Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

DumeNuke · 13 Μαρτίου 2014 στις 19:25

Αρχική Δημοσίευση από arnold:
εστω η συναρτηση f: R για την οποια ισχυει f(x^2 + 2)+f(3x)=0 , για καθε xεR.Να δειξετε οτι η γραφικη παρασταση της f τεμνει τον αξονα x'x σε δυο τουλαχιστον σημεια. πως λυνεται αυτη?

Θέτεις, μία φορά όπου x=1, δεύτερη φορά όπου x=2 και καταλήγεις στο ζητούμενο.

pavlos1908 · 13 Μαρτίου 2014 στις 19:33

Εχουμε μπει 2 βδομαδες τωρα ολοκληρωματα και δυσκολευομαι απιστευτα πολυ στις ασκησεις, κολλαω και δεν ξερω τι να κανω. Ειμαι ο μονος που το παθαινει; Εχω αρχισει να αγχωνομαι οτι δεν θα γραψω μαθηματικα και παρολο που θελω χαμηλη σχολη ( 12.000 ) με επηρεαζει ψυχολογικα ολο αυτο. Τι μπορω να κανω να ξεκολλησω;

Guest 856924 · 13 Μαρτίου 2014 στις 19:37

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Θέτεις, μία φορά όπου x=1, δεύτερη φορά όπου x=2 και καταλήγεις στο ζητούμενο.

ωραιος δηλαδη μονο αυτο γραφω ε?

SteliosIoa · 13 Μαρτίου 2014 στις 20:50

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Θέτεις, μία φορά όπου x=1, δεύτερη φορά όπου x=2 και καταλήγεις στο ζητούμενο.

τουλαχιστον 2 λεει ομως οχι ακριβως 2.εγω σκεφτηκα bolzano σε 2 διαστηματα αλλα δεν δινει τιποτα για την συνεχεια :S παραειναι απλο για να λυνεται ετσι οπως το λες.(δεν σε αμφισβητω.)

rebel · 13 Μαρτίου 2014 στις 21:11

Αν βρούμε ακριβώς δύο ρίζες ικανοποιείται και το τουλάχιστον δύο.

SteliosIoa · 13 Μαρτίου 2014 στις 21:36

Αρχική Δημοσίευση από pavlos1908:
Εχουμε μπει 2 βδομαδες τωρα ολοκληρωματα και δυσκολευομαι απιστευτα πολυ στις ασκησεις, κολλαω και δεν ξερω τι να κανω. Ειμαι ο μονος που το παθαινει; Εχω αρχισει να αγχωνομαι οτι δεν θα γραψω μαθηματικα και παρολο που θελω χαμηλη σχολη ( 12.000 ) με επηρεαζει ψυχολογικα ολο αυτο. Τι μπορω να κανω να ξεκολλησω;

πιασε και διαβασε λυμμενα παραδειγματα με τις κλασικες μεθοδολογιες αρχικα.μετα οταν λυσεις ασκησεις μην πας στα πανδυσκολα και απογοητευεσαι ξεκινα με ευκολα θεματα ( το ποσο δυσκολα σου φαινονται το ξες εσυ) ωστε να ανεβει η ψυχολογια σου και να δεις οτι μπορεις να λυσεις ασκησεις και σιγα σιγα αυξησε τη δυσκολια των ασκησεων που λυνεις οσο πιστευεις εσυ οτι μπορεις.νομιζω οτι θα δεις διαφορα ετσι.

vimaproto · 14 Μαρτίου 2014 στις 02:01

Αρχική Δημοσίευση από pavlos1908:
Εχουμε μπει 2 βδομαδες τωρα ολοκληρωματα και δυσκολευομαι απιστευτα πολυ στις ασκησεις, κολλαω και δεν ξερω τι να κανω. Ειμαι ο μονος που το παθαινει; Εχω αρχισει να αγχωνομαι οτι δεν θα γραψω μαθηματικα και παρολο που θελω χαμηλη σχολη ( 12.000 ) με επηρεαζει ψυχολογικα ολο αυτο. Τι μπορω να κανω να ξεκολλησω;

Παύλο να ξέρεις πως τα ολοκληρώματα είναι δύσκολα (γενικώς) και δεν πρέπει να απογοητεύεσαι. Αυτά που βάζουν είναι μέσα στα όρια των βατών και οι απαιτήσεις των φροντιστών υπερβολικές. Συναγωνισμός γαρ.
Πρέπει όμως να λάβεις υπόψη ότι για να κάνεις την πράξη της διαίρεσης πρέπει να ξέρεις να κάνεις πολλαπλασιασμούς, έτσι για να λύνεις ασκήσεις ολοκληρωμάτων πρέπει να μπορείς (και μάλιστα άνετα) να λύνεις ασκήσεις παραγώγων και να θυμάσαι από ποια παραγώγηση προήλθε η παράσταση μέσα στο ολοκλήρωμα. Ενα απλό παράδειγμα Ολοκλήρωμα συνχdx. Αν γνωρίζεις τι παραγωγίζουμε και παίρνουμε συνχ , εύκολα βρίσκεις ότι το παραπάνω ολοκλήρωμα είναι ίσο με ημχ +όπως πάντα μια σταθερά. Τα μαθαίνεις όπως κάναμε παλιά με την προπαίδεια.
Αρα μαθαίνω πολύ καλά τις παραγώγους και τα άλλα έρχονται μόνα τους. Εννοείται ότι υπάρχουν και κάποιες τεχνικές.

rebel · 14 Μαρτίου 2014 στις 03:43

Αρχική Δημοσίευση από need4sheed:
Α)να λυσετε τις εξισωσεις στο C :z^2+z+1=0 και (z^2+1)^2=z^2
Β)αν Α=|z^2+z+1|,B=|z^4+z^2+1| και Γ=|z^3+1|
i)να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων z οταν Β=ΑΓ
ii) αν |z|>=1 να δειχθει οτι α)Α+Β+Γ>=2 β)υπαρχουν μιγαδικοι ωστε η παραπανω ανισοτητα να ισχυει ως ισοτητα δηλαδη (Α+Β+Γ)min=2
Γ)να αποδειξετε οτι η ανισοτητα Α+Β+Γ>=2 ισχυει για καθε z EC

Α)
$\bullet$ Η εξίσωση $z^2+z+1=0$ έχει λύσεις
$z_1=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\,\,z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

$\bullet \left(z^2+1\right)^2=z^2 \Leftrightarrow \left(z^2+1+z\right) \left(z^2+1-z\right)=0$ .
Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες προφανώς τις $z_1,z_2$ και της ρίζες της $z^2+1-z=0$ που είναι
$z_3=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\,\,z_4=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
Β)
i)
Είναι
$B=A\Gamma \Leftrightarrow \left|z^4+z^2+1\right|=\left|z^2+z+1\right|\left|z^3+1\right| \Leftrightarrow \\ \left|z^4+z^2+1\right|=\left|z^2+z+1\right|\left|z+1\right|\left|z^2-z+1\right| \Leftrightarrow \\ \left|z^4+z^2+1\right|=|z+1|\left|\left(z^2+1\right)^2-z^2\right| \Leftrightarrow \\ \left|z^4+z^2+1\right|=|z+1|\left|z^4+z^2+1\right| \Leftrightarrow \left|z^4+z^2+1\right| \left(|z+1|-1\right)=0.$
Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι οι εικόνες των μιγαδικών $z_1,z_2,z_3,z_4$ καθώς και τα σημεία του κύκλου με $K(-1,0) ,\,\,\rho = 1$
ii)
α)
Από τριγωνική ανισότητα είναι:
$\left|z^4+z^2+1\right|+\left|z^2+z+1\right| \geq \left|z^4+z^2+1-z^2-z-1\right|=|z^4-z|=|z|\left|z^3-1\right| \stackrel{|z| \geq 1}{ \geq} \left|z^3-1\right|,\,\,(1)$
Άρα
$A+B+\Gamma=\left|z^2+z+1\right|+ \left|z^4+z^2+1\right|+\left|z^3+1\right|\stackrel{(1)}{ \geq} \left|z^3-1\right|+ \left|z^3+1\right| \stackrel{\tau \rho \iota \gamma. \,\, \alpha \nu \iota \sigma.}{ \geq} \left|z^3+1-z^3+1\right|=2$
β)
Παρατηρούμε ότι
$A+B+\Gamma=\left|z^2+z+1\right|+ \left|z^2+z+1\right|\left|z^2-z+1\right|+\left|z+1\right|\left|z^2-z+1\right|$
οπότε
$\bullet$ για $z=z_1,z_2$ είναι $A=B=0, \Gamma =2.$
$\bullet$ για $z=z_3,z_4$ είναι $A=2, B=\Gamma =0.$
Γι' αυτούς τους μιγαδικούς λοιπόν ισχύει η ισότητα.
Γ)
Δείξαμε στο Β) ii) α) ερώτημα ότι η ανισότητα ισχύει για κάθε $z \in \mathbb{C}$ με $|z|\geq 1$ . Θα δείξουμε ότι η ίδια ανισότητα ισχύει και για κάθε $z \in \mathbb{C}$ με $|z|< 1$ . Έχουμε
$\left|z^2+z+1\right|+ \left|z^4+z^2+1\right|\stackrel{|z|^2 < 1}{ \geq} \left|z^2\right|\left|z^2+z+1\right|+ \left|z^4+z^2+1\right|= \\ \left|z^4+z^3+z^2\right|+ \left|z^4+z^2+1\right| \stackrel{\tau \rho \iota \gamma. \,\, \alpha \nu \iota \sigma.}{ \geq} \left|z^4+z^3+z^2-z^4-z^2-1\right|=\left|z^3-1\right|,\,\,(2).$
Άρα
$A+B+\Gamma=\left|z^2+z+1\right|+ \left|z^4+z^2+1\right|+\left|z^3+1\right| \stackrel{(2)}{ \geq} \\ \left|z^3-1\right|+\left|z^3+1\right| \stackrel{\tau \rho \iota \gamma. \,\, \alpha \nu \iota \sigma.}{ \geq} 2$
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

t00nS · 14 Μαρτίου 2014 στις 11:51

Αν η συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστημα (α,β)
α)να αποδειχθεί ότι ολοκλήρωμα από α εως β f(x)dx>(β-α)*(f(α) + f(β))/2
έθεσα(δεν ξέρω αν έκανα σωστά),πήρα θμτ στο (α,χ) την προχώρησα αλλα κάπου έχω κολήσει!

rebel · 14 Μαρτίου 2014 στις 15:23

Πρώτα απόδειξε ότι για κάθε $x \in(a,b)$ ισχύει
$f(x)>\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b).$

Μαριλινάκι · 14 Μαρτίου 2014 στις 17:43

Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση? : Εχουμε μια συνάρτηση f πεδίο ορισμού το R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο R και κοίλη. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει το πολύ δύο κοινά σημέια με τη γραφική παράσταση της f.
Ευχαριστώ πολύ !

DumeNuke · 14 Μαρτίου 2014 στις 18:16

Αρχική Δημοσίευση από Μαριλινάκι:
Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση? : Εχουμε μια συνάρτηση f πεδίο ορισμού το R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο R και κοίλη. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει το πολύ δύο κοινά σημέια με τη γραφική παράσταση της f.
Ευχαριστώ πολύ !

Έτοιμη!

Edit: Η λύση είναι λάθος. f κοίλη σημαίνει f''>=0 και όχι απαραίτητα f''>0. Το διπλό Rolle σε άτοπο δεν παίζει να πιάνει

Guest 018946 · 14 Μαρτίου 2014 στις 19:11

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Έτοιμη!

με τι γράφεις φίλε ;

Vold · 14 Μαρτίου 2014 στις 19:39

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση: f: R ->R
Με f(1)=3 και |f'(x)|<=1 για κάθε x ανήκει R.
Ν.α.ο. 4-x<= f(x)<=x +2.

Πάνω σε αυτή την άσκηση θα ήθελα κάποιος να μου πεί αν ο τρόπος μου είναι σωστός ή θα πρέπει να χρησιμοποιήσω Θ.Μ.Τ...
Πήρα την αρχική συνάρτηση κάθε μέλους + μια διαφορετική σταθερά σε κάθε μέλος πλην αυτό της f. Αφου f(1)=3 έθεσα όπου χ το 3 και βρήκα τις σταθερές και κατέληξα στο ζητούμενο... Είναι σωστό;

SteliosIoa · 14 Μαρτίου 2014 στις 20:53

Αρχική Δημοσίευση από Νίκος Συμιδαλάς:
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση: f: R ->R
Με f(1)=3 και |f'(x)|<=1 για κάθε x ανήκει R.
Ν.α.ο. 4-x<= f(x)<=x +2.

Πάνω σε αυτή την άσκηση θα ήθελα κάποιος να μου πεί αν ο τρόπος μου είναι σωστός ή θα πρέπει να χρησιμοποιήσω Θ.Μ.Τ...
Πήρα την αρχική συνάρτηση κάθε μέλους + μια διαφορετική σταθερά σε κάθε μέλος πλην αυτό της f. Αφου f(1)=3 έθεσα όπου χ το 3 και βρήκα τις σταθερές και κατέληξα στο ζητούμενο... Είναι σωστό;

ανισωτικες σχεσεις δεν παραγωγιζονται ουτε ολοκληρωνονται,το διαβασα σε ενα βοηθημα.

photon · 14 Μαρτίου 2014 στις 21:20

Αρχική Δημοσίευση από SteliosIoa:
ανισωτικες σχεσεις δεν παραγωγιζονται ουτε ολοκληρωνονται,το διαβασα σε ενα βοηθημα.

Ολοκληρώνονται. Απλώς στο σχολικό λέει αν $f(x)\geq 0\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x) dx\geq 0$
Έτσι αν έχεις $\fbox{f(x)\geq g(x)}\Rightarrow f(x)-g(x)\geq 0$ Θεωρείς την $h(x)=f(x)-g(x)$
και παίρνεις $\int_{a}^{b}h(x) dx\geq 0\Leftrightarrow \int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] dx\geq 0\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx\geq 0\Leftrightarrow\framebox{ \int_{a}^{b}f(x)dx\geq \int_{a}^{b}g(x)dx}$

Θεωρητικά, σύμφωνα με αυτά που έχει το σχολικό δεν μπορείς να το κάνεις κατευθείαν.

Μαριλινάκι · 14 Μαρτίου 2014 στις 22:00

Dume Nuke είσαι φοβερός λύτης... με έχεις βοηθήσει και άλλες φορες! και από ότι βλέπω είσαι και μαθητηής της Γ! Καλή επιτυχία στις Πανελλήνιες!

SteliosIoa · 14 Μαρτίου 2014 στις 23:52

Αρχική Δημοσίευση από photon:
Ολοκληρώνονται. Απλώς στο σχολικό λέει αν $f(x)\geq 0\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x) dx\geq 0$
Έτσι αν έχεις $\fbox{f(x)\geq g(x)}\Rightarrow f(x)-g(x)\geq 0$ Θεωρείς την $h(x)=f(x)-g(x)$
και παίρνεις $\int_{a}^{b}h(x) dx\geq 0\Leftrightarrow \int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] dx\geq 0\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx\geq 0\Leftrightarrow\framebox{ \int_{a}^{b}f(x)dx\geq \int_{a}^{b}g(x)dx}$

Θεωρητικά, σύμφωνα με αυτά που έχει το σχολικό δεν μπορείς να το κάνεις κατευθείαν.

το ξερω τι γραφει μεσα στο βιβλιο αλλα αν δεις στεργιου-νακη στο βοηθημα του λεει οτι τις ανισοτηκες δεν μπορεις να τις παραγωγισεις ουτε να τις ολοκληρωσεις.

nikoslarissa · 15 Μαρτίου 2014 στις 00:08

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Έτοιμη!

Απο που προκυπτει οτι f''(x)>0;

rebel · 15 Μαρτίου 2014 στις 00:10

Αρχική Δημοσίευση από Νίκος Συμιδαλάς:
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση: f: R ->R
Με f(1)=3 και |f'(x)|<=1 για κάθε x ανήκει R.
Ν.α.ο. 4-x<= f(x)<=x +2.

Πάνω σε αυτή την άσκηση θα ήθελα κάποιος να μου πεί αν ο τρόπος μου είναι σωστός ή θα πρέπει να χρησιμοποιήσω Θ.Μ.Τ...
Πήρα την αρχική συνάρτηση κάθε μέλους + μια διαφορετική σταθερά σε κάθε μέλος πλην αυτό της f. Αφου f(1)=3 έθεσα όπου χ το 3 και βρήκα τις σταθερές και κατέληξα στο ζητούμενο... Είναι σωστό;

Για $x=1$ προφανώς ισχύει η ισότητα. Από κει και πέρα δοκίμασε με Θ.Μ.Τ. για $x<1$ πρώτα και $x>1$ μετά.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 856924

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος