Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

MADlen · 2009-12-27T03:21:44+0200

Ευχαριστώ, πραγματικά ήταν απλό.
Κάτι ακόμα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,2] για την οποία ισχύουν:
f(1)=f(2) - 7/3, f '(1)>4, να αποδείξετε ότι:
α) Υπάρχει τουλ. ένα κ στο (1,2), τέτοιο ώστε $f' (\kappa ) = {\kappa }^{2}$
β) Υπάρχει τουλ. ένα λ στο (1,2), τέτοιο ώστε $f' (\lambda ) = 4{\lambda }$

Το πρώτο βγαίνει με rolle αν θέσουμε $g(x) = f(x)-\frac{1}{3}{x}^{3}$ .
Το δεύτερο θα έβγαινε πολύ ωραία με bolzano αν μας έλεγε ότι η f ' είναι συνεχής, και θέταμε h(x)=f '(x) - 4x. Δε μας το λέει όμως. Πώς βγαίνει λοιπόν;

Και
Δίνεται συνάρτηση f 2 φορές παραγωγίσιμη στο [1,e] με $f(1)=2$ , $f(e)=e+1$ και σύνολο τιμών το [-1,4]
Να αποδείξετε ότι:
α)Υπάρχουν τουλ. δύο τιμές ${x}_{1} , {x}_{2} \epsilon \left(1,e \right)$ με ${x}_{1}\neq {x}_{2}$ ώστε $f'\left({x}_{1} \right)=f'\left({x}_{2} \right)=0$
β)Υπάρχει τουλ. ένα ${x}_{0}\epsilon \left(1,e \right): f''\left({x}_{0} \right)=0$
γ)Υπάρχει τουλ. ένα $\xi \epsilon \left(1,e \right): f\left(\xi \right)\left[f'\left(\xi \right)-4{f}^{4}\left(\xi \right) \right]={x}_{0}\xi$

Θέλω βοήθεια στο γ ερώτημα. Τα δύο πρώτα έχουν βγει.

asap · 2009-12-27T10:40:06+0200

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Την ελυσα τη δευτερη.
Παραγωγισε και τα 2 μελη ως προς χ, και κοιταξε πως μπορεις να κανεις αντικατασταση απο την αρχικη σχεση.
Μετα θεσε ψ=0 και θα βγαλεις μια σχεση οπου θα δεις οτι αρκει να δειξεις f'(0)=f(0) που βγαινει ευκολα.
Η τελικη σου σχεση θα βγει f(x)=f'(x) που απο συνεπειες ΘΜΤ, σου δινει f(x)=ce^x. Ξερεις οτι f(1)=e, αρα e=ce <=> c=1, αρα f(x)=e^x.

Δεν μου βγάινει,εκτος και αν κανω λαθος την παραγωγο,αυτή είναι->
f'(x)f(y)=f'(x+y)

Rania. · 2009-12-27T11:55:06+0200

Σωστη ειναι.
Κανε αντικατασταση το f(y) απο την αρχικη σχεση και μετα ακολουθησε τα βηματα που σου δινω.
Επισης την εχει λυσει και στην πισω σελιδα ο Σταυρος, δες τη δικη του λυση αν σε διευκολυνει.

lowbaper92 · 2009-12-27T13:48:15+0200

Αρχική Δημοσίευση από MADlen:
Θεωρούμε τη συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,2] για την οποία ισχύουν:
f(1)=f(2) - 7/3, f '(1)>4, να αποδείξετε ότι:
α) Υπάρχει τουλ. ένα κ στο (1,2), τέτοιο ώστε $f' (kappa ) = {kappa }^{2}$
β) Υπάρχει τουλ. ένα λ στο (1,2), τέτοιο ώστε $f' (lambda ) = 4{lambda }$

Το πρώτο βγαίνει με rolle αν θέσουμε $g(x) = f(x)-frac{1}{3}{x}^{3}$ .
Το δεύτερο θα έβγαινε πολύ ωραία με bolzano αν μας έλεγε ότι η f ' είναι συνεχής, και θέταμε h(x)=f '(x) - 4x. Δε μας το λέει όμως. Πώς βγαίνει λοιπόν;

