Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

need4sheed · 04-12-13

δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση στο (0,+απειρο) με την ιδοτητα f'(x)xlnx+f(x)>2lnx χ E (0,1)ενωση(1,+απειρο) και F(1)=0
Α)να μελετησετε την παρακατω συναρτηση ως προς την μονοτονια g(x)=f(x)lnx-ln^2x,x>0
Β)Να δειξετε οτι f(x)>=lnx για καθε χ>0
γ)να δειξετε οτι η Cf kai h Clnx δεχονται στο σημειο Α(1,0) κοινη εφαπτωμενη την οποια και να βρειτε
δ)να δειξετε οτι για καθε α>0 υπαρχει ξ E (α,α+1) ωστε f(ξ)+1>=ln((α+1)^α+1)/α^α

aris-bas · 04-12-13

Καλησπέρα!!!θα ήθελα λίγη βοήθεια στα 3 τελευταία ερωτήματα της άσκησης.. :redface:

rebel · 4 Δεκεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από need4sheed:
δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση στο (0,+απειρο) με την ιδοτητα f'(x)xlnx+f(x)>2lnx χ E (0,1)ενωση(1,+απειρο) και F(1)=0
Α)να μελετησετε την παρακατω συναρτηση ως προς την μονοτονια g(x)=f(x)lnx-ln^2x,x>0
Β)Να δειξετε οτι f(x)>=lnx για καθε χ>0
γ)να δειξετε οτι η Cf kai h Clnx δεχονται στο σημειο Α(1,0) κοινη εφαπτωμενη την οποια και να βρειτε
δ)να δειξετε οτι για καθε α>0 υπαρχει ξ E (α,α+1) ωστε f(ξ)+1>=ln((α+1)^α+1)/α^α

α)
$g'(x)=\frac{xf'(x) \ln x +f(x)-2 \ln x}{x}>0$ για $x \in (0, 1) \cup (1,+\infty)$ οπότε η $g$ είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα $(0,1], [1,+\infty)$ και αφού είναι συνεχής στο $1$ , είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(0,+\infty)$
β)
Είναι $g(1)=0$ οπότε για $0< x \leq 1$ :
$g(x) \leq g(1)=0 \Rightarrow \ln x \left( f(x) - \ln x \right) \leq 0 \stackrel{\ln x \leq 0}{ \Rightarrow} f(x) \geq \ln x$
και για $x > 1$ :
$g(x) > g(1)=0 \Rightarrow \ln x \left( f(x) - \ln x \right) > 0 \stackrel{\ln x > 0}{ \Rightarrow} f(x) > \ln x.$
Άρα $f(x) \geq \ln x$ για κάθε $x \in (0,+\infty)$
γ)
$f(1)= \ln1=0$ και μένει να δείξουμε ότι $f'(1)=\left. \frac{d \ln x}{dx} \right|_{x=1}=1.$ Από το γ) ερώτημα έχουμε, για $x>1$ :
$f(x) \geq \ln x \Rightarrow \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \geq \frac{\ln x - \ln 1 }{x-1} \Rightarrow \lim_{ x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \geq \lim_{ x \to 1^+} \frac{\ln x - \ln 1 }{x-1} \Rightarrow \lim_{ x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \geq 1 \,\,(1)$
και για $x<1$ :
$f(x) \geq \ln x \Rightarrow \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \leq \frac{\ln x - \ln 1 }{x-1} \Rightarrow \lim_{ x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \leq \lim_{ x \to 1^-} \frac{\ln x - \ln 1 }{x-1} \Rightarrow \lim_{ x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \leq 1 \,\,(2)$
Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $1$ , είναι
$\lim_{ x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \lim_{ x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)$
οπότε λόγω των σχέσεων (1) και (2) είναι πράγματι $f'(1)=1$ και η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης είναι $(\varepsilon):y=x-1$ .
δ)
Έστω $h(x)=x \ln x$ . Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi \in (a,a+1)$ τέτοιο ώστε
$h'(\xi)=\frac{h(a+1)-h(a)}{a+1-a} \Rightarrow \ln \xi +1 = (a+1) \ln (a+1)- a \ln a \Rightarrow \\ \ln \xi +1 = \ln \frac{(a+1)^{a+1}}{a^a}.$
Όμως λόγω του β) ερωτήματος: $\ln \xi +1 \leq f(\xi)+1$ οπότε δείχθηκε το ζητούμενο.

Silent_Killer · 05-12-13

Θέλω να θέσω ένα ερώτημα.
Κατά πόσο τα βοηθήματα βοηθάνε;Θέλω να πω..σίγουρα εξοικεινώνεσαι με τα μαθηματικά,πέφτει τίποτα όμως από τις "ειδικές" ασκήσεις;Ο Μπάρλας ας πούμε έχει ασκήσεις που σου βγαίνει το λάδι για να τις καταλάβεις και να καταλαβεις τον τρόπο σκέψης.Αξίζει όμως;Μπορεί μετά από ένα μήνα να μην θυμάσαι τον συγκεκριμένο τύπο άσκησης και εν τέλει,να μην πέσει.Πολές φορές γυρνάω σε προηγούμενες σελίδες και κάποιες ασκήσεις δεν μπορώ να τις λύσω.Ποια η άποψή σας;

need4sheed · 05-12-13

για καθε χ>0 ισχυει cx^2 f''(X)-2f(x)=0 kai oi Cf' και Cg (g(x)=f(x)/x), x>0 εχουν πλαγια ασυμπτωτη στο +απειρο α)να δειξετε οτι c=1 B) αν f(1)=5 και f(1/2)=3 i) αφου αποδειξετε οτι η t(x)=x^2 f'(x)-2xf(x) ειναι σταθερη στο (0,+απειρο) να δειχθει οτι f(x)=4x^2 +1/x,x>0
ii)να βρεθει το συνολο τιμων τις f
iii) να λυθει η εξισωση 4χ^3-2χ+1=χημ(πχ) στο (0,+απειρο)

SteliosIoa · 7 Δεκεμβρίου 2013

οποιος εχει το χρονο και τη διαθεση ας μου στειλει ενα προσωπικο μηνυμα για να με βοηθησει σε μια ασκηση .

vimaproto · 8 Δεκεμβρίου 2013

iii) να λυθει η εξισωση 4χ^3-2χ+1=χημ(πχ) στο (0,+απειρο)

Ισχύει -1<=ημπχ<=1
Για πεδίο ορισμού που έχει θετικές τιμές για τον χ .
α) ημπχ<=1 ==> χ.ημπχ<=χ
Ωστε 4χ³-2χ+1<=χ ==> 4χ³-3χ+1<=0. (χ+1)(2χ-1)²<=0 Αλλά Χ+1>0 ==> (2χ-1)²<=0 που είναι μη αρνητικό Ωστε χ=½

β) ημπχ>=-1 ==> χ.ημπχ>=-χ και 4χ³-2χ+1>=-χ ==>4χ³-χ+1>=0 η οποία συνάρτηση στο θετικό χ είναι πάντοτε θετική αφού η ελάχιστη τιμή της είναι περίπου 0,8 όπως προκύπτει από την μελέτη των ακροτήτων της.
Αρα η λύση για θετικές τιμές του χ είναι χ=½

Dora_B · 08-12-13

Εχω την πολυωνυμική εξίσωση z^3 + 6z^2 + 10z =0
Για να τη λύσω πρεπει να κάνω Horner, i know, αλλά αφού δεν έχει σταθ. όρο, με τι θα διαιρέσω?? :confused:

vimaproto · 08-12-13

Αρχική Δημοσίευση από Dora_B:
Εχω την πολυωνυμική εξίσωση z^3 + 6z^2 + 10z =0
Για να τη λύσω πρεπει να κάνω Horner, i know, αλλά αφού δεν έχει σταθ. όρο, με τι θα διαιρέσω??

Βγάζεις κοινό παράγοντα το Ζ και σου μένει δευτεροβάθμια, την οποία λύνεις. Αν δοκιμάσεις σαυτή Horner δεν θα κάνεις τίποτα γιατί οι ρίζες δεν είναι ρητοί αριθμοί.

Dream Theater · 08-12-13

Αρχική Δημοσίευση από Dora_B:
Εχω την πολυωνυμική εξίσωση z^3 + 6z^2 + 10z =0
Για να τη λύσω πρεπει να κάνω Horner, i know, αλλά αφού δεν έχει σταθ. όρο, με τι θα διαιρέσω??

Βγαζεις το z κοινο παραγοντα. z(z²+6z+10)=0 οποτε προκυπτει Δ=36-40=-4 αρα z1=-3+1i και z2=-3-1i
οποτε εχεις τρεις λυσεις. την z=0+0i, z=-3+1i , z=-3-1i.

Dora_B · 08-12-13

@vimaproto @Dream Theater
σας ευχαριστώ both!!

SteliosIoa · 08-12-13

η ασκηση που ελεγα χθες ειναι αυτη...
https://imageshack.us/photo/my-images/9/qgyr.jpg/

ναι ξερω ειμαι πισω αλλα ξεκινησα το νοεμβριο...ευτυχως υπαρχουν και τα χριστουγεννα !

αμα δεν φαινεται καλα μετα το ισον στην πρωτη σχεση ειναι 0.

aris-bas · 08-12-13

Καλησπέρα!!Θα ήθελα τη βοήθεια σας στις παραπάνω. :redface:

...ζητώ συγνωμη για την κακή αναλυση..

Dream Theater · 08-12-13

$z_1z_2=(f(a)+if(b))(f(a)+if(a)) = (f(a))^2+i(f(a))^2+if(a)f(b)-f(a)f(b) = ((f(a))^2-f(a)f(b)) + ((f(a))^2+f(a)f(b))i$

εφοσον ο z1z2 ειναι πραγματικος, πρεπει

$Im(z)=0 \Leftrightarrow (f(a)^2)+f(a)f(b)=0 \Leftrightarrow f(a)(f(a)+f(b)=0$

εδω τωρα εχεις δυο περιπτωσεις.

Αν $f(a)=0$ , τοτε ο αριθμος a ειναι λυση της εξισωσης f(x)=0.

Αν $f(a)+f(b)=0 \Leftrightarrow f(a)=-f(b)$ τοτε ισχυει $f(a)f(b)=-(f(b))^2<0$

Αρα ισχυουν οι προυποθεσεις του θεωρηματος bolzano εφοσον η συναρτηση ειναι συνεχης στο κλειστο [a,b] και επομενως υπαρχει τουλαχιστον ενα xo στο(a,b) τετοιο ωστε f(x)=0

Επομενως σε καθε περιπτωση υπαρχει τουλαχιστον ενα $x_0 \in [a,b)$ τετοιο ωστε f(x)=0.

rebel · 08-12-13

Αρχική Δημοσίευση από SteliosIoa:
η ασκηση που ελεγα χθες ειναι αυτη...
https://imageshack.us/photo/my-images/9/qgyr.jpg/

ναι ξερω ειμαι πισω αλλα ξεκινησα το νοεμβριο...ευτυχως υπαρχουν και τα χριστουγεννα !

αμα δεν φαινεται καλα μετα το ισον στην πρωτη σχεση ειναι 0.

Υπάρχει εδώ

SteliosIoa · 08-12-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Υπάρχει εδώ

ευχαριστω πολυ!

Μάγδα Μάγδα · 08-12-13

δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει f(-1)=2k και f(2)=-λ
Ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ που ανήκει στο διάστημα [-1,2] ώστε k-f(ξ)=λξ

λοιπόν. ορίζω συνάρτηση g(ξ)=k-f(ξ)-λξ ,Dg=R και συνεχής
ωστόσο, προβληματιζομαι στο πως να χρησημοποιήσω Bolzano γιατί " f(-1)*f(2)<0" ισχύει μόνο αν τα κ,λ είναι ομόσημα..
μηπως πρεπει να χρησιμοποιήσω κάτι άλλο? ή να διακρίνω περιπτώσεις(που δε νομίζω)..ή να μη το λάβω υπόψη μου καθολου??

rebel · 08-12-13

$g(-1)g(2)=(\kappa-\lambda)(\lambda-\kappa)=-(\kappa-\lambda)^2$ . Αν $\kappa=\lambda$ τότε $g(-1)=0$ και $g(2)=0$ ενώ αν $\kappa \neq \lambda$ τότε $g(-1)g(2)<0$ , Bolzano κλπ

Μάγδα Μάγδα · 08-12-13

ευχαριστώώώ!

aris-bas · 11-12-13

στη πρωτη ασκηση σκεφτηκα να θεσω την πρωτη δοθεισα σχεση,να λυσω ως προς f(x) και να βρω το lim της f(x) και την δευτερη δοθεισα σχεση,να λυσω ως προς g(x) και να βρω το lim της g(x)....μετα αντικατεστησα στο ζητουμενο οριο την f(x) και την g(x) που βρηκα απο το θεσιμο...αλλα στην συνεχεια δεν ξερω πως να συνεχισω...ειναι σωστη η σκεψη μου???? pleaasse helpp. :worry:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος