Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Rania. · 2009-09-01T21:13:46+0300

Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο χ0=1, f(1)-g(1)=1 και για καθε χ ανηκει R ειναι $f(x)\leq g(x) + {x}^{2}$ , να δειξετε οτι f΄(1)-g΄(1)=2.

blacksheep · 2009-09-01T21:27:26+0300

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο χ0=1, f(1)-g(1)=1 και για καθε χ ανηκει R ειναι $f(x)leq g(x) + {x}^{2}$ , να δειξετε οτι f΄(1)-g΄(1)=2.

......

γραψτε λαθος,συγνωμη

Semfer · 2009-09-01T21:35:20+0300

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο χ0=1, f(1)-g(1)=1 και για καθε χ ανηκει R ειναι $f(x)leq g(x) + {x}^{2}$ , να δειξετε οτι f΄(1)-g΄(1)=2.

Με θ. Fermat

$h(x)=f(x)-g(x)-x^2\leq h(1)$ για καθε x?R.

Αρα απο το θ. Fermat εχουμε

$h'(1)=0$

blacksheep · 2009-09-01T21:42:34+0300

εισαι σιγουρος οτι η κοπελα εχει κανει ακροτατα και Fermat?

ledzeppelinick · 2009-09-01T21:47:46+0300

Αρχική Δημοσίευση από blacksheep:
......

ισχυει f'(x)<=g'(x) +2x

ΓΙΑ Χ=1 εχουμε f'(1)<=g'(1) +2

για χ=1 ομως ισχυει μονο η ισοτητα και οχι το >

αρα,η δοθεισα γινεται
f'(1) -g'(1)=2

:nono::nono: ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ να παραγωγισεις ανισοτητα!!!!
Θεωρουμε συναρτηση $h(x)=f(x)-g(x)-x^2$
παρατηρουμε ομως οτι $h(1)=0$ αφου απο υποθεση $f(1)-g(1)=1\Leftrightarrow h(1)=f(1)-g(1)-1^2=0$
και επισης ισχυει απο υποθεση:
$h(x)\geq 0\Leftrightarrow h(x)\geq h(1)$ (Ορισμος ελαχιστου)
Η h παρουσιαζει ακροτατο χτο χο=1 , ειναι παραγωγισιμη σ αυτο και επισης το χο=1 ειναι εσωτερικο σημειο του πεδιου ορισμου της! Τηρουνται λοιπον ολες οι προϋποθεσεις του Θ. Fermat και ετσι ισχυει $h'(1)=0\Leftrightarrow f'(1)-g'(1)-2\times (1)=0\Leftrightarrow f'(1)-g'(1)=2$ αφου η παραγωγος του $x^2$ ειναι $2x$

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από blacksheep:
εισαι σιγουρος οτι η κοπελα εχει κανει ακροτατα και Fermat?

Λογικα αν εχει μπει στις παραγωγους θα εχει κανει Fermat.. :hmm:

Metal-Militiaman · 2009-09-01T21:54:03+0300

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο χ0=1, f(1)-g(1)=1 και για καθε χ ανηκει R ειναι $f(x)leq g(x) + {x}^{2}$ , να δειξετε οτι f΄(1)-g΄(1)=2.

Δεύτερος τρόπος σε περίπτωση που δεν έχεις διδακτεί το θεώρημα Fermat.

Αρχικά θέτουμε,για λόγους ευκολίας, $h(x)=f(x)-g(x)$
Άρα
$h(1)=f(1)-g(1)$ και $h(x)\leq {x}^{2}$

$\Rightarrow h(x)-1\leq{x}^{2}-1$

$\Rightarrow h(x)-h(1)\leq{x}^{2}-1$

Aν $x<1$ και $x\rightarrow {1}^{-}$ τότε

$\frac{h(x)-h(1)}{x-1}\geq x+1$ $\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow {1}^{-}}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}\geq \lim_{x\rightarrow {1}^{-}}x+1\Leftrightarrow {h '}_{-}(1)\geq 2 , (1)$

Aν $x>1$ και $x\rightarrow {1}^{+}$ τότε

$\frac{h(x)-h(1)}{x-1}\leq x+1$ $\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow {1}^{+}}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}\leq \lim_{x\rightarrow {1}^{+}}x+1\Leftrightarrow {h '}_{+}(1)\leq 2 , (2)$

όμως το όριο $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}$ υπάρχει ( από υπόθεση) άρα ${h '}_{-}(1)={h '}_{+}(1) , (3)$ (Αφού oι $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο 1)

Λόγω των $(1) , (2), (3) h '(1)=f '(1)-g'(1)=2$

ledzeppelinick · 2009-09-01T22:02:07+0300

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Δεύτερος τρόπος σε περίπτωση που δεν έχεις διδακτεί το θεώρημα Fermat.

Αρχικά θέτουμε,για λόγους ευκολίας, $h(x)=f(x)-g(x)$
Άρα
$h(1)=f(1)-g(1)$ και $h(x)leq {x}^{2}$

$Rightarrow h(x)-1leq{x}^{2}-1$

$Rightarrow h(x)-h(1)leq{x}^{2}-1$

Aν $x<1$ και $xrightarrow {1}^{-}$ τότε

$frac{h(x)-h(1)}{x-1}geq x+1$ $Leftrightarrow lim_{xrightarrow {1}^{-}}frac{h(x)-h(1)}{x-1}geq lim_{xrightarrow {1}^{-}}x+1Leftrightarrow {h '}_{-}(1)geq 2 , (1)$

Aν $x>1$ και $xrightarrow {1}^{+}$ τότε

$frac{h(x)-h(1)}{x-1}leq x+1$ $Leftrightarrow lim_{xrightarrow {1}^{+}}frac{h(x)-h(1)}{x-1}leq lim_{xrightarrow {1}^{+}}x+1Leftrightarrow {h '}_{+}(1)leq 2 , (2)$

όμως το όριο $lim_{xrightarrow 1}frac{h(x)-h(1)}{x-1}$ υπάρχει ( από υπόθεση) άρα ${h '}_{-}(1)={h '}_{+}(1) , (3)$ (Αφού oι $f$ και $g$ είναι παραγωγίσημες στο 1)

Λόγω των $(1) , (2), (3) h '(1)=f '(1)-g'(1)=2$

Νομιζω πως αυτος ειναι ο πιο σωστος τροπος γιατι ετσι παιρνεις τα ορια της παραγωγου στο 1 που ειναι πιο σωστο γιατι σου λεει οτι μονο εκει ειναι παραγωγισιμη!! Σ ευχαριστουμε πολυ

:thanks::no1:

Semfer · 2009-09-01T22:24:51+0300

και οι δυο τροποι ειναι σωστοι...

Rania. · 2009-09-01T22:26:46+0300

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Δεύτερος τρόπος σε περίπτωση που δεν έχεις διδακτεί το θεώρημα Fermat.

Αρχικά θέτουμε,για λόγους ευκολίας, $h(x)=f(x)-g(x)$
Άρα
$h(1)=f(1)-g(1)$ και $h(x)leq {x}^{2}$

$Rightarrow h(x)-1leq{x}^{2}-1$

$Rightarrow h(x)-h(1)leq{x}^{2}-1$

Aν $x<1$ και $xrightarrow {1}^{-}$ τότε

$frac{h(x)-h(1)}{x-1}geq x+1$ $Leftrightarrow lim_{xrightarrow {1}^{-}}frac{h(x)-h(1)}{x-1}geq lim_{xrightarrow {1}^{-}}x+1Leftrightarrow {h '}_{-}(1)geq 2 , (1)$

Aν $x>1$ και $xrightarrow {1}^{+}$ τότε

$frac{h(x)-h(1)}{x-1}leq x+1$ $Leftrightarrow lim_{xrightarrow {1}^{+}}frac{h(x)-h(1)}{x-1}leq lim_{xrightarrow {1}^{+}}x+1Leftrightarrow {h '}_{+}(1)leq 2 , (2)$

όμως το όριο $lim_{xrightarrow 1}frac{h(x)-h(1)}{x-1}$ υπάρχει ( από υπόθεση) άρα ${h '}_{-}(1)={h '}_{+}(1) , (3)$ (Αφού oι $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο 1)

Λόγω των $(1) , (2), (3) h '(1)=f '(1)-g'(1)=2$

:thanks:
Δεν εχω κανει fermat, χτες μπηκαμε παραγωγους.

stratos_man · 2009-09-01T22:32:02+0300

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
Εστω $z=x+yi$ τοτε:
$left|(x+yi)(1-i)+2 right|=2Leftrightarrow left|x-xi+yi+y+2 right|=2Leftrightarrow |(x+y+2)+(y-x)i|=2Leftrightarrow sqrt{(x+y+2)^2+(y-x)^2}=2Leftrightarrow left[(x+y)+2 right]^2+(y-x)^2=4Leftrightarrow (x+y)^2+4(x+y)+4+y^2-2xy+x^2=4Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+4x+4y+y^2-2xy+x^2=0Leftrightarrow 2x^2+2y^2+4x+4y=0Leftrightarrow x^2+y^2+2x+2y=0Leftrightarrow x^2+2x+1+y^2+2y+1=2Leftrightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=2$
Δηλαδη ο Γ.τ. των εικονων ειναι κυκλος με κεντρο Κ(-1,-1) και $varrho =sqrt{2}$

εκανα το λαθος εκει που εβγαλες το 2 απο την παρενθεση και το υψωσες ολο σε {

} εγω πηγαινα για ταυτοτητα.!!!! :jumpy:

leobakagian · 2009-09-02T12:43:43+0300

1.Άν z=1-i και w=(z-2)/(z^4) να δείξετε ότι 4|w|=|z|
2.Άν z*z(συζυγής)=1 να βρείτε το μέτρο του w=(z^2-iz)/(1+iz)

Rania. · 2009-09-02T12:47:35+0300

Ελα ρε συ τι σε ζοριζει σε αυτη. Το μετρο του z ειναι ριζα 2. Κανεις αντικατασταση οπου z=1-i στον w και βρισκεις το μετρο του. Λογικα θα το βρεις και αυτο 4 ριζα 2 και ολα καλα.
Αν περιμενεις και κανα δεκαλεπτο μπορω να στη γραψω κι ολας :p

Ωπ τωρα ειδα και το δευτερο. Σε ενα τεταρτακι στα εχω και τα δυο ετοιμα γραμμενα. μισο :p

Λοιπον, το i)

$w=\frac{z-2}{{z}^{4}} = \frac{1-i-2}{{(1-i)}^{4}} = \frac{-1-i}{[{(1-i)}^{2}]^{2}} = \frac{-1-i}{{(-2i)}^{2}} = \frac{-1-i}{-4} = \frac{1+i}{4} <=> |w| = \frac{|1+i|}{4} <=> |w| = \frac{\sqrt{2}}{4} <=> 4 |w| = \sqrt{2}$ όμως ριζα 2 ειναι το |z|, οποτε.

leobakagian · 2009-09-02T12:57:25+0300

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Ελα ρε συ τι σε ζοριζει σε αυτη. Το μετρο του z ειναι ριζα 2. Κανεις αντικατασταση οπου z=1-i στον w και βρισκεις το μετρο του. Λογικα θα το βρεις και αυτο 4 ριζα 2 και ολα καλα.
Αν περιμενεις και κανα δεκαλεπτο μπορω να στη γραψω κι ολας :p

Ωπ τωρα ειδα και το δευτερο. Σε ενα τεταρτακι στα εχω και τα δυο ετοιμα γραμμενα. μισο :p

Ευχαριστώ πολύ...Λαθη μ@@@κειας... Έπαιρνα ότι |z|=α^2+β^2...Δέν χρειάζεται να τις γράψεις...θα τις βγάλω μόνος μου...Μην σε κουράζω τσάμπα...

Rania. · 2009-09-02T13:02:28+0300

χαχαχα πολυ αργα, το i το εγραψα ηδη. Δες το, μην νιωθω οτι το κανα τζαμπα. :p

leobakagian · 2009-09-02T13:08:31+0300

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
χαχαχα πολυ αργα, το i το εγραψα ηδη. Δες το, μην νιωθω οτι το κανα τζαμπα. :p

Το είδα...

Ευχαριστώ πολύ...

coheNakatos · 2009-09-02T16:50:26+0300

Αρχική Δημοσίευση από leobakagian:
1.Άν z=1-i και w=(z-2)/(z^4) να δείξετε ότι 4|w|=|z|
2.Άν z*z(συζυγής)=1 να βρείτε το μέτρο του w=(z^2-iz)/(1+iz)

2) $|w|=\frac{|{z}^{2}-iz|}{|1+iz|}=\frac{|z||z-i|}{|i||z-i|}\Leftrightarrow |w|=1$

kampi-kampi · 2009-09-02T17:54:10+0300

αυτος ο μπαρλας!!! γκρρρρ :mad:

1.εστω ο μιγαδικος z(διαφορος του 0).ν.δ.ο ο w=z/|z|+|z|/z ειναι πραγματικος
2.εστω zεC αν w=z+1/z ν.δ.ο wεR,zεR ή |z|=1
χελπ!

Rania. · 2009-09-02T18:51:08+0300

Για το 1 δοκιμασε να παρεις w=w(συζυγης)

coheNakatos · 2009-09-02T18:52:16+0300

Αρχική Δημοσίευση από kampi-kampi:
αυτος ο μπαρλας!!! γκρρρρ
1.εστω ο μιγαδικος z(διαφορος του 0).ν.δ.ο ο w=z/|z|+|z|/z ειναι πραγματικος
2.εστω zεC αν w=z+1/z ν.δ.ο wεR,zεR ή |z|=1
χελπ!

1) $w=\bar{w}\Leftrightarrow \frac{z}{|z|}+\frac{|z|}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|}+ \frac{|z|}{\bar{z}}$

πολλαπλασιαζεις με $z\bar{z}$ και καταληγεις $z+\bar{z}=\bar{z}+z$

2)ελπιζω να εννοεις αν weR νδο zeR ή |z|=1 ....

$w=\bar{w} \Leftrightarrow \frac{{z}^{2}+1}{z}= \frac{{\bar{z}}^{2}+1}{\bar{z}} \Leftrightarrow z{|z|}^{2}+\bar{z}={|z|}^{2}\bar{z}+z \Leftrightarrow {|z|}^{2}(z-\bar{z})-(z-\bar{z}) \Leftrightarrow ({|z|}^{2}-1)(z-\bar{z})=0$

Αρα $|z|=1$ ή $z\varepsilon R$

ledzeppelinick · 2009-09-02T18:57:00+0300

Αρχική Δημοσίευση από kampi-kampi:
αυτος ο μπαρλας!!! γκρρρρ
1.εστω ο μιγαδικος z(διαφορος του 0).ν.δ.ο ο w=z/|z|+|z|/z ειναι πραγματικος
2.εστω zεC αν w=z+1/z ν.δ.ο wεR,zεR ή |z|=1
χελπ!

1. Αρκει νδο $w=\bar{w}$ :
$w=\bar{w}\Leftrightarrow \frac{z}{|z|}+\frac{|z|}{z}=\frac{\bar{z}}{|\bar{z}|}+\frac{|\bar{z}|}{\bar{z}}\Leftrightarrow (|\bar{z}|=|z|)\Leftrightarrow \frac{z}{|z|}-\frac{\bar{z}}{|z|}=\frac{|z|}{\bar{z}}-\frac{|z|}{z}\Leftrightarrow \frac{z-\bar{z}}{|z|}=-|z|\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar{z}} \right) \Leftrightarrow \frac{2Im(z)i}{|z|}=-|z|\left(2Im(\frac{1}{z}) \right)i$ και εστω $z=x+yi$ δηλαδη $2Im(z)i=2yi$ . Επισης $\frac{1}{z}=\frac{1}{x+yi}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i$
αρα $-2Im\left(\frac{1}{z} \right)=2\frac{y}{x^2+y^2}i$ ετσι η σχεση γινεται

$\frac{2y}{|z|}i=|z|2\frac{y}{x^2+y^2}i\Leftrightarrow 2yi=|z|^22\frac{y}{x^2+y^2}i\Leftrightarrow (|z|^2=x^2+y^2)\Leftrightarrow 2yi=2yi$
που ισχυει αρα $w\epsilon R$

2. Αν μιλαμε για τον ιδιο w τοτε απο ερωτημα 1. ο wεR και:
$w=z+\frac{1}{z}=x+yi+\frac{1}{x+yi}=x+yi+\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2})i=x(1+\frac{1}{x^2+y^2})+y(1-\frac{1}{x^2+y^2})i$
ομως wεR αρα ή $y=0$ ή $1-\frac{1}{x^2+y^2}=0\Leftrightarrow 1=\frac{1}{x^2+y^2}\Leftrightarrow x^2+y^2=1\Leftrightarrow |z|^2=1\Leftrightarrow |z|=1$
και οταν y=0 αφου z=x+yi τοτε και $z\epsilon R$

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος