Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Aggouri]

Πολύ καλή και σωστή η σκέψη σου αν και λίγο ελλιπής. Θέτεις

g(x)=((f(β)-1)/(x-1))+((f(γ)-1)/(x-2)), x ανήκει Β=(-άπειρο,1)U(1,2)U(2,+άπειρο)

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Β και ισχύει:

g'(x)=-[((f(β)-1)/((x-1)^2))+((f(γ)-1)/((x-2)^2))]<0 για κάθε x στο Β. Εμάς μας ενδιαφέρει το (1,2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,2).

Αν πάρεις τα πλευρικά όρια της g στο 1 και 2, με δεδομένο ότι f(β)>1 και f(γ)>1, προκύπτει:

lim(x->1+)g(x)=+άπειρο και lim(x->2-)g(x)=-άπειρο. Επειδή η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (1,2) τότε η εικόνα g((1,2)) του (1,2) είναι:

g((1,2))=(lim(x->2-)g(x), lim(x->1+)g(x))=(-άπειρο,+άπειρο)=R. Επειδή 0 ανήκει στο g((1,2))=R, υπάρχει ξ στο (1,2) ώστε g(ξ)=0 και μάλιστα επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα τότε το ξ είναι μοναδικό. Με την σκέψη σου καταλήξαμε σε πολύ ενδιαφέρον συμπέρασμα που αν ήθελαν να δυσκολέψουν λίγο τα πράγματα θα το ζητούσαν στις εξετάσεις.

Η σκέψη σου είναι πολύ σωστή. Η μόνη έλλειψη είναι ότι δεν αποδεικνύεις ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,2) ώστε να βρεις το πεδίο τιμών της g((1,2)). Αν τα πλευρικά όρια τα βρήκες ίδια με μένα, τότε είσαι σωστός. Η σκέψη σου είναι σωστή αλλά δεν την εξέφρασες πολύ σωστά.
Προσωπικά νομίζω ότι θα χάσεις 2 μόρια.

Ωραία σκέψη πάντως.
-----------------------------------------

Ευχαριστω για την απαντηση..Ας γινω πιο αναλυτικος. Θεωρησα h(x)=.... στο (1,2) δικαιολογησα γιατι f(b)-1>0 , f(g)-1>0 και πηρα τα ορια οπως ειπα και τα εβγαλα ±απειρο δικαιολογώντας οτι για χ-->2- χ-2<0 και αντιστοιχα χ-1>0 για χ->1+
Η h(x) λεω ειναι συνεχης και τα ορια κανουν + απειρο το ενα και -απειρο το αλλο. Αρα Rf=(-απειρο,+απειρο) το 0 ανηκει στο R....τα υπολοιπα τα εγραψα παραπανω. Η παραγωγος σε τι μας ενδιαφερει σ αυτο το σημειο? Η μονη παραληψη που εκανα ηταν να αναφερω που ανηκει το χ0 και να παω με συνεπαγωγη απο h(x0)=0 <=> .....

Συγγνωμη αν γινομαι κουραστικος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Ευχαριστω για την απαντηση..Ας γινω πιο αναλυτικος. Θεωρησα h(x)=.... στο (1,2) δικαιολογησα γιατι f(b)-1>0 , f(g)-1>0 και πηρα τα ορια οπως ειπα και τα εβγαλα ±απειρο δικαιολογώντας οτι για χ-->2- χ-2<0 και αντιστοιχα χ-1>0 για χ->1+
Η h(x) λεω ειναι συνεχης και τα ορια κανουν + απειρο το ενα και -απειρο το αλλο. Αρα Rf=(-απειρο,+απειρο) το 0 ανηκει στο R....τα υπολοιπα τα εγραψα παραπανω. Η παραγωγος σε τι μας ενδιαφερει σ αυτο το σημειο? Η μονη παραληψη που εκανα ηταν να αναφερω που ανηκει το χ0 και να παω με συνεπαγωγη απο h(x0)=0 <=> .....

Συγγνωμη αν γινομαι κουραστικος.

Σωστό είναι, δεν αντιλέγω. Αλλά δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο τέτοια πρόταση. Στο σχολικό βιβλίο αναφέρονται τα εξής:

1) Αν f συνεχής στο και γνησίως αύξουσα στο [α,β] τότε f([α,β])=[f(α),f(β)]

2) Αν f συνεχής στο και γνησίως φθίνουσα στο [α,β] τότε f([α,β])=[f(β),f(α)]

3) Αν f συνεχής στο [α,β) και γνησίως αύξουσα στο [α,β) τότε f([α,β))=[f(α), lim(x->β-)f(x))

4) Αν f συνεχής στο [α,β) και γνησίως φθίνουσα στο [α,β) τότε f([α,β))=(lim(x->β-)f(x), f(α)]

5) Αν f συνεχής στο (α,β] και γνησίως αύξουσα στο (α,β] τότε f((α,β])=(lim(x->α+)f(x), f(β)]

6) Αν f συνεχής στο (α,β] και γνησίως φθίνουσα στο (α,β] τότε f((α,β])=[f(β),lim(x->α+)f(x))

7) Αν f συνεχής στο (α,β) και γνησίως αύξουσα στο (α,β) τότε f((α,β))=(lim(x->α+)f(x), lim(x->β-)f(x))

8) Αν f συνεχής στο (α,β) και γνησίως φθινουσα στο (α,β) τότε f((α,β))=(lim(x->β-)f(x), lim(x->α+)f(x))

Το σκεπτικό σου είναι σωστό όπως είπα αλλά δεν βασίζεται σε πρόταση του σχολικού βιβλίου. Κάποιος μπορεί να σου κόψει, κάποιος άλλος όχι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Aggouri]

Οι παρατηρησεις των θεματων λενε: Καθε απαντηση επιστημονικα τεκμηριωμενη ειναι αποδεκτη. Οσα εγραψα ειναι σωστα και δεν εχουν καποιο λαθος απο μαθηματικης αποψης... Αρα αυτος που θα μου κοψει θα ειναι ο λανθανων της υποθεσης

Αστειευομαι..Ας ελπισουμε να μην πεσω σε κανα στραβοξυλο και με καταστρεψει.
Ευχαριστω πολυ για τις απαντησεις:no1:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DK1991]

Φιλε geoste σε ευχαριστω για την βοηθεια. Και εγω αυτό φοβάμαι,πως θα τα χάσω όλα..Ελπίζω να με λυπηθει όταν δει πως έχω απαντήσει αριστα στα υπόλοιπα και να μου δώσει κάτι, γιατι στα υπόλοιπα θέματα τα έγραψα πλήρως και πολύ αναλυτικά. Θα δούμε.. Το χειρότερο είναι πως το κατάλαβα αμέσως μόλις βγήκα και βγήκα στις 10!Τόσο σιγουρος ήμουν. Διδαγμα ηθικό΄στα υπόλοιπα τρίωρο μέσα! Επίσης άκουσα πως θα πετσοκόψουν 2 μόρια στην απόδειξη αν δεν είπες όμοια για μεγαλύτερο, και ισχύει προφανώς για ίσον. Ευτυχως αυτό το έγραψα.. Σε ευχαριστω πολύ για την βοήθεια!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Προκοπης]

εγω προλαβα και εκανα και την αποδειξη για το ομοια δηλαδη εκανα την ιδια διαδικασια με x2<x1 :S

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[cheery]

Aggouri παρόμοιο έκανα και εγώ με εσένα αλλά εγώ έκανα άλλη μ@λακία

Πήρα τα όρια στο 1+ και 2- και μετά το γινόμενο τους που βγαίνει -άπειρο. Και έκανα Bolzano με ...όρια. Λέτε να μου κόψουν όλη την άσκηση?

Σαν σκέψη δεν είναι απόλυτα λάθος, στη διατυπωση μπαζει αρκτα.

Αφου βρεις τα όρια θα έπρεπε να πεις πως υπάρχει χ1 κοντα στο -1 τέτοιο ώστε F(x1)>0 . Ομοιως για το χ2. Και στη συνεχεια Bolzano στο (χ1,χ2) το οποιο είναι υποσύνολο του (-1,2)
Ισως σου κοψουν λίγο παραπανω απ το μισο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[christ0s17]

γεια σας θα ηθελα να κανω μια ερωτηση αν και ειμαι σιγουρος απο για την απαντηση απλα εχω μονο 2 γνωμες ... μια της καθηγιτριας μου που ειναι αρνητικη και μια φιλου μου 5ο ετος στο ΕΜΠ... στο 2ο θεμα στο 2ο υποερωτημα αν και ηταν τετριμενο και το ηξερα δεν μου ηρτθε στο μυαλο εκεινη την ωρα και "αυτοσχεδιασα" ....
ελυσα την ανησωση |Ζο|<=|Ζ| και κατεληξα σε κατι που ισχυει δηλαδη στο 1<=4λ^2 +1 ..... θεωριτε λυση αυτη ?????

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Μπράβο m3Lt3D. Πολύ ωραία η άσκηση. Ανέβασε κι άλλες τέτοιες.

super άσκηση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lostG]

super άσκηση

Μπράβο γιά την ωραία λύση αλλά μην χειροκροτείς τον εαυτό σου.Αξίζει να στο πουν οι άλλοι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alan09]

Λες ε?

Aπλα επειδη ζηταει ''να βρειτε την εξισωση της ευθειας'' σκεφτηκα οτι αφου ισχυει για ολα τα λ τοτε οποια τιμη του λ κι αν βαλω θα την επαληθευει. Αλλα διαφερει απο τισ λυσεις που παρουσιαστηκαν στο διαδικτυο δεν σκεφτηκα κι εγω να το παω με τον κλασσικο τροπο.
-----------------------------------------


Thanks ευχαριστω πολυ καταλαβα τι λες. Ποσο να χασω απο αυτο? Τα μισα?κριμα επιανε και 9..

Εμένα, ρε παιδιά, μου φαίνεται σωστή η λύση με τις δύο τιμές του λ. Στην εκφώνηση (έτσι όπως δόθηκε) ΔΙΝΕΤΑΙ ότι η γραμμή είναι ευθεία, δεν χρειάζεται να το αποδείξουμε. Ζητάει μόνο να βρούμε την ευθεία. Αν λοιπόν θέσω χ=2λ+1 και ψ=2λ-1 και πάρω 2 τιμές για το λ, τότε βρίσκω δύο σημεία της ευθείας αυτής. Μια -και μοναδική- ευθεία ορίζεται από 2 σημεία. Άρα ο τρόπος είναι σωστός.-

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Εμένα, ρε παιδιά, μου φαίνεται σωστή η λύση με τις δύο τιμές του λ. Στην εκφώνηση (έτσι όπως δόθηκε) ΔΙΝΕΤΑΙ ότι η γραμμή είναι ευθεία, δεν χρειάζεται να το αποδείξουμε. Ζητάει μόνο να βρούμε την ευθεία. Αν λοιπόν θέσω χ=2λ+1 και ψ=2λ-1 και πάρω 2 τιμές για το λ, τότε βρίσκω δύο σημεία της ευθείας αυτής. Μια -και μοναδική- ευθεία ορίζεται από 2 σημεία. Άρα ο τρόπος είναι σωστός.-

Στην εκφώνηση κακώς έδινε ότι ο γ.τ. είναι ευθεία. Από την στιγμή που το δίνει, τότε δε νομίζω ότι θα κόψουν μονάδες για κάποιον που το έκανε με αυτόν τον τρόπο.

Όσοι πήρανε δύο μιγαδικούς για δύο λ και βρήκαν την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τις εικόνες τους δεν αποδεικνύουν ότι η ευθεία αυτή που βρήκαν διέρχεται από τις εικόνες των z για κάθε λ στο R. Για να είναι λοιπόν ολόσωστοι πρέπει στην εξίσωση που βρήκαν να αντικαταστήσουν x=2λ+1, y=2λ-1 και να τους επαληθευτεί η εξίσωση. Τότε θα ήταν ολόσωστοι.

Από την στιγμή που δίνεται ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι ευθεία και ως γνωστόν η ευθεία ορίζεται από 2 σημεία τότε πρέπει να θεωρηθεί σωστή η λύση και χωρίς να επαλήθευσαν την εξίσωση για κάθε λ. Παρ' όλα αυτά δεν είναι εγγυημένο 100% ότι δεν θα χάσουν μονάδες. Εξαρτάται από τον βαθμολογητή.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

Θέματα
https://www.ypepth.gr/docs/them_mat_kat_d_esp_no_0906.pdf

Απαντήσεις
https://www.kelafas.gr/Panellinies09/Esperina/math_kat_esp_09_a.pdf

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rolingstones]

Θέματα
https://www.ypepth.gr/docs/them_mat_kat_d_esp_no_0906.pdf

Απαντήσεις
https://www.kelafas.gr/Panellinies09/Esperina/math_kat_esp_09_a.pdf

απλα για γελια τα θεματα αλλα λογικο ειναι αφου υποτιθεται απευθυνεται σε μαθητες που δουλευουν αλλα ολοι ξερουν την κομπινα που γινεται με μερικους που εξασφαλιζουν καποιο χαρτι αφου εχουν γνωστο στο υπουργειο να λεει οτι δουλευουν ετσι ωστε να δωσουν απο εσπερινο παναελληνιες και ετσι να μπουν ποιο ευκολα σε πρωτοκλασατη σχολη για αυτο ειπα υποτιθεται αληθεια μανωλη μιας και εισαι εδω εισαι πως τα κρινες τα θεματα που πεσαν στο ημερησιο?εδω εχει γινει μεγαλος πανικος:iagree: με τα υπολοιπα παιδια του φορουμ που θεωρουν οτι ηταν πιο δυσκολα ακομα και απο περσι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vasilis008]

Χμ δεν νομίζω ότι ισχυρίστηκε κανείς ότι τα φετινά θέματα ήταν πιο δύσκολα από τα περσινά...αυτό που είπαν κάποια παιδιά και συμφωνώ είναι ότι δεν μπορείς να τα εκμηδενίζεις λέγοντας ότι " ξέρετε? όποιος δεν έγραψε είναι άχρηστος ας πούμε...". Π.χ. θεωρείς ότι τα περσινά θέματα φυσική ήταν πιο δύσκολα από τα φετινά? Εγώ προσωπικά όχι...Αλλά δεν ισχυρίζομαι ότι όποιος δεν έγραψε πέρυσι είναι άχρηστος...Οι πανελλήνιες είναι συνάρτηση πολλών παραγόντων που εσύ μπορεί να μην τους γνωρίζεις για κάθε μαθητή (άγχος, τύχη κτλ) και σε τελική ανάλυση δεν γίνεται κάθε χρόνο να βάζουν δύσκολα στα μαθηματικά γιατί απλά θα ανέβει και άλλο το επίπεδο και θα γίνουν άπιαστα πια για τον μέσο μαθητή...Φέτος χαλάρωσαν λίγο τα μαθηματικά και τραβήξαν λίγο φυσική και ΑΕΠΠ...πέρυσι το αντίθετο. Νομίζω οι ισορροπίες διατηρούνται.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rolingstones]

Χμ δεν νομίζω ότι ισχυρίστηκε κανείς ότι τα φετινά θέματα ήταν πιο δύσκολα από τα περσινά...αυτό που είπαν κάποια παιδιά και συμφωνώ είναι ότι δεν μπορείς να τα εκμηδενίζεις λέγοντας ότι " ξέρετε? όποιος δεν έγραψε είναι άχρηστος ας πούμε...". Π.χ. θεωρείς ότι τα περσινά θέματα φυσική ήταν πιο δύσκολα από τα φετινά? Εγώ προσωπικά όχι...Αλλά δεν ισχυρίζομαι ότι όποιος δεν έγραψε πέρυσι είναι άχρηστος...Οι πανελλήνιες είναι συνάρτηση πολλών παραγόντων που εσύ μπορεί να μην τους γνωρίζεις για κάθε μαθητή (άγχος, τύχη κτλ) και σε τελική ανάλυση δεν γίνεται κάθε χρόνο να βάζουν δύσκολα στα μαθηματικά γιατί απλά θα ανέβει και άλλο το επίπεδο και θα γίνουν άπιαστα πια για τον μέσο μαθητή...Φέτος χαλάρωσαν λίγο τα μαθηματικά και τραβήξαν λίγο φυσική και ΑΕΠΠ...πέρυσι το αντίθετο. Νομίζω οι ισορροπίες διατηρούνται.

καθολου δεεν τραβηξαν τη φυσικη στα ιδια με περσι ηταν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vasilis008]

Διαφωνώ...το 4ο θέμα ήταν μια απλή εφαρμογή της κεντρικής ελαστικής κρούσης...το 3ο θέμα ήταν καλό θεματάκι αλλά και πάλι όχι κάτι ιδιαίτερο. Δεν λέω ότι τα φετινά ήταν πολυ δύσκολα αλλά ήταν πιο σοβαρά συνολικά από τα περσινά και ο λόγος ήταν αυτός που σου είπα. Μια βάζουν εύκολα στο ένα μάθημα μια στο άλλο. Σαν σύνολο οι φετινές πανελλήνιες δεν ξέφυγαν από τις περσινές, πάνω κάτω τα ίδια ήταν.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[paganini666]

ΑΣΚΗΣΗ

Αν f, g : [0 , 1] --> [0 , 1], συνεχείς, με g γν. φθίνουσα και fog = gof ,
τότε ν΄ αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g και η ευθεία y = x
διέρχονται από το ίδιο σημείο το οποίο είναι και μοναδικό.

Εστω ,επειδη g φθινουσα .Λογω υποθεσης δε

(2)
ομως επειδη η (1) ισχυει για καθε , θα ισχυει και για

,αφου τo συνολο αφιξεως της g ειναι το

(3)
απο τις σχεσεις (2),(3) προκυπτει ατοπο.
Αρα η υποθεση οτι ειναι λαθος. Δηλαδη υπαρχει

Εστω
Ομοιως προκυπτει ατοπο
Άρα

Αν για ενα απ'τα

ισχυει η ισοτητα τοτε αποδεικτηκε οτι:

Για την περιπτωση που ισχυει καθαρη ανισοτητα τοτε με θεωρημα Bolzano για την

στο

προκυπτει παλι οτι:

Αρα σε καθε περιπτωση

Εστω οτι υπαρχει και ενα

και

τοτε
Συνεχεια οταν βρω τη λυση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

Εστω ,επειδη g φθινουσα .Λογω υποθεσης δε

(2)
ομως επειδη η (1) ισχυει για καθε , θα ισχυει και για

,αφου τo συνολο αφιξεως της g ειναι το

(3)
απο τις σχεσεις (2),(3) προκυπτει ατοπο.
Αρα η υποθεση οτι ειναι λαθος. Δηλαδη υπαρχει

Εστω
Ομοιως προκυπτει ατοπο
Άρα

Αν για ενα απ'τα

ισχυει η ισοτητα τοτε αποδεικτηκε οτι:

Για την περιπτωση που ισχυει καθαρη ανισοτητα τοτε με θεωρημα Bolzano για την

στο

προκυπτει παλι οτι:

Αρα σε καθε περιπτωση

Εστω οτι υπαρχει και ενα

και

τοτε
Συνεχεια οταν βρω τη λυση

Μια παρατηρηση: αφου δειχνεις οτι δεν γινεται να ισχυει f(x)>g(x) για καθε χ στο [0,1] και δεν γινεται να ισχυει f(x)<g(x) για καθε χ στο [0,1] ,αρα δεν γινεται να ισχυει f(x)<>g(x) για καθε χ στο [0,1].
Αυτο σημαινει οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ στο [0,1] τετοιο ωστε f(ξ)=g(ξ) στο [0,1]. Εσυ το κανεις πιο περιπλοκα αυτο το σημειο χωρις λογο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[paganini666]

Μια παρατηρηση: αφου δειχνεις οτι δεν γινεται να ισχυει f(x)>g(x) για καθε χ στο [0,1] και δεν γινεται να ισχυει f(x)<g(x) για καθε χ στο [0,1] ,αρα δεν γινεται να ισχυει f(x)<>g(x) για καθε χ στο [0,1].
Αυτο σημαινει οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ στο [0,1] τετοιο ωστε f(ξ)=g(ξ) στο [0,1]. Εσυ το κανεις πιο περιπλοκα αυτο το σημειο χωρις λογο.

Το ιδιο πραγμα λεμε απλώς νομιζω το διατυπωνω πιο αυστηρα μαθηματικα. :no1:
Καμια ιδεα για τη συνεχεια;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lostG]

Παιδιά συνεχίστε έτσι.Δεν είναι ανάγκη να υπάρχουν οι πανελλήνιες γιά να ασχολούματε με τα Μαθηματικά.
Θυμάμαι κάπου κάποτε σε ένα περιοδικό υπήρχε η στήλη "Τα Μαθηματικά μας διασκεδάζουν". Χωρίς άγχος πλέον από όσους έδωσαν εξετάσεις.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.