Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

vaggelis1984 · 13-11-09

σωστά
(αν και αυτό μου θυμίζει κάτι...

)

ΦΑΤΣΟΥΛΑ42570 · 13-11-09

Τι σου θυμίζει;

manos66 · 13-11-09

Θα βρειτε ενα τεστ σωστου-λαθους στους μιγαδικους
εδώ.

riemann80 · 13-11-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Επιλέγουμε τυχαία την σταθερά $alpha =frac{1}{2}$ οπότε $f(x)=f(frac{x}{2})$ και θέτουμε διαδοχικά όπου $x$ το $frac{x}{2}$

$begin{matrix}f(x)=f(frac{x}{2}) f(frac{x}{2})=f(frac{x}{{2}^{2}}) f(frac{x}{{2}^{2}})=f(frac{x}{{2}^{3}}) ... f(frac{x}{{2}^{n-1}})=f(frac{x}{{2}^{n}})end{matrix}$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη:

$f(x)cdot f(frac{x}{2})cdot f(frac{x}{{2}^{2}})cdot...cdot f(frac{x}{{2}^{n-1}})=f(frac{x}{2})cdot f(frac{x}{{2}^{2}})cdot f(frac{x}{{2}^{3}})cdot...cdot f(frac{x}{{2}^{n}})$

$Rightarrow f(x)=f(frac{x}{{2}^{n}})$

$lim_{nrightarrow propto }f(x)=lim_{nrightarrow propto }f(frac{x}{{2}^{n}})$

$Rightarrow f(x)=lim_{nrightarrow propto }f(frac{x}{{2}^{n}})=f(0)$

$f(x)=f(0)$ για κάθε $xin R$ .Επομένως f σταθερή.

Ωραία άσκηση!!!

σωστο,αλλα γιατι βαζεις α=1/2? αν την γραψεις ετσι ειναι λαθος ενω εχεις κανει το σωστο κολπο.απλως καν το για το τυχαιο 0<α<1.και επισης που χρησιμοποιησες τη συνεχεις της f?

Metal-Militiaman · 13-11-09

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
εστω f συνεχης συναρτηση απ το R στο R και 0<α<1.αν f(ax)=f(x) ,για καθε x στο R δειξε οτι η f ειναι σταθερη.

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
σωστο,αλλα γιατι βαζεις α=1/2? αν την γραψεις ετσι ειναι λαθος ενω εχεις κανει το σωστο κολπο.απλως καν το για το τυχαιο 0<α<1.και επισης που χρησιμοποιησες τη συνεχεις της f?

$f(x)=f(\alpha x)$ αντικαθιστούμε διαδοχικά όπου $x$ το $\alpha x$

Οπότε

$\begin{matrix}f(x)=f(\alpha x)\\f(\alpha x)=f({\alpha}^{2}x)\\f({\alpha}^{2}x)=f({\alpha}^{3}x)\\ ...\\f({\alpha}^{n-1}x)=f({\alpha}^{n}x)\end{matrix}$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη:

$f(x)\cdot f(\alpha x)\cdot f({\alpha }^{2}x)\cdot...\cdot f({\alpha }^{n-1}x)=f(\alpha x)\cdot f({\alpha }^{2}x)\cdot f({\alpha }^{3}x)\cdot...\cdot f({\alpha }^{n}x)$

$\Rightarrow f(x)=f({\alpha }^{n}x)$

$\lim_{n\rightarrow +\propto }f(x)=\lim_{n\rightarrow +\propto }f({\alpha }^{n}x)$

Θέτουμε στο δεύτερο μέλος $y=\alpha x$ τότε για $n\rightarrow +\propto$ $y\rightarrow 0 \:$ και επειδή $f$ συνεχής:

$\Rightarrow f(x)=\lim_{y\rightarrow 0 }f(y)=f(0)$

$f(x)=f(0)$ για κάθε $x\in R$ .Επομένως $f$ σταθερή.

Πιστεύω πως τώρα είναι ολοκληρωμένη.

coheNakatos · 14-11-09

ε ενταξει δεν ηταν δυσκολο

jimmy007 · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
$f(x)=f(alpha x)$ αντικαθιστούμε διαδοχικά όπου $x$ το $alpha x$

Οπότε

$begin{matrix}f(x)=f(alpha x)\f(alpha x)=f({alpha}^{2}x)\f({alpha}^{2}x)=f({alpha}^{3}x)\ ...\f({alpha}^{n-1}x)=f({alpha}^{n}x)end{matrix}$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη:

$f(x)cdot f(alpha x)cdot f({alpha }^{2}x)cdot...cdot f({alpha }^{n-1}x)=f(alpha x)cdot f({alpha }^{2}x)cdot f({alpha }^{3}x)cdot...cdot f({alpha }^{n}x)$

$Rightarrow f(x)=f({alpha }^{n}x)$

$lim_{nrightarrow +propto }f(x)=lim_{nrightarrow +propto }f({alpha }^{n}x)$

Θέτουμε στο δεύτερο μέλος $y=alpha x$ τότε για $nrightarrow +propto$ $yrightarrow 0 :$ και επειδή $f$ συνεχής:

$Rightarrow f(x)=lim_{yrightarrow 0 }f(y)=f(0)$

$f(x)=f(0)$ για κάθε $xin R$ .Επομένως $f$ σταθερή.

Πιστεύω πως τώρα είναι ολοκληρωμένη.

Eκεί που πας από μια ισότητα σε ισότητα ορίων υπάρχει λάθος. Δεν προκύπτει αναγκαστικά ισότητα ορίων από μια τέτοια σχέση.

jimmy007 · 14-11-09

Ευκολάκι...

blacksheep · 14-11-09

εφοσον ισχυει για τις συναρτησεις δε θα ισχυει και για τα ορια τους?:what:

Metal-Militiaman · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Eκεί που πας από μια ισότητα σε ισότητα ορίων υπάρχει λάθος. Δεν προκύπτει αναγκαστικά ισότητα ορίων από μια τέτοια σχέση.

Aπό ισότητα συναρτήσεων ισχύει η συνεπαγωγή σε ισότητα ορίων μάλλον θα εννοούσες την ανίσοση δυο συναρτήσεων που συνεπάγεται σε ανισοϊσότητα των ορίων τους(διατηρώντας την ίδια φορά).

jimmy007 · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από blacksheep:
εφοσον ισχυει για τις συναρτησεις δε θα ισχυει και για τα ορια τους?:what:

Nαι. Βλακεία είπα. Αυτά παθαίνει όποιος δεν έχει πιει καφέ το πρωί....

Και μία άσκηση που έφτιαξα μόνος μου:

Έστω μία 1-1 και παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [α,β] με α<0<β. Αν τα Ο(0,0),Α(α,β) και Β(β,α) είναι σημεία της γραφικής παράστασης της f και lim(για χ να τείνει στο 0) f(x)/x =l<0 (πραγματικός αριθμός) να δείξετε ότι τα σμεία Ε(α,0) και Ε΄(β,0) είναι εστίες έλλειψης με μεγάλο άξονα z της οποίας να βρείτε την εξίσωση συναρτήσει του z και του α.
(Σημείωση: Η αντίστροφη δεν ταυτίζεται με την f)

Όποιος την λύσει τον παραδέχομαι.......

Hint: Δεν χρειάζεται Rolle η κάτι που υπάρχει στο βιβλίο μετά τον Rolle.

Evris7 · 14-11-09

Τί γνώσεις χρειάζεται;

jimmy007 · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από Evris7:
Τί γνώσεις χρειάζεται;

Συνέχεια, 1-1/Αντίστροφη, Μονοτονία με βάση τις παραγώγους και το πως βρίσκεις εξίσωση έλλειψης.
Αυτά νομίζω.
Πρέπει να κάνεις και 2 μικροαποδειξούλες για να την λύσεις.Βέβαια αυτό που πρέπει να αποδείξεις δεν είναι άκυρο αλλά λίγο-πολύ όλοι το έχουμε ακούσει...

coheNakatos · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Συνέχεια, 1-1/Αντίστροφη, Μονοτονία με βάση τις παραγώγους και το πως βρίσκεις εξίσωση έλλειψης.
Αυτά νομίζω.
Πρέπει να κάνεις και 2 μικροαποδειξούλες για να την λύσεις.Βέβαια αυτό που πρέπει να αποδείξεις δεν είναι άκυρο αλλά λίγο-πολύ όλοι το έχουμε ακούσει...

την μονοτονια μπορεις να την βρεις και χωρις τις παραγωγους ..

jimmy007 · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
την μονοτονια μπορεις να την βρεις και χωρις τις παραγωγους ..

Στην συγκεκριμένη άσκηση χρειάζονται και παράγωγοι....

coheNakatos · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Στην συγκεκριμένη άσκηση χρειάζονται και παράγωγοι....

επιμενω αν θες σου λεω και πως βρισκεις την μονοτονια ..

jimmy007 · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
επιμενω αν θες σου λεω και πως βρισκεις την μονοτονια ..

Κατάλαβα τι εννοείς. Το να την βριες με την παράγωγο είναι πιο ωραίο πάντως. Σκέφτηκες κανένας καμία λύση??

coheNakatos · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Κατάλαβα τι εννοείς. Το να την βριες με την παράγωγο είναι πιο ωραίο πάντως. Σκέφτηκες κανένας καμία λύση??

αρκει β=-α

jimmy007 · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
αρκει β=-α

Ε ναι. Αυτό είναι προφανές. Το θέμα είναι πως.....

coheNakatos · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Ε ναι. Αυτό είναι προφανές. Το θέμα είναι πως.....

Δεν την εχω κοιταξει πολυ αλλα τι εννοεις εκει στο οριο με το =|<0 ?!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος