Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

giannis19

Νεοφερμένος

Ο giannis19 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 63 μηνύματα.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Επεξεργάστηκε από συντονιστή:

dimitris001

Τιμώμενο Μέλος

Ο Δημήτρης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 7,608 μηνύματα.
Το άθροισμα δύο άρρητων δεν είναι κατ' ανάγκη άρρητος γιατί πχ . Νομίζω όμως ότι βγαίνει με άτοπο.

Το είχα ρωτήσει αυτό που λες , στο μαθηματικό ,σε έναν καθηγητή και μου είχε απαντήσει άρρητος + άρρητος = άρρητος. Δυο αρθμοι που εχουν απειρα δεκαδικα ψηφια μπορουν να δωσουν, αθροισματικα ,εναν αριθμο με πεπερασμένο πλήθος ?
Γενικά αν α και β τυχαίοι άρρητοι, τότε α+β ΔΕΝ γνωρίζουμε αν είναι το άθροισμα άρρητος ή όχι!(παράδειγμα αυτο που αναφέρει πιο πάνω ο styt_geia ;))
ΑΛΛΑ στην περίπτωση μας που έχουμε συγκεκριμένους άρρητους αριθμούς (ρίζα 2, ρίζα 3) το άθροισμα είναι άρρητος!
Ελπίζω να καταλάβατε τι θέλω να πω...:P


Αρχικά, αποδεικνύω ότι ριζα6 αρρητος, με τον τρόπο του Δημήτρη.

Έστω τώρα, όπως υπέδειξε ο styt, πως ριζα2+ριζα3 ρητός.
Τότε και το τετράγωνο του θα είναι ρητος.
Επομένως (2+3+2ριζα6) ρητός.
Άτοπο.:D
Good job, man!
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Κώστας αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ηράκλειο (Αττική). Έχει γράψει 1,025 μηνύματα.
Έστω παραγωγίσιμη στο με . Δείξτε ότι
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

sokratis lyras

Νεοφερμένος

Ο sokratis lyras αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών. Έχει γράψει 31 μηνύματα.
Έστω παραγωγίσιμη στο με . Δείξτε ότι

Με κάποιες επιφυλάξεις.Με rolle στο προκύπτει ρίζα της f' και άρα της f,έστω η .Mε rolle στο έχουμε κ' άλλη ρίζα της f' και άρα της f.Eπαγωγικά προκύπτει το ζητούμενο.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

ξαροπ

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
Για την ιστορία με το άθροισμα αρρήτων, θα ήθελα να δω ένα παράδειγμα όπου άρρητος + άρρητος = ρητός ΧΩΡΙΣ να υπάρχει προσθαφαίρεση του ίδιου άρρητου κομματιού (πχ. ρίζα 2). :hmm:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

bond_bill

Νεοφερμένος

Ο bond_bill αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 76 μηνύματα.
θελω βοηθεια στην ασκηση 57 σελ 35 του μπαρλα. Λεει οτι η f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη με f(a)=f(b) και f ΄(a)=f '(b). να δειξω οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε f ''(ξ)=f '(ξ)^2


Αμα φερω το f '(ξ)^2 στο αριστερο μελος, διαιρεσω με f '(ξ) θεωρησω συναρτηση h(x)= lnf '(x) - f (x), κανω rolle στο (α,β) ειναι σωστο ? το αποτελεσμα βγαινω απλα θα χρειαστει το f'(ξ) να ειναι διαφορετικο του μηδενος
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Κώστας αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ηράκλειο (Αττική). Έχει γράψει 1,025 μηνύματα.
Έχω υπ' όψιν μου δύο τρόπους. Ο ένας βασίζεται στο θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Ο άλλος περιλαμβάνει εύρεση αρχικής συνάρτησης.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Κώστας αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ηράκλειο (Αττική). Έχει γράψει 1,025 μηνύματα.
θελω βοηθεια στην ασκηση 57 σελ 35 του μπαρλα. Λεει οτι η f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη με f(a)=f(b) και f ΄(a)=f '(b). να δειξω οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε f ''(ξ)=f '(ξ)^2
Rolle στην
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

bond_bill

Νεοφερμένος

Ο bond_bill αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 76 μηνύματα.

Solmyr

Δραστήριο μέλος

Ο Solmyr αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 595 μηνύματα.
Μία βδομάδα πέρασε. Δεν το παίρνει το ποτάμι; :redface:. Ακολουθεί μία μέτριας δυσκολίας με συναρτησιακή μήπως και ανέβει λίγο το ενδιαφέρον.

Μία συνάρτηση έχει την ιδιότητα
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη
γ) Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το
δ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
Προσπαθήστε να διατηρήσετε την σειρά των ερωτημάτων. Η άσκηση είναι από εδώ σελ 37


Όποτε μπορείς βάλε τη λύση της συναρτησιακής άσκησης.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Civilara

Περιβόητο μέλος

Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
Έστω παραγωγίσιμη στο με . Δείξτε ότι

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(x-a)(x-b)=(x^2)-(a+b)x+ab, x ανήκει Dg=R. Η g είναι συνεχής στο R ως πολυωνυμική. Για την g ισχύει g(a)=g(b)=0 και g(x)<0 για a<x<b.

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=1/g(x)=1/[(x-a)(x-b)] με πεδίο ορισμού Dh=(-oo,a)U(a,b)U(b,+oo). Η h είναι συνεχής στο Dh ως ρητή. Στη συνέχεια αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι ώστε:
h(x)=[A/(x-a)]+[B/(x-b)] για κάθε x ανήκει Dh.

Έχουμε:

1/[(x-a)(x-b)]=[A/(x-a)]+[B/(x-b)] <=> A(x-b)+B(x-a)=1 <=> (A+B)x+(-Ab-Ba)=1

Για να ισχύει η παραπάνω σχέση για κάθε x ανήκει Dh πρέπει να ισχύουν οι εξής:

A+B=0 (1)
-Ab-Ba=1 (2)

Από την (1) έχουμε:
B=-A (3)

Αντικαθιστώντας στην (2) έχουμε:
-Ab+Aa=1 <=> A(a-b)=1 <=> A=1/(a-b) <=> A=-1/(b-a)
B=-A => B=1/(b-a)

Επομένως
h(x)=[-1/(b-a)][1/(x-a)]+[1/(b-a)][1/(x-b)]=[1/(b-a)]{[1/(x-b)]-[1/(x-a)]}, x ανήκει Dh

Στη συνέχεια θα προσδιοριστεί το αόριστο ολοκλήρωμα της h στο διάστημα Δ=(a,b). Έχουμε



Θεωρούμε την συνάρτηση
με πεδίο ορισμού (α,β). Η H είναι παραγωγίσιμη και αρχική της h στο (α,β), δηλαδή:
H΄(x)=h(x) για κάθε x ανήκει (α,β)

Για κάθε x ανήκει [α,β] ισχύει f(x)=g(x)f΄(x). Επειδή g(a)=g(b)=0 έχουμε f(a)=g(a)f΄(a)=0 και f(b)=g(b)f΄(b)=0. Στη συνέχεια θα προσδιοριστεί ο τύπος της f στο (a,b). Για κάθε x ανήκει (α,β) ισχύει g(x)<0 οπότε έχουμε:

f(x)=g(x)f΄(x) <=> f(x)/g(x)=f΄(x) <=> f(x)h(x)=f΄(x) <=> f(x)H΄(x)=f΄(x) <=> f΄(x)-f(x)H΄(x)=0

Θεωρούμε την συνάρτηση F(x)=f(x)[e^(-H(x))], x ανήκει (a,b). Επειδή οι f και H είναι παραγωγίσιμες στο (a,b), οπότε η F είναι παραγωγίσιμη στο (a,b), οπότε και συνεχής στο (α,β), με παράγωγο:
F΄(x)=f΄(x)[e^(-H(x)]-f(x)H΄(x)[e^(-H(x))]=[f΄(x)-f(x)H΄(x)][e^(-H(x))]=0*[e^(-H(x))]=0

Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (a,b) και ισχύει F΄(x)=0 για κάθε x ανήκει (α,β). Επομένως υπάρχει σταθερά c έτσι ώστε να ισχύει F(x)=0 για κάθε x ανήκει (a,b). Άρα:

F(x)=c <=> f(x)[e^(-H(x))]=c <=> f(x)=c[e^H(x)] <=> f(x)=c{[-(x-b)/(x-a)]^[1/(b-a)]}

Επομένως f(a)=f(b)=0 και f(x)=c{[-(x-b)/(x-a)]^[1/(b-a)]} για x ανήκει (a,b).

Η f είναι παραγωγίσιμη στο (a,b) με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=-[c/((x-b)^2)]{[-(x-b)/(x-a)]^[(a-b+1)/(b-a)]}

Από την εκφώνηση γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο [a,b]. Επομένως η f είναι συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b).

Η f είναι συνεχής στο [a,b], παραγωγίσιμη στο (a,b) και ισχύει f(a)=f(b). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (a,b) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0. Έχουμε

f΄(ξ)=-[c/((ξ-b)^2)]{[-(ξ-b)/(ξ-a)]^[(a-b+1)/(b-a)]}

Συνεπώς

f΄(ξ)=0 <=> -[c/((ξ-b)^2)]{[-(ξ-b)/(ξ-a)]^[(a-b+1)/(b-a)]}=0 <=> c=0

Άρα f(x)=0 για κάθε x ανήκει (a,b) και επειδή f(a)=f(b)=0 τότε f(x)=0 για κάθε x ανήκει [a,b].
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Κώστας αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ηράκλειο (Αττική). Έχει γράψει 1,025 μηνύματα.
Μία συνάρτηση έχει την ιδιότητα
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη
γ) Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το
δ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
Ναι.
α) Για στην παίρνουμε
Για στην παίρνουμε . Από (1) και (2) παίρνω
β) Για στην με βάση το προηγούμενο ερώτημα παίρνουμε . Έτσι για με έχουμε άρα η f είναι 1-1 και άρα αντιστρέψιμη.
γ) Αρκεί να δείξω ότι για κάθε υπάρχει με . Έστω λοιπόν αυθαίρετο . Για λόγω της (3) έχουμε οπότε πράγματι
δ) Για στην παίρνουμε και αφού η f είναι 1-1 όπως δείξαμε στο β) έχουμε τελικά που επαληθεύει την
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Κώστας αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ηράκλειο (Αττική). Έχει γράψει 1,025 μηνύματα.
Έχω υπ' όψιν μου δύο τρόπους. Ο ένας βασίζεται στο θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Ο άλλος περιλαμβάνει εύρεση αρχικής συνάρτησης.
Ψάχνοντας τυχαία σε κάτι παλιά μηνύματα είδα ότι η τελευταία άσκηση έχει λυθεί εδώ με άλλον τρόπο. Οπότε τώρα έχουμε και τις δύο λύσεις.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

ξαροπ

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
Ένα γρήγορο θεματάκι που μου άρεσε: Έστω παραγωγίσιμη και κυρτή στο , . Νδο. για κάθε θετικό x.

Επίσης μία με την οποία ασχοληθήκαμε εγώ κι ένας συμμαθητής μου σήμερα: Να υπολογιστεί το (ενν. ν φυσικός). Εύκολο είναι να βρεθεί αναδρομικός, το πιο 'ωραίο' είναι να βρεθεί κλειστή μορφή του χωρίς ολοκληρώματα μέσα.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Kira.

Νεοφερμένος

Η Kira. αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Έχει γράψει 11 μηνύματα.
Μακράν το αγαπημένο μου θέμα.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

sokratis lyras

Νεοφερμένος

Ο sokratis lyras αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών. Έχει γράψει 31 μηνύματα.
Ένα γρήγορο θεματάκι που μου άρεσε: Έστω παραγωγίσιμη και κυρτή στο , . Νδο. για κάθε θετικό x.

Επίσης μία με την οποία ασχοληθήκαμε εγώ κι ένας συμμαθητής μου σήμερα: Να υπολογιστεί το (ενν. ν φυσικός). Εύκολο είναι να βρεθεί αναδρομικός, το πιο 'ωραίο' είναι να βρεθεί κλειστή μορφή του χωρίς ολοκληρώματα μέσα.

Η είναι γνησίως αύξουσα λόγω της κυρτότητας.
Οπότε για θετικά χ ,και για κ=3/4 προκύπτει το ζητούμενο.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

ξαροπ

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
Ωραία...κάτι άλλο τώρα.

1) Βρείτε μια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση για .
2) Βρείτε μια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση (πέρα από τη μηδενική συνάρτηση)

3) Αν η f είναι παραγωγίσιμη, να βρείτε όλες τις συναρτήσεις-λύσεις της εξίσωσης
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Alan

Δραστήριο μέλος

Ο Alan αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Μεταπτυχιούχος και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 696 μηνύματα.
Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:R->R ώστε

Να δείξετε ότι ισχύει : για κάθε x e R και για οποιαδήποτε συνάρτηση h:R->R

Έτοιμο!
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

κατερω

Εκκολαπτόμενο μέλος

Η κατερω αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 29 ετών, Φοιτήτρια και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 210 μηνύματα.
δε καταλαβα τι ζηταται να δειχθει :/
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Alan

Δραστήριο μέλος

Ο Alan αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Μεταπτυχιούχος και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 696 μηνύματα.
Θα προσπαθήσω να το φτιάξω και θα καταλάβετε :) .
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Top