Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

psarakis.k · 10 Απριλίου 2009 στις 22:23

για τις αντίστροφες συναρτήσεις μπορείτε να αποδείξετε εκτός απο αυτά που έχετε ήδη αναφέρει , ότι δηλαδή (αν α(χ) η αντίστροφη καθώς δε μπορω να βρώ τον συντάκτη ακόμα)
1. η φ(χ)=χ ειναι ισοδύναμη με την α(χ)=χ
2. η φ(χ)=α(χ) ειναι ισοδύναμη με την φ(χ)=χ μόνο αν η φ(χ) γν.αύξουσα
και τα παρακάτω
3.αν η φ(χ) ειναι συνεχής στο χο τότε και η αντίστροφή της ειναι συνεχής στο φ(χο)
4. αν η φ(χ) ειναι παραγωγίσημη στο χο με παράγωγο λ<>0 διάφορη του μηδενός τότε και η αντίστροφή της θα ειναι παραγωγίσημη στο φ(χ0) και μάλιστα η παράγωγός της στο φ(χο) ειναι 1/λ.

οπότε θα γίνει εύκολη η ωραία ΑΣΚΗΣΗ 10 του tzoker στο θέμα "Συλλογή Ασκήσεων Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου".που αν δε κάνω λάθος παρέμεινε άλυτη?

manos66 · 10 Απριλίου 2009 στις 22:44

Αρχική Δημοσίευση από Τζίνα:
Α.Έστω η συνάρτηση g(x)=ln(x+1)-x ,x>0
Παραγωγίζουμε ως προς χ,οπότε:
g'(x)= $frac{1}{x+1}$ -1
Βρίσκουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται μόνο για χ=0,το οποίο απορρίπτεται, γιατί x>0. Άρα η g'(x) διατηρεί πρόσημο.
g'(x)<0<=> $frac{1}{x+1}$ -1<0<=> $frac{1}{x+1}$ <1<=>(επειδή x+1>0,πολλαπλασιάζουμε την ανίσωση με x+1)
1<x+1<=>χ>0
Άρα η συνάρτηση g(x) είναι γνησίως φθίνουσα,οπότε: χ>0<=>g(x)< $lim_{xrightarrow{0}^{+} }g(x)$ =ln1=0
Άρα ln(x+1)-x<0<=>ln(x+1)<x
B. $lim_{xrightarrow+oo }frac{1}{ln(x+1)}-frac{1}{x}<img src=$ =0-0=0
$lim_{xrightarrow {0}^{+}}frac{1}{ln(x+1)}-frac{1}{x}=lim_{xrightarrow {0}^{+}}frac{x-ln(x+1)}{xln(x+1)}$ =(επειδή το όριο είναι της μορφής $frac{0}{0}$ και επειδή υπάρχουν τα όρια των παραγώγων αριθμητή και παρανομαστή,εφαρμόζουμε κανόνα de l'hospital) $lim_{xrightarrow {0}^{+}}frac{1-frac{1}{x+1}}{ln(x+1)+frac{x}{x+1}}$ =(για τους ίδιους λόγους ξαναεφαρμόζουμε DLH) $lim_{xrightarrow {0}^{+}}frac{frac{1}{{(x+1)}^{2}}}{frac{1}{x+1}+frac{1}{{(x+1)}^{2}}}$ =1

β....(συνεχίζεται!!)" />" />

$<img src=$
Ξαναδές το τελευταίο όριο." />" />

kvgreco · 10 Απριλίου 2009 στις 22:49

Αρχική Δημοσίευση από rolingstones:
βγαινει φιλε μου οπως το ειπε το παιδι αφου φ(Χ0)=0 δε το παρατηρησες μαλλον αυτο πραγματικα ο george ειναι φοβερος η λυση του ηταν ακριβως αυτη που θελει να δει ο εξεταστης με ενθουσιασες γιωργο μανο μπραβο για την ασκηση σου φοβερη οτι πρεπει για πανελληνιες απο βοηθημα τη βρηκες?

Ναί έχεις δίκιο βγαίνει απλά εγώ είχα αντικαταστήσει στη θέση τού f '(x1) το f '(x2) και αντίστροφα.Να προτείνω και γω τη λύση μου και ελπίζω ο εξεταστής να μην είναι ..... ιεροεξεταστής!
Η f είναι γνησίως αύξουσα και για αυτό το σύνολο τιμών είναι [f(-1),f(1)].Διαμερίζω το σύνολο τιμών σε [f(-1),f(γ)] και [f(γ),f(1)],όπου
f(γ)=f(-1)+f(1),όπου f(-1)<f(γ)<f(1),αφού f(-1)<0 καί f(1)>0. Κάνοντας Θ.Μ.Τ. στα [-1,γ] και [γ,1] υπάρχουν x1 στο (-1,γ) και x2 στο (γ,1) τέτοια ώστε ....κ.λ.π. Άντικαθιστώντας τους παράγωγους αριθμούς στη δοσμένη σχέση προκύπτει ότι:
$\frac{f(1)}{f'({x}_{1})}=\gamma + 1$ και
$-\frac{f(-1)}{f'({x}_{2})}=1 - \gamma$ .Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει ότι πράγματι το άθροισμα ισούται με 2.

riemann80 · 11 Απριλίου 2009 στις 00:22

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
βγαίνει f (0) < f (1) - f (0) < f (1)

αυτο απαντα στην ερωτηση μου? (σωστο ειναι ουτως η αλλως)

riemann80 · 11 Απριλίου 2009 στις 00:26

παντως το ζητημα των σημειων τομης μιας συναρτησης και της αντιστροφης ειναι μπερδεμενο.προσφατα διαβασα στα γρηγορα ενα βιβλιο αποκλειστικα για το θεμα αυτο και ο συγγραφεας λεει οτι αν υπαρχουν σημεια τομης τοτε αυτα οφειλουν να βρισκονται πανω στην ψ=χ.

psarakis.k · 11 Απριλίου 2009 στις 00:59

Ισχύουν τα εξής
Αν η γραφική παράσταση της φ τέμνει την ψ=χ κάπου ,αναγκαστικά θα περνά απο εκει και η αντίστροφή της
ενω
τα τυχόν σημεία τομης της φ και της αντίστροφής της δεν ειναι απαραίτητο να βρίσκονται στην ψ=χ εκτός και αν η φ ειναι γνησίως αύξουσα.
(η απόδειξη ειναι ενδιαφέρουσα)
π.χ η φ(χ)=-χ έχει αντίστροφη τον εαυτό της άρα οι δυό γραφικές παραστάσεις έχουν άπειρα κοινά σημεία (ταυτίζονται) εκ των οποίων μονο ενα, το μηδεν βρίσκεται στην ψ=χ

riemann80 · 11 Απριλίου 2009 στις 02:46

απο οτι εχω καταλαβει ως τωρα το προβλημα βρισκεται στο συστημα συντεταγμενων.οταν λες ψ=φ(χ)<=>χ=φ^-1(ψ) και μετα ενναλασεις τα χ,ψ για να συμπερανεις οτι η αντιστροφη ειναι η φ^-1(χ) στην ουσια εχεις αντιστρεψει το συστημα συντεταγμενων και οι δυο συναρτησεις (οπως η -χ και η -χ) φενεται να τεμνονται εξω απο τη διχοτομο αλλα κατι τετοιο δε συμβαινει.

επισης υπαρχει ενα προβλημα με το πεδιο ορισμο της αντιστροφης στο οποιο θα επανελθω με συγκεκριμενα παραδειγματα.
τελικα νομιζω πως οντως τα σημεια τομης της φ με την αντιστροφη βρισκονται μονο πανω στην ψ=χ.

psarakis.k · 11 Απριλίου 2009 στις 08:45

δές το γεωμετρικά (που απο ότι έχω δει εισαι άριστος)
οι γραφικές παραστάσεις μιας συνάρτησης και της αντίστροφή της πρέπει να ειναι συμμετρικές ως προς την ψ=χ.
η συμμετρική της ψ=-χ ως προς την ψ=χ ειναι ο εαυτός της! με τον οποίο έχει άπειρα κοινά σημεία π.χ το Α(-1,1) το οποίο δε βρίσκεται στην ψ=χ.

riemann80 · 11 Απριλίου 2009 στις 12:08

ερωτηση: παρε τον περιορισμο της ψ=-χ στο συνολο Α={1}.τοτε η αντιστροφη εχει υποχρεωτικα πεδιο ορισμου το Β={-1} σωστα?επομενως η ψ=-χ και η αντιστροφη της δεν εχουν το ιδιο πεδιο ορισμου αρα αποκλειεται να ειναι ισες.

psarakis.k · 11 Απριλίου 2009 στις 13:48

σωστά! θες να πεις οτι τα περί αντιστρόφων που λέμε (αν ισχύουν) ισχύουν μόνο στη τομή του Α με το φ(Α) και φυσικά εχεις δίκιο .
με την ευκαιρία , θα ήθελα τη λύση της f(2x-f(x))=x που έδωσες

Τζίνα · 11 Απριλίου 2009 στις 14:13

Τι περίπου να κοιτάξω στο όριο?Είναι κάποια πράξη, ή κάτι πιο σοβαρο?Δεν το βρίσκω!!

Και επίσης..στο β ερώτημα,πως να ξεκινήσω?
Ξεκίνησα με παραγώγιση της f αλλά δε μου βγαίνει...Επίσης, με τον απλό τρόπο δε γίνεται..δηλαδή να πω ${x}_{1}>{x}_{2}$ <=> ...

???:s :hmm:

:s???

Αυτά προς το παρόν,ευχαριστώ!!

manos66 · 11 Απριλίου 2009 στις 19:01

Αρχική Δημοσίευση από Τζίνα:
Τι περίπου να κοιτάξω στο όριο?Είναι κάποια πράξη, ή κάτι πιο σοβαρο?Δεν το βρίσκω!!

Και επίσης..στο β ερώτημα,πως να ξεκινήσω?
Ξεκίνησα με παραγώγιση της f αλλά δε μου βγαίνει...Επίσης, με τον απλό τρόπο δε γίνεται..δηλαδή να πω ${x}_{1}>{x}_{2}$ <=> ...

???:s:s???

Αυτά προς το παρόν,ευχαριστώ!!

Το τελευταίο όριο στη λύση σου είναι $\frac{1}{2}$

manos66 · 11 Απριλίου 2009 στις 19:05

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
αυτο απαντα στην ερωτηση μου? (σωστο ειναι ουτως η αλλως)

ναι.
Έγραψες ότι ολοκληρώνεις από 0 ως 1.

riemann80 · 11 Απριλίου 2009 στις 20:49

απο τη δοθεισα βγαινει ευκολα οτι φ(χ)+φ^-1(χ)=2χ (η αντιστροφη υπαρχει γιατι ειναι 1-1).παραγωγισε αυτη τη σχεση και μετα βαλε οπου χ το α για να βγει η σταθερα 0.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από psarakis.k:
σωστά! θες να πεις οτι τα περί αντιστρόφων που λέμε (αν ισχύουν) ισχύουν μόνο στη τομή του Α με το φ(Α) και φυσικά εχεις δίκιο .

ετσι.απο αυτο επεται οτι τα κοινα σημεια βρισκονται μονο πανω στην ψ=χ.οσο για την ασκηση,η υποθεση της παραγωγισιμοτητας απλουστευει τη λυση:

απο τη δοθεισα παιρνουμε φ(χ)+φ^-1(χ)=2χ οποτε παραγωγιζοντας εχουμε μετα απο πραξεις φ'(χ)=1 οποτε φ(χ)=χ+c και τελος βαζοντας οπου χ το α βγαινει c=0 οποτε φ(χ)=χ.

riemann80 · 11 Απριλίου 2009 στις 21:03

:iagree: σωστο.ευχαριστω!

mazin · 12 Απριλίου 2009 στις 10:27

στον υπολογισμο του γ(0) χρειαζεται οπωσδηποτε το οριο??

lostG · 12 Απριλίου 2009 στις 11:42

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
απο τη δοθεισα βγαινει ευκολα οτι φ(χ)+φ^-1(χ)=2χ (η αντιστροφη υπαρχει γιατι ειναι 1-1).παραγωγισε αυτη τη σχεση και μετα βαλε οπου χ το α για να βγει η σταθερα 0.
-----------------------------------------

ετσι.απο αυτο επεται οτι τα κοινα σημεια βρισκονται μονο πανω στην ψ=χ.οσο για την ασκηση,η υποθεση της παραγωγισιμοτητας απλουστευει τη λυση:

απο τη δοθεισα παιρνουμε φ(χ)+φ^-1(χ)=2χ οποτε παραγωγιζοντας εχουμε μετα απο πραξεις φ'(χ)=1 οποτε φ(χ)=χ+c και τελος βαζοντας οπου χ το α βγαινει c=0 οποτε φ(χ)=χ.

Κάποτε όμως που την είχες δώσει την ίδια άσκηση αν θυμάμαι καλά, χωρίς μάλιστα το δεδομένο ότι είναι παραγωγίσιμη αλλά μόνο συνεχής, η άσκηση ήταν απλά αγγούρι!
Να πούμε στα παιδιά που πιθανόν να μπερδευτούν ότι χρησιμοποίησες εδώ κσι τη σχέση
$({f}^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}$

Τώρα επί του on topic.
Μιά απλή, απλούστατη ασκησούλα γιιά να κατανοήσουν τα παιδιά την ισοδυναμία ή μή των εξισώσεων.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=-{x}^{5}$
Να βρέιτε αν ορίζεται την αντίστροφή της και στη συνέχεια να λύσετε τις εξισώσεις.
i) $f(x)=-x$
ii) $f(x) = {f}^{-1}(x)$
iii) $x = {f}^{-1}(x)$

riemann80 · 12 Απριλίου 2009 στις 13:10

ναι οταν η συναρτηση ειναι μονο συνεχης η ασκηση ειναι πολυ δυσκολη.αλλα με την υποθεση της παραγωγισιμοτητας ειναι σαφως μεσα στα πλαισια των πανελληνιων.

γενικως ειμαι της αποψης οτι οι μαθητες πρεπει να ερχονται σε επαφη ακομα και με τις πιο ακραιες περιπτωσεις οχι για να αγχωθουν αλλα για να σχηματιζουν μια καλυτερη αποψη για τις ασκησεις που κυκλοφορουν γενικοτερα.

εσυ γιωργο τι λες? τα σημεια τομης της συναρτησης με την αντιστροφη βρισκονται αποκλειστικα πανω στην ψ=χ?

lostG · 12 Απριλίου 2009 στις 13:22

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
εσυ γιωργο τι λες? τα σημεια τομης της συναρτησης με την αντιστροφη βρισκονται αποκλειστικα πανω στην ψ=χ?

Μα νομίζω εσύ ή ο Μάνος(δεν θυμάμαι γιατί είναι παλιό) είχατε δώσει ως αντιπαράδειγμα στον παραπάνω ισχυρισμό, τη συνάρτηση f(x)=-x η οποία έχει απειρία λύσεων με την αντίστροφή της, (εξίσωση f(x)=f^(-1)(x)) που δεν ανήκουν βέβαια στην y=x! πέραν της x=0.

riemann80 · 12 Απριλίου 2009 στις 14:03

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
ερωτηση: παρε τον περιορισμο της ψ=-χ στο συνολο Α={1}.τοτε η αντιστροφη εχει υποχρεωτικα πεδιο ορισμου το Β={-1} σωστα?επομενως η ψ=-χ και η αντιστροφη της δεν εχουν το ιδιο πεδιο ορισμου αρα αποκλειεται να ειναι ισες.

ναι αλλα για αυτο τι λες? η αντιστροφη της ψ=-χ δεν ειναι η ψ=-χ στο Α !!!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος