Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Cade]

f κοιλη => f' γνησιως φθινουσα
χ < 1 => f'(x) > f'(1) > 0 => f'(x) > 0 για χ < 1 => f γνησιως αυξουσα στο (-οο, 1]

αν κανουμε μελετη ακροτατων στην h(x) = x * e^(1-x) βλεπουμε οτι εχει ολικο μεγιστο το 1 στο χ = 1
δηλαδη χ * e^(1-x) <= 1 για καθε χ στο R το ισον μονο στο 1

χ <= 1 => f(x) <= f(1) < 0 => f(x) < 0 για καθε χ <= 1 αν βαλουμε οπου χ -> h(x) εχουμε το ζητουμενο

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 17 Απριλίου 2022

α

2 ασκησεις και απο εμενα

Αν έχω κάνει κάποιο λάθος πες μου, τέτοιες ώρες συνήθως είμαι λίγο ζαλισμενος

 

[Guest 831328]

Να μια πολύ καλή που έλυσα πριν από λίγα λεπτά ένα ωραίο συνδυαστικό θέμα

 

[Guest 004218]

Παιδιά μπορεί κάποιος να βοηθήσει σε αυτή εδω;

 

[eukleidhs1821]

το πρωτο φανταζομαι θα σε δυσκολεψει.ενας προχειρος τροπος που μου ερχεται ειναι.φερνω 2 καθετες ΔΖ καθετη στην ΑΒ και ΓΚ καθετη στην ΑΒ.τα τριγωνα ΑΔΖ και ΓΚΒ ειναι ισα διοτι ΔΖ=ΓΚ ως απεναντι πλευρες ορθογωνιου και ΑΔ=ΓΒ ως πλευρες ισοσκελους τραπεζιου.επομενως ΑΖ=ΒΚ.
το κομματι ΖΚ=χ προφανως.
ΟΖ=2(ακτινα κυκλου)-ΑΖ
ΑΖ=4-χ-ΒΚ
ΑΖ=4-χ-ΑΖ
ΑΖ=(4-χ)/2
αρα ΟΖ=2-(4-χ)/2=χ/2
πυθαγορειο θεωρημα στο ΟΔΖ.
ΔΖ^2=4-ΟΖ^2=4-χ^2/4=(16-χ^2)/4
αρα ΔΖ=ριζα(16-χ^2)/2
μετα τυπος εμβαδον τραπεζιου (βαση μεγαλη+βαση μικρη)*υψος/2=(χ+4)ριζα(16-χ^2)/4

 

[Alexandros28]

Εγώ είχα σκεφτεί άλλον τρόπο για το πρώτο ερώτημα. Έστω Ε το μέσο της ΓΔ. Τότε για το τρίγωνο ΟΔΓ, το οποιο ειναι ισοσκελες καθώς δυο πλευρές του αποτελούν ακτίνα του κύκλου, το ύψος του θα ταυτίζεται με την διάμεσο της πλευράς ΔΓ. Το ύψος του τριγώνου ταυτίζεται με το ύψος του τραπεζιού, άρα με πυθαγόρειο για το τρίγωνο ΟΕΔ ή ΟΕΓ προσδιορίζεται το ύψος του τραπεζιού συναρτήσει της πλευράς x. Τα υπόλοιπα ερωτήματα αντιμετωπίζονται εύκολα

 

[eukleidhs1821]

Εγώ είχα σκεφτεί άλλον τρόπο για το πρώτο ερώτημα. Έστω Ε το μέσο της ΓΔ. Τότε για το τρίγωνο ΟΔΓ, το οποιο ειναι ισοσκελες καθώς δυο πλευρές του αποτελούν ακτίνα του κύκλου, το ύψος του θα ταυτίζεται με την διάμεσο της πλευράς ΔΓ. Το ύψος του τριγώνου ταυτίζεται με το ύψος του τραπεζιού, άρα με πυθαγόρειο για το τρίγωνο ΟΕΔ ή ΟΕΓ προσδιορίζεται το ύψος του τραπεζιού συναρτήσει της πλευράς x. Τα υπόλοιπα ερωτήματα αντιμετωπίζονται εύκολα

σωστος ακομα πιο ωραιος τροπος.εγω το πηγα αυτο καθε αυτο το υψος για αυτο ισως βγηκε πιο συνθετο.εσυ το εξισωσες με τη μια και βγηκε πιο ευκολο

 

[asdfqwerty]

Αν έχω κάνει κάποιο λάθος πες μου, τέτοιες ώρες συνήθως είμαι λίγο ζαλισμενος

μπραβο !
θα ανεβασω κατα το βραδυ αν ειναι λυση για το 2ο θεμα

 

[Guest 004218]

το πρωτο φανταζομαι θα σε δυσκολεψει.ενας προχειρος τροπος που μου ερχεται ειναι.φερνω 2 καθετες ΔΖ καθετη στην ΑΒ και ΓΚ καθετη στην ΑΒ.τα τριγωνα ΑΔΖ και ΓΚΒ ειναι ισα διοτι ΔΖ=ΓΚ ως απεναντι πλευρες ορθογωνιου και ΑΔ=ΓΒ ως πλευρες ισοσκελους τραπεζιου.επομενως ΑΖ=ΒΚ.
το κομματι ΖΚ=χ προφανως.
ΟΖ=2(ακτινα κυκλου)-ΑΖ
ΑΖ=4-χ-ΒΚ
ΑΖ=4-χ-ΑΖ
ΑΖ=(4-χ)/2
αρα ΟΖ=2-(4-χ)/2=χ/2
πυθαγορειο θεωρημα στο ΟΔΖ.
ΔΖ^2=4-ΟΖ^2=4-χ^2/4=(16-χ^2)/4
αρα ΔΖ=ριζα(16-χ^2)/2
μετα τυπος εμβαδον τραπεζιου (βαση μεγαλη+βαση μικρη)*υψος/2=(χ+4)ριζα(16-χ^2)/4

Τώρα αυτό ειναι για Θεμα Β πανελλαδικων ρε παιδιά; Μου φαίνεται λίγο τραβηγμένο δεν ξερω

 

[Cade]

Τώρα αυτό ειναι για Θεμα Β πανελλαδικων ρε παιδιά; Μου φαίνεται λίγο τραβηγμένο δεν ξερω

Γιατί βρε τι εχει

 

[Guest 004218]

Γιατί βρε τι εχει

Δεν ξέρω ανάλογες ασκήσεις σε στυλ προβλημάτων όπως αυτο βλεπω συνήθως σε Γ ή και Δ θέμα. Συνήθως τα Β είναι πιο mainstream

 

[Cade]

μπραβο !
θα ανεβασω κατα το βραδυ αν ειναι λυση για το 2ο θεμα

είμαι περίεργος

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 19 Απριλίου 2022

Δεν ξέρω ανάλογες ασκήσεις σε στυλ προβλημάτων όπως αυτο βλεπω συνήθως σε Γ ή και Δ θέμα. Συνήθως τα Β είναι πιο mainstream

Θα μπορούσε να πέσει ωστόσο...εντάξει άντε να μην βγάλεις το μισό β1 πόσο να χάσεις ; Όλα τα άλλα βγαίνουν κανονικά αφού σου δίνει και τυπο

 

[Guest 004218]

είμαι περίεργος

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 19 Απριλίου 2022

Θα μπορούσε να πέσει ωστόσο...εντάξει άντε να μην βγάλεις το μισό β1 πόσο να χάσεις ; Όλα τα άλλα βγαίνουν κανονικά αφού σου δίνει και τυπο

Ναι δεν έχεις άδικο. Απλά μάλλον εγω τα έπαθα λίγο στην αρχή

 

[eukleidhs1821]

Τώρα αυτό ειναι για Θεμα Β πανελλαδικων ρε παιδιά; Μου φαίνεται λίγο τραβηγμένο δεν ξερω

β θεμα σε καμια περιπτωση.γ θεμα ανετα μπορει να πεσει

 

[Cade]

β θεμα σε καμια περιπτωση.γ θεμα ανετα μπορει να πεσει

Είχε πέσει στις επαναληπτικές του 17

 

[eukleidhs1821]

Είχε πέσει στις επαναληπτικές του 17

ως β θεμα? τι να πω.αμα γινει αυτο θα γινει μακελειο.

 

[Cade]

@asdfqwerty τώρα είναι ολοκληρωμένη πιστεύω.

Δύσκολη άσκηση. Με κούρασε αρκετα


***Χρειάζεται απόδειξη και για το "1-1" καθώς η μονοτονία μπορεί να αλλάζει, όμως αποδεικνύεται πολύ εύκολα.

 

[Cade]

 

[asdfqwerty]

ωραια ασκηση.. γενικα πιστευω οτι ισως δουμε καποιο "πρωτοτυπο" ερωτημα για τις πανελληνιες που να μπλεκει το ολοκληρωμα (περα απο υλογισμο, ανισωτητα) μιας και μπαινει στην υλη μετα 2 χρονια απουσιας.

 

[F1L1PAS]

Γεια σας, μόλις ανακάλυψα το forum και αυτό είναι το πρώτο μου μήνυμα.
Προσπάθησα να τη λύσω την άσκηση... (ελπίζω να την έλυσα σωστά )

Η g(x) είναι περιττή, άρα το ολοκλήρωμά της σε ένα συμμετρικό διάστημα (-α,α) είναι 0. Άρα το ολοκλήρωμα στα αριστερά θα πρέπει να ισούται ή να είναι μικρότερο από 0. Για να είναι μικρότερο ή ίσο από 0, θα πρέπει το εσωτερικό του ολοκληρώματος να ισούται ή να είναι ίσο με 0 (1). Το εσωτερικό όμως είναι υψωμένο σε έναν άρτιο αριθμό, άρα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν (2). Από (1) και (2) βρίσκουμε ότι πρέπει: (x^2)f'(x)-1+lnx=0 => f'(x)=(1-lnx)/x^2 .
Βρίσκουμε το ολοκλήρωμά του για να βρούμε την f(x):
S [(1-lnx)/x^2)] dx = S [ (1/x^2) - (lnx/x^2) ] dx = -1/x - S [lnx/(x^2)] dx (3)

Θα ασχοληθούμε με το - S [lnx/(x^2)] dx (4)
θέτουμε 1/χ=u
Άρα: 1/x=u => x=1/u => lnx=ln(1/u)
και: 1/x=u => (-1/x^2)dx=du

(4) => S [ln(1/u)] du = S (ln1 - lnu) du = -S (lnu) du = -S [(u)' * lnu]du = - ulnu + S [x*(1/x)] du = - ulnu + u + c = u(1-lnu) + c
Αντικαθιστάς το u=1/x
οπότε βρίσκεις το (4), το οποίο το βαζεις στην (3) και έτσι βρίσκεις την f(x) (με c μέσα)

Σορρυ, αλλά δεν ξέρω πώς θα βρεις το c...
Όποιος θέλει, ας μου πει αν έχω κάνει κάποιο λάθος και άλλους τρόπους λύσης

 

[Cade]

Γεια σας, μόλις ανακάλυψα το forum και αυτό είναι το πρώτο μου μήνυμα.
Προσπάθησα να τη λύσω την άσκηση... (ελπίζω να την έλυσα σωστά )

Η g(x) είναι περιττή, άρα το ολοκλήρωμά της σε ένα συμμετρικό διάστημα (-α,α) είναι 0. Άρα το ολοκλήρωμα στα αριστερά θα πρέπει να ισούται ή να είναι μικρότερο από 0. Για να είναι μικρότερο ή ίσο από 0, θα πρέπει το εσωτερικό του ολοκληρώματος να ισούται ή να είναι ίσο με 0 (1). Το εσωτερικό όμως είναι υψωμένο σε έναν άρτιο αριθμό, άρα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν (2). Από (1) και (2) βρίσκουμε ότι πρέπει: (x^2)f'(x)-1+lnx=0 => f'(x)=(1-lnx)/x^2 .
Βρίσκουμε το ολοκλήρωμά του για να βρούμε την f(x):
S [(1-lnx)/x^2)] dx = S [ (1/x^2) - (lnx/x^2) ] dx = -1/x - S [lnx/(x^2)] dx (3)

Θα ασχοληθούμε με το - S [lnx/(x^2)] dx (4)
θέτουμε 1/χ=u
Άρα: 1/x=u => x=1/u => lnx=ln(1/u)
και: 1/x=u => (-1/x^2)dx=du

(4) => S [ln(1/u)] du = S (ln1 - lnu) du = -S (lnu) du = -S [(u)' * lnu]du = - ulnu + S [x*(1/x)] du = - ulnu + u + c = u(1-lnu) + c
Αντικαθιστάς το u=1/x
οπότε βρίσκεις το (4), το οποίο το βαζεις στην (3) και έτσι βρίσκεις την f(x) (με c μέσα)

Σορρυ, αλλά δεν ξέρω πώς θα βρεις το c...
Όποιος θέλει, ας μου πει αν έχω κάνει κάποιο λάθος και άλλους τρόπους λύσης

Σωστά απροβλεψια μου, έπρεπε να δώσω και μια τιμή για την f. Πάντως η ουσία είναι αλλού μπράβο.
Ωστόσο δε χρειαζόταν να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα, με λίγη παρατήρηση φαίνεται πως είναι η lnx/x + c