Με Bolzano στο [1,κ] βγαινει..αποκλείεται να βγανει αλλιως,γι'αυτο αλλωστε σου δινει το f'(1)>4

cyclops · 2009-12-27T14:10:37+0200

Γεια σας και χρονια πολλα εχω δυο σοβαρα προβληματα με δυο ασκησεις
1) Εστω η συναρτηση f:R->R με f(0)=0.Αν f '(1)=3 να βρειτε
$\lim_{+apeiro}xf\left(\frac{1}{x} \right)=f '(0)$

2) Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο Χο=1 και ισχυει f^2(x)+g^2(x)=2x^2 για καθε $X\in R$ ΝΔΟ $[f'(0)]^2+[g'(0)]^2=2$

riemann80 · 2009-12-27T15:47:03+0200

2) βοηθεια...απεδειξε πρωτα (ευκολα) οτι f(0)=g(0)=0.μετα διαιρεσε με χ (διαφορο του 0 ) και παρε το οριο στο 0.

blacksheep · 2009-12-27T15:53:43+0200

1)θετεις το 1/χ=ψ οταν το χ τεινει στο +απειρο το ψ τεινει στο ο
οποτε θα σου βγει limf(y)/y=limf(y)-f(0)/y-0=f'(0)

2)εχεις ηδη μια βοηθεια αν δεν μπορεσεις πες μου.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
2) βοηθεια...απεδειξε πρωτα (ευκολα) οτι f(0)=g(0)=0.μετα διαιρεσε με χ (διαφορο του 0 ) και παρε το οριο στο 0.

Να σας ρωτησω κατι.
Η εκφωνηση της ασκησης δε θα πρεπε να λεει παραγωγισιμες f,g στο χ0=0?και οχι στο χ0=1

exc · 2009-12-27T16:00:36+0200

2) βοηθεια...απεδειξε πρωτα (ευκολα) οτι f(0)=g(0)=0.μετα διαιρεσε με χ (διαφορο του 0 ) και παρε το οριο στο 0.

Αυτό δεν είναι βοήθεια... Είναι η λύση...
Αλήθεια πάντως υπάρχει άλλος τρόπος να λυθεί;
---

1)θετεις το 1/χ=ψ οταν το χ τεινει στο +απειρο το υ τεινει στο ο
οποτε θα σου βγει limf(y)/y=limf(y)-f(0)/y-0=f'(0)

Η άσκηση ζητά να βρεις την f'(0). Για λύσε την για εξάσκηση.

riemann80 · 2009-12-27T16:01:18+0200

ναι πρεπει να ναι παραγωγισιμες στο 0 ,οχι στο 1

blacksheep · 2009-12-27T16:07:20+0200

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Αυτό δεν είναι βοήθεια... Είναι η λύση...
Αλήθεια πάντως υπάρχει άλλος τρόπος να λυθεί;
---
Η άσκηση ζητά να βρεις την f'(0). Για λύσε την για εξάσκηση.

Ουπς.Δε ζηατει να δειξουμε αυτο/?
Βασικα φταιει λιγο και η διατυπωση.

MADlen · 2009-12-28T17:51:16+0200

Πόσο κάνει το $\lim_{x\rightarrow +\propto } {\left( \frac{{x}^{3}-4x}{{x}^{3}}}\right)^{{x}^{2}}$ ?

Θα μπορούσε να γίνει $\lim_{x\rightarrow +\propto } {\left( \frac{{x}^{3}\left(1-\frac{4}{{x}^{2}} \right)}{{x}^{3}}\right)}^{{x}^{2}}<br />$ , να φύγουν τα ${x}^{3}$ και να μείνει $\lim_{x\rightarrow +\propto } \left(1-\frac{4}{{x}^{2}} \right)={1}^{+\propto }$

Αλλά ${1}^{+\propto }$ κάνει 1?

ledzeppelinick · 2009-12-28T18:16:01+0200

Αρχική Δημοσίευση από MADlen:
Πόσο κάνει το $lim_{xrightarrow +propto } {left( frac{{x}^{3}-4x}{{x}^{3}}}right)^{{x}^{2}}$ ?

Θα μπορούσε να γίνει $lim_{xrightarrow +propto } {left( frac{{x}^{3}left(1-frac{4}{{x}^{2}} right)}{{x}^{3}}right)}^{{x}^{2}}<br />$ , να φύγουν τα ${x}^{3}$ και να μείνει $lim_{xrightarrow +propto } left(1-frac{4}{{x}^{2}} right)={1}^{+propto }$

Αλλά ${1}^{+propto }$ κάνει 1?

Αυτό το όριο είναι απροσδιόριστη μορφή που δεν μπορεί να λυθεί με λυκειακές γνώσεις!!

exc · 2009-12-28T18:38:49+0200

Όντως είναι κάτι που δεν διδάσκεται στο λύκειο -από ό,τι θυμάμαι- παρόλα αυτά δεν είναι κάτι δύσκολο.
Καταρχάς να πω (στον προ-προηγούμενο) ότι είναι λάθος να βρεις το όριο που βρίσκεται εντός της δύναμης και μετά να το υψώσεις στη δύναμη και να βρεις το τελικό όριο.

Πρέπει να κάνεις το εξής:
$y=(\frac{x^3-4x}{x^3})^{x^2}=(1-4x^{-2})^{x^2}\\lny=x^2ln(1-x^{-2})=\frac{ln(1-x^{-2})}{x^{-2}}$

Εφαρμόζεις τον κανόνα Hospital για να βρεις το $\frac{ln(1-x^{-2})}{x^{-2}}$ και θα βρεις εδώ ότι ισούται με -4. Άρα:

$lny=-4\\y=e^{-4}$

@nastasia · 2009-12-28T18:58:38+0200

μπορει καποιος να με βοηθησει να βρω την αντιστροφη της : f(x)=συν2x-x
???
εχω αποδειξει οτι αντιστρεφεται... xε(0,π/2)

dianechristy · 2009-12-28T19:09:19+0200

Αρχική Δημοσίευση από @nastasia:
μπορει καποιος να με βοηθησει να βρω την αντιστροφη της : f(x)=συν2x-x
???
εχω αποδειξει οτι αντιστρεφεται... xε(0,π/2)

ειναι συν(2χ-χ) ή συν2χ -χ?

agrotismonos · 2009-12-28T19:17:19+0200

Λογικά είναι συν2x -x αλλιώς θα ήταν εύκολο... Έχουμε κανέναν μαθηματικό;

Chris1993 · 2009-12-28T19:17:28+0200

Λογικά το 2ο που είπες θα είναι !

agrotismonos · 2009-12-28T19:19:39+0200

μη μου πεις εσύ Β λυκείου ότι κάνεις αντίστροφες

Chris1993 · 2009-12-28T19:22:16+0200

Η απλή λογική είναι !
Είναι σαν να είχε πχ να βρεθεί το π.ο : $\sqrt{2x - x}$ δηλαδή $\sqrt{x}$ !
Δεν μου κάθεται καλά

Σαν άσκηση !
Ενώ η συν2x - x , φαίνεται πιο πολύπλοκη !
Αλλά και πάλι θα έγραφε συν(2x - x) , διαφορετικά !
Είναι ξεκάθαρο νομίζω !

MADlen · 2009-12-28T21:58:20+0200

Βγαίνει με λυκειακές γνώσεις. Αφού το έβγαλα.

Γίνεται $\lim_{x\rightarrow +\propto } {\left( \frac{{x}^{3}-4x}{{x}^{3}}}\right)^{{x}^{2}} = \lim_{x\rightarrow +\propto } {e}^{{x}^{2}\ln \frac{{x}^{3}-4x}{{x}^{3}}}$

και μετά από υπολογισμούς βγαίνει ${e}^{-4}$

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος