Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Cosdel · 12-09-08

Πως γινεται η Διακρινουσα σε τριωνυμο με πραγματικους συντελεστες να βγαινει μιγαδικος αριθμος;; Βασικα δεν λες πως ακριβως ειναι η ασκηση;;;;

Hurr · 12-09-08

$f^2(z)-\overline{z}f(z)-zf(z)+f(z)f(\overline{z})=0 \Leftrightarrow f(z)-\overline{z}-z+f(\overline{z})=0$

Απλοποιείς την f χωρίς να δεις ποτε ειναι μηδεν. Με απλη συνεπαγωγή απο το τελος προς την αρχή και δε θα χε κανενα προβλημα. Η ισοδυναμια ειναι περιττη
Κατα τα αλλα σωστη μου φαινεται

Μια παρατηρηση θελω να κανω ασχετη με την ορθοτητα της λυσης σου:
Αν $(f(z)-z)(f(z)-\overline{z})=0$ για καθε z στο C
δεν συνεπαγεται
οτι $f(z)=z$ για καθε z στο C
ή $f(z)=\overline{z}$ για καθε z στο C

kvgreco · 12-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Cosdel:
Πως γινεται η Διακρινουσα σε τριωνυμο με πραγματικους συντελεστες να βγαινει μιγαδικος αριθμος;; Βασικα δεν λες πως ακριβως ειναι η ασκηση;;;;

Η άσκηση λέει ότι οι συντελεστές είναι μιγαδικοί.Διάβαζε πιό αργά. :bye:

Να η άσκηση πλήρως διατυπωμένη:
Θεωρούμε την εξίσωση

${a}^{2}{z}^{2}+abz+{c}^{2}=0$ όπου

$a,b,c \epsilon {C}^{*}$ και ${z}_{1}$ , ${z}_{2}$ οι ρίζες της.

Να δείξετε ότι αν $\frac{b}{c}\epsilon R$ τότε

$|{z}_{1}|=|{z}_{2}|$

είτε

$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}} \epsilon R$

zidane4ever · 12-09-08

αχ δυσκολη ειναι δεν μπορεσα να την λυσω πως λυνετε?

Hurr · 12-09-08

Είδα λοιπόν με έκπληξη να μελετάει διακρίνουσα καί να λέει αν Δ<0 τότε θα υπάρχουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες τα γνωστά δηλαδή.Τελείως λάθος πρέπει να είναι αυτό

Όταν οι συντελεστές ειναι μιγαδικοί δεν ισχύει παντα οτι για καθε ριζα και ο συζυγής ειναι ριζα
πχ ${x}^2-i=0$ εχει ριζες τα $\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ και $-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ που φυσικα δεν ειναι συζυγείς
-----------------------------------------
Οι τυποι του Vieta ισχύουν για μιγαδικους συντελεστές.
Δοκιμασε τους

_ann_ · 12-09-08

να ρωτησω κατι ?δεν ξερω ποτε πρεπει να βαζουμε ισοδυναμιες.για το ευθυ και το αντιστροφο,οκ..ποτε αλλοτε?στις εξισωσεις πειραζει αν δεν βαλουