Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos · 08-01-10

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Α! Μαλακια μου, συγνωμη. Ετσι οπως εβλεπα την ασκηση στο μυαλο μου ξεχασα να αλλαξω προσημο οταν θα εφερνα το δεξια μελος αριστερα. Σορρυ :p

Εγω να δεις τι εχω πει κατα καιρους οταν νυσταζω κυριως

mixas!! · 08-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
2) α) Έστω

με

και

.
Me θ.Rolle για την

στο

, βρίσκουμε ότι υπάρχει

ώστε

ΑΤΟΠΟ,
οπότε

ή

.
δηλαδή, η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.
β) Αφου f, γν.μονοτονη ειναι και "1-1" αρα εχει το πολυ μια ριζα. Στην $f(x)=-f(2-x)$ θετω $f(x)=0$ Και βγαινει $f(2-x) =0$ ομως $f "1-1"$ αρα $2-x =x Leftrightarrow x=1$ ,αρα εχει μοναδικη ριζα για $x=1$
-----------------------------------------

Καλα μεχρι εκει που εφτασες τωρα χρησιμοποιησε την σχεση που εχεις για το z , δηλαδη λυσε ως προς τα y,x και αντικατεστησε στην y=2x-1

Ευχαριστω την εβγαλα

lowbaper92 · 08-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Γινεται

Αν δηλαδη καταλαβα καλα λες εστω f(x)=0, τοτε f(2-x)=0
και εφόσον κανουν και τα 2 μηδέν τα εξισώνεις?

coheNakatos · 09-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Αν δηλαδη καταλαβα καλα λες εστω f(x)=0, τοτε f(2-x)=0
και εφόσον κανουν και τα 2 μηδέν τα εξισώνεις?

Οχι ακριβως επειδη ειναι 1-1 δεν γινεται να υπαρχουνx1 διαφορο του x2 με f(x1)=f(x2)αρα 2-x=x ...

lowbaper92 · 09-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Οχι ακριβως επειδη ειναι 1-1 δεν γινεται να υπαρχουνx1 διαφορο του x2 με f(x1)=f(x2)αρα 2-x=x ...

Α οκ ..αν και νομιζω οτι εβγαινε πιο απλα αν θεσεις x=1

Zorc · 10-01-10

Εστω μια συναρτηση f για την οποια ισχυει f'(x)=2f(-x) για καθε x ανηκει στο R και η $g(x)={f}^{2}(x)+{f}^{2}(-x)$ . Ν.δ.ο. η g σταθερη.
Δεν μπορω να το βγαλω...και δεν ξερω γιατι...

Και κτ ακομα. Η αρχικη της $f'({x}^{3}+x)=4x$ ειναι η $f({x}^{3}+x)=3{x}^{4}+2{x}^{2}+c$ ?

Ευχαριστω.

g!orgos · 10-01-10

Παραγωγιζεις την g και στην σχεση που σου δινει για την f θεσε οπου χ το -χ και θα δεις οτι με αυτο σου μηδενιζεται η g '

Zorc · 10-01-10

Ετσι βγαινει. Ωραιος. Δεν σκεφτηκα να το θεσω ετσι. Ευχαριστω.

forakos · 10-01-10

${e}^{x}>x$

Πως θα το δείξω?

coheNakatos · 10-01-10

Αρχική Δημοσίευση από forakos:
${e}^{x}>x$

ΠΩΣ ΘΑ ΤΟ ΔΕΙΞΩ?

3 περιπτωσεις
x=0 ...
x<0 εχεις θετικος > αρνητικου που ισχυει
x>0 : $h(x)={e}^{x}-x$ ,ελαχιστο στο x=0 το f(0)=1 αρα $h(x)\succeq 1 >0$

Zorc · 10-01-10

Με προλαβες. Σ αυτο που ρωτησα πριν η αρχικη αυτη ειναι?

panagiwtisalap · 10-01-10

θα ηθελα μια βοηθεια στις δυο παρακατω ασκησεις

https://www.ischool.gr/imagehosting/269974b49feef9f45d.jpg

lowbaper92 · 10-01-10

Αρχική Δημοσίευση από panagiwtisalap:
θα ηθελα μια βοηθεια στις δυο παρακατω ασκησεις

https://www.ischool.gr/imagehosting/269974b49feef9f45d.jpg

1)
f' γνησίως φθίνουσα στο [0,Xo]
Για κάθε x>0 είναι $h'(x)=\frac{x\cdot f'(x)-f(x)}{{x}^{2}}, (1)$
Για x>0 θεωρώ το διαστημα [0,x]
Από ΘΜΤ υπάρχει $\xi \in (0,x):f'(\xi )=\frac{f(x)}{x}$
Όμως $\xi <x\Leftrightarrow f'(\xi )>f'(x)\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x}>f'(x)\Leftrightarrow x\cdot f'(x)-f(x)<0$
Άρα $(1)\Rightarrow h'(x)<0$
Άρα η h γνησίως φθίνουσα στο (0,Χο]
-----------------------------------------
2)
f' γνησίως φθίνουσα στο [α,β]
Θεωρώ $g(x)=f(x)-\frac{\alpha }{\beta }\cdot x$ , $x\in [\alpha ,\beta ]$
$g'(x)=f'(x)-\frac{\alpha }{\beta }$
$g(\alpha )=g(\beta )=0$
Άρα απο Rolle υπαρχει $\xi \in (\alpha ,\beta ): g'(\xi )=0\Leftrightarrow f'(\xi )=\frac{\alpha }{\beta }$

$x<\xi \Leftrightarrow f'(x)>f'(\xi )\Leftrightarrow f'(x)>\frac{\alpha }{\beta }\Leftrightarrow \left(f(x)-\frac{\alpha }{\beta }\cdot x \right)'>0\Leftrightarrow g'(x)>0$ , Άρα g γνησίως αύξουσα στο [α,ξ]

Ομοίως για x>ξ βγαίνει g'(x)<0, άρα g γνησίως φθίνουσα στο [ξ,β]

Τελικά για καθε xε(α,ξ) είναι $x>\alpha \Leftrightarrow g(x)>g(\alpha )\Leftrightarrow g(x)>0\Leftrightarrow f(x)>\frac{\alpha }{\beta }\cdot x$
και για καθε xε(ξ,β) είναι
$x<\beta \Leftrightarrow g(x)>g(\beta )\Leftrightarrow \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow f(x)>\frac{\alpha }{\beta }\cdot x$

Zorc · 11-01-10

Εστω f μια συναρτηση παραγωγισιμη στο R και η περιττη συναρτηση g(x)=2xf(x)-f'(x). Νδο η συναρτηση h(x)=f(-x)-f(x) ειναι σταθερη.

Καταληγω οτι h'(x)=2xh(x).Τι κανω λαθος?
-----------------------------------------
Για την συναρτηση f: (0,+oo) --> R ισχυουν:
α) $f(ab)={a}^{2}f(b)+{b}^{2}f(a)$ για καθε α>0 και β>0
β) f'(1)=1996
Να βρειτε τον τυπο της f.{f παραγωγισιμη στο (0,+οο)}

Εδω θα ηθελα μια βοηθεια απο την αρχη διοτι χτες τα καναμε με συναρτησιακες και δεν τις βρηκα πολυ ευκολες για πρωτη φορα.
Παραγωγισα την σχεση τη μια με σταθερο το α και την αλλη με σταθερο το β αλλα δεν βλεπω να με βοηθαει πολυ.

aparadektos7 · 11-01-10

Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο IR με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:
f(x) = -f(2-x) και f ΄(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ IR .
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη .

β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα.

γ. Έστω η συνάρτηση g(x)= f(x)/f ' (x)
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45ο

Μπορειτε να με βοηθησετε με την λύση;

coheNakatos · 11-01-10

Αρχική Δημοσίευση από aparadektos7:
Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο IR με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:
f(x) = -f(2-x) και f ΄(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ IR .
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη .

β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα.

γ. Έστω η συνάρτηση g(x)= f(x)/f ' (x)
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45ο

Μπορειτε να με βοηθησετε με την λύση;

a) f'(x)\neq 0 -> f'(x)>0 ή f'(x)<0 -> γν.μονοτονη
β)στην σχεση θετω f(x) =0 και εχω f(2-x)=0 αλλα η f ειναι 1-1 αρα 2-x=x αρα x=1 και ειναι μοναδικο αφου ειναι γν.μονοτονη
γ) Αρκει νδο g'(1)=1

_sentenced_ · 11-01-10

καλησπέρα σε όλους. ξέρεις κανεις την απόδειξη για το ΘΜΤ του Cauchy?

Rania. · 11-01-10

Θεωρουμε τις συναρτησεις F(x)=f(x)-f(a)-[g(x)-g(a)] $\frac{f'(a)}{g'(a)}, G(x)={x-a}^{2}$
Οι συναρτησεις αυτες ειναι παραγωγισιμες στο [a,b) και G'(x) $\neq0$ στο (a,b)
Για g(x) $\neq$ g(a) ειναι $f(x)-f(a)=g(x)-g(a)]\frac{f'(c)}{g'(c)}$ οποτε εχουμε:
$K=\lim\frac{F(x)}{G(x)}$
και αντικατασταση τα απο πανω, για χ->a
Που με απλοποιησεις κλπ παιρνουμε τη ζητουμενη σχεση $\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

Αν το θες πιο αναλυτικα, ψαξε google

lowbaper92 · 11-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
a) f'(x)neq 0 -> f'(x)>0 ή f'(x)<0 -> γν.μονοτονη
β)στην σχεση θετω f(x) =0 και εχω f(2-x)=0 αλλα η f ειναι 1-1 αρα 2-x=x αρα x=1 και ειναι μοναδικο αφου ειναι γν.μονοτονη
γ) Αρκει νδο g'(1)=1

Επιμένω οτι εναλλακτικά θέτεις x=1 οποτε f(1)=0

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από aparadektos7:
Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο IR με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:
f(x) = -f(2-x) και f ΄(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ IR .
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη .

β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα.

γ. Έστω η συνάρτηση g(x)= f(x)/f ' (x)
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45ο

Μπορειτε να με βοηθησετε με την λύση;

Προσοχή στο (γ) πρέπει να πας με όριο

_sentenced_ · 11-01-10

και γω με αυτή τη σχέση ξεκινάω αλλά κάπου μέσα στο όριο κολλάω και δεν φτάνω στο ζητούμενο...

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος