Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

paganini666 · 06-12-08

ναι ναι,πώς δν το σκεφτηκα...Ευχαριστώ

chris_90 · 06-12-08

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Τώρα που πιάσαμε κουβέντα για τις ένα προς ένα..
Είναι σωστό να λέμε ότι η αντίστροφη μιας συνάρτησης όταν αυτή ορίζεται είναι συμμετρικής αυτής ως προς την ψ=χ?
Κάποιος μου είπε ότι σε ορισμένες γίνεται με την ψ=-χ?
Τελικά ποιο είναι το σωστό και πότε συμβαίνει το 2ο?

Εγω ξερω οτι ειναι συμμετρικη παντα ως προς την ψ=χ. Δεν το εχω ακουσει αυτο για την ψ=-χ. Μπορει να ειμαι και λαθος, δεν ξερω....

Semfer · 06-12-08

Ενα hint: θεστε διαδοχικα οπου x το x/2

bobiras11 · 07-12-08

Χμμ.. γιατί πρέπει όμως μία απ τις δύο τιμές να είναι μεγαλύτερη του 2? Δεν μπορεί να είναι 1,8 η μία και 1,9 η άλλη ξέρω γω?

chris_90 · 07-12-08

Το 32/9 ειναι 3.555... ενω 1.8+1.9= 3.7

riemann80 · 07-12-08

ο bobiras11 εχει δικιο.η λυση ειναι λανθασμενη.δεν μπορει να βγει το συμπερασμα οτι ενας απο τους 2 αριθμους ειναι μεγαλυτερος του 2.

μπορει να ειναι και οι δυο ισοι με 16\9 οποτε εχουν αθροισμα 32\9 και κανεις δεν ειναι μεγαλυτερος του 2!

kvgreco · 07-12-08

Παίζει αυτό?
$f(x)=f(\frac{x}{{2}^{\nu }})$
με το ν να τείνει στο άπειρο?

Οι ασκήσεις πού χρειάζονται hints δεν μού αρέσουν.Γιατί σαν να είναι μονόδρομος η λύση.Και μάλλον τέτοιες δεν μπαίνουν στις πανελλήνιες που αυτό μας ενδιαφέρει τώρα εμάς.
Είναι ασκήσεις κάτι σαν αίνιγμα. Ή τις έχεις ακουστά ή όχι.Που σημαίνει ότι κάποιος κάπου κάποτε είχε την φλασιά και μετά κυκλοφόρησε από γεννιά σε γεννιά.

manos66 · 07-12-08

Άσκηση

(Θ.Bolzano)

Αν η F συνεχείς στο [1,2] και F(1)=F(2) τότε : Να δείξεις ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξe[1,2) ώστε F(ξ)=F(ξ+1/2).

Κατά τη γνώμη μου καλή άσκηση!

Θεωρώ τη συνάρτηση
$\\ g(x)=f(x) - f\left(x+\frac{1}{2} \right) \\ \ \\ g(1) = f(1)-f\left(\frac{3}{2} \right) \\ g\left(\frac{3}{2} \right) = f\left(\frac{3}{2} \right) - f(2) \\ \ \\ g(1) + g\left(\frac{3}{2} \right)=0\ (1)$

έστω ότι η συνεχής g δεν έχει ρίζες στο διάστημα
$\Delta = \left[1 , \frac{3}{2} \right]$
Από συνέπειες Θ. Bolzano η g θα διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Έστω g (x) > 0, στο Δ, τότε
$g(1) + g\left(\frac{3}{2} \right)>0$
άτοπο από (1)

Όμοια για g (x) < 0 στο Δ.
-----------------------------------------

Έχω φάει κόλλημα με αυτή..
Αν f συνεχής νδο, αν ισχύει f(1/3)+f(2/3)=32/9, τότε η f(x)=2 έχει τουλάχιστον μιά πραγματική ρίζα

Αντιπαράδειγμα
f (x) = 16/9 , για κάθε x πραγματικό
f συνεχής (σταθερή)
f(1/3)+f(2/3)=32/9
η εξίσωση f(x) = 2 είναι αδύνατη.

Κάτι λέιπει από την άσκηση

bobiras11 · 07-12-08

...
Κάτι λέιπει από την άσκηση

Όντως παιδιά σόρρυ υπήρχε και απ την εκφώνηση μια συναρτησιακή σχέση.
Απλά είπα ότι θα έβγαινε και χωρίς αυτή.
f(χ+ψ)=f(χ)+f(ψ)+2χψ-1,xΕR

riemann80 · 07-12-08

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Απλά είπα ότι θα έβγαινε και χωρίς αυτή.

σε μια ασκηση ποτε δε δινονται αχρηστες υποθεσεις!!

Semfer · 07-12-08

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Θεωρώ τη συνάρτηση
$g(x)=f(x) - fleft(x+frac{1}{2} right) g(1) = f(1)-fleft(frac{3}{2} right) gleft(frac{3}{2} right) = fleft(frac{3}{2} right) - f(2) g(1) + gleft(frac{3}{2} right)=0 (1)$

έστω ότι η συνεχής g δεν έχει ρίζες στο διάστημα
$Delta = left[1 , frac{3}{2} right]$
Από συνέπειες Θ. Bolzano η g θα διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Έστω g (x) > 0, στο Δ, τότε
$g(1) + gleft(frac{3}{2} right)>0$
άτοπο από (1)

Όμοια για g (x) < 0 στο Δ.

Απλα κανουμε Bolzano για την g(x) στο [1,3/2].
Eιναι $g(1)\cdot g\left(\frac{3}{2}\right)=-\big(f(1)-f(3/2)\big)^2<0$

Επομενως υπαρχει τουλαχιστον ενα k στο (1,3/2) τετοιο ωστε

$g(k)=0\Leftrightarrow f(k)=f(k+1/2)$

Semfer · 07-12-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Παίζει αυτό?
$f(x)=f(frac{x}{{2}^{nu }})$
με το ν να τείνει στο άπειρο?

Ναι αυτο ειναι :iagree:

menenick · 07-12-08

πρωτα απ ολα bobira αν μπορεις θελω να που στειλεις το προγραμμα που εχεις και σχεδιαζεις τις γραφικες παραστασεις , αν μπορει καποιος να δωσει μια αναλυτικη απαντηση για το δ που ειναι και το ερωτημα με το μεγαλυτερο ενδιαφερον...

paganini666 · 07-12-08

και γω το θελω!Φαινεται γαμ..ατο.Αν μπορεις bobiras...

dimitric · 07-12-08

...ergasia hrakleitou 2o 8ema,,,eykolaki btw,,/

HappyHippo · 07-12-08

Αν f συνεχής νδο, αν ισχύει f(1/3)+f(2/3)=32/9(1), τότε η f(x)=2 έχει τουλάχιστον μιά πραγματική ρίζα
f(χ+ψ)=f(χ)+f(ψ)+2χψ-1 (2),xΕR

Και μία ακόμη λύση:

Από την(2) για x=y=0 έχουμε f(0)=1

Θεωρούμε Κ(x)=f(x)-2

Κ(0)=f(0)-2=1-2=-1
$K(1)=f(1)-2=[K(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})] -2 =[ f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3}) +\frac{4}{9} -1] -2=\frac{36}{9} -3=4-3=1$
(χρησιμοποιώντας την (1))

Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ${x}_{0} \in (-1,1)$ τέτοιο ώστε $K(x_0)=0$ άρα και $f(x_0)=2$

chris_90 · 07-12-08

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Όντως παιδιά σόρρυ υπήρχε και απ την εκφώνηση μια συναρτησιακή σχέση.
Απλά είπα ότι θα έβγαινε και χωρίς αυτή.
f(χ+ψ)=f(χ)+f(ψ)+2χψ-1,xΕR

Ρε συ, αυτη η σχεση ηταν το "κλειδι" για να βγει ολη η ασκηση!

Τζαμπα παιδευομουν με δαυτη τοσες ωρες...

HappyHippo · 07-12-08

Μήπως η f(x) είναι σταθερή συνάρτηση?

sir ImPeCaBlE · 07-12-08

Για χ=1/3 και ψ=2/3 έχουμε f(1)=3. Για χ=ψ=0 έχουμε f(0)=1.Αρα θα υπάρχει χ τέτοιο ώστε f(x)= 2.

who · 08-12-08

Όχι. Προσπάθησε να εφαρμόσεις το κριτήριο παρεμβολής

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος