f({x}_{0}))({f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1))=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(x)-f({x}_{0})=\frac{(x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$ $\mathbf{(1)}$

Διότι για την εξίσωση ${f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1=0$

είναι

$\Delta ={f}^{2}({x}_{0})-4({f}^{2}({x}_{0})+1)=-(3{f}^{2}({x}_{0})+4)<0 .$

Οπότε $\left| f(x)-f({x}_{0})\right|=\frac{\left| x-{x}_{0}\right|\left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}\right|}{\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 \right|}$

Όμως

$\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 \right|\geq \left|\left|{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0}) \right|-\left|1 \right| \right|\geq \left|0-1 \right|\geq 1$

Άρα

$\left| f(x)-f({x}_{0})\right|=\frac{\left| x-{x}_{0}\right|\left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}\right|}{\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 \right|}\leq \left| x-{x}_{0}\right|\left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}\right|$

$\Leftrightarrow-(x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})\leq f(x)-f({x}_{0})\leq ( x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})$

$\lim_{x\rightarrow{x}_{0} }( x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})=$
$({x}_{0}-{x}_{0})({{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4})=0$

και

$\lim_{x\rightarrow{x}_{0} }-( x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})=$
$-({x}_{0}-{x}_{0})({{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4})=0$

Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε $\lim_{x\rightarrow{x}_{0} }f(x)-f({x}_{0})=0$

$\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow{x}_{0} }f(x)=f({x}_{0})$ .
Επομένως $f$ συνεχής στο $R$

extra:
Η f είναι και συνεχής και παραγωγίσιμη δίοτι από την $\mathbf{(1)}$ για τυχαίο ${x}_{0}\in R$ παίρνουμε:

$\Leftrightarrow \frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=\frac{{x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$ , $x\neq {x}_{0}$

$\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{{x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}=\frac{5{{x}_{0}}^4}{3{f}^{2}({x}_{0})+1}$

${f} '({x}_{0})=\frac{5{{x}_{0}}^4}{3{f}^{2}({x}_{0})+1}$

δηλαδή ${f} '(x)=\frac{5{x}^4}{3{f}^{2}(x)+1}$

(ledzeppelinick πάτησα κατά λάθος ''καταχώρηση απάντησης'' γι 'αυτό εμφανίστηκε αυτό το χάος.)

metalmaniac · 2009-11-20T13:19:15+0200

Εστω lim(f(2x)-f(x))/x)=λ ανήκει R το χ τείνει στο ο
Αν η φ είναι παραγωγίσιμη στο 0 δείξτε οτι f'(0)=λ

jimmy007 · 2009-11-20T15:11:29+0200

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
$f(x)+{f}^{3}(x)={x}^{5} +x+1$ , για κάθε $xin R$

Έστω ${x}_{0}in R$ τότε :

$f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0})={{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1$

$(f(x)+{f}^{3}(x))-(f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0}))=({x}^{5} +x+1)-({{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1)Leftrightarrow$

$Leftrightarrow [{f}^{3}(x)-{f}^{3}({x}_{0})]+[f(x)-f({x}_{0})]=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (f(x)-f({x}_{0}))({f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1))=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})Leftrightarrow$

$Leftrightarrow f(x)-f({x}_{0})=frac{(x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$ $mathbf{(1)}$

Διότι για την εξίσωση ${f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1=0$

είναι

$Delta ={f}^{2}({x}_{0})-4({f}^{2}({x}_{0})+1)=-(3{f}^{2}({x}_{0})+4)<0 .$

Οπότε $left| f(x)-f({x}_{0})right|=frac{left| x-{x}_{0}right|left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}right|}{left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 right|}$

Όμως

$left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 right|geq left|left|{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0}) right|-left|1 right| right|geq left|0-1 right|geq 1$

Άρα

$left| f(x)-f({x}_{0})right|=frac{left| x-{x}_{0}right|left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}right|}{left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 right|}leq left| x-{x}_{0}right|left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}right|$

$Leftrightarrow-(x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})leq f(x)-f({x}_{0})leq ( x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})$

$lim_{xrightarrow{x}_{0} }( x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})=$
$({x}_{0}-{x}_{0})({{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4})=0$

και

$lim_{xrightarrow{x}_{0} }-( x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})=$
$-({x}_{0}-{x}_{0})({{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4})=0$

Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε $lim_{xrightarrow{x}_{0} }f(x)-f({x}_{0})=0$

$Leftrightarrow lim_{xrightarrow{x}_{0} }f(x)=f({x}_{0})$ .
Επομένως $f$ συνεχής στο $R$

extra:
Η f είναι και συνεχής και παραγωγίσιμη δίοτι από την $mathbf{(1)}$ για τυχαίο ${x}_{0}in R$ παίρνουμε:

$Leftrightarrow frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=frac{{x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$ , $xneq {x}_{0}$

$Leftrightarrow lim_{xrightarrow {x}_{0}}frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=lim_{xrightarrow {x}_{0}}frac{{x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}=frac{5{{x}_{0}}^4}{3{f}^{2}({x}_{0})+1}$

${f} '({x}_{0})=frac{5{{x}_{0}}^4}{3{f}^{2}({x}_{0})+1}$

δηλαδή ${f} '(x)=frac{5{x}^4}{3{f}^{2}(x)+1}$

(ledzeppelinick πάτησα κατά λάθος ''καταχώρηση απάντησης'' γι 'αυτό εμφανίστηκε αυτό το χάος.)

Σωστός. Εγώ βέβαια διαφορετικά την έλυσα...Έθεσα νέα συνάρτηση g(x) το πρώτο μέλος της δοσμένης ισότητας και λόγο συνέχειας κατέληξα στο ίδιο..

protodesmitis · 2009-11-20T19:13:06+0200

Δε γνωρίζει κανείς ποιες από τις Γενικές Ασκήσεις των μιγαδικών του σχολικού είναι εκτός ύλης;

blacksheep · 2009-11-20T20:04:59+0200

εσυ δεν μπορεις να καταλαβεις ποιες αναφερονται στο ορισμα κτλπ:what:?μονο η 8 ειναι εκτος.

coheNakatos · 2009-11-21T18:32:53+0200

Ανοιγω το θεμα για να βαλουν οσοι θελουν τα διαγωνισματα που εχουν γραψει ως τωρα ευκολα ή δυσκολα ειναι εξασκηση για τους υπολοιπους

Ευχαριστω

και ξεκιναω με το δικο μου : βαζω τα 2 θεματα

Θεμα 1ο
g:R->R συνεχης και γν.αυξουσα

και

,

Nδο
1)η g αντιστρεφεται και

2)Αν

και

να βρεθουν η μεγιστη και η ελαχιστη τιμη του

3)Θεωρουμε τη συναρτηση :

, δειξτε οτι η

εχει μια τουλαχιστον ριζα στο

4)Νδο η γραφικη παρασταση την

εχει ενα μονο κοινο σημειο με την ευθεια

στο

Θεμα 2ο
Εστω

,

με

,

με

και

για τους οποιους ισχυει :

Eπισης θεωρουμε συναρτηση f με πεδιο ορισμου και συνολο τιμων το

συνεχης και γν.αυξουσα

Δειξτε οτι :
α)

b) Η εξισωση :

$eqlatex5Cfrac7Bxf28b297D7Bxb7D5Cfrac7Bxf-1.gif$

εχει ακριβως 2 ριζες στο

γ)

$eqlatex5Clim_7Bx3Eoo7D5Cfrac7Bb7Bx7D5E7B-1.gif$

Θα σας παρακαλουσα να μην βαζετε τις λυσεις χωρις spoiler για οσους δεν ξερουν "Στην αρχη γραφεις [.spoiler.] και στο τελος του κειμενου [/spoiler.](χωρις τις τελιες)

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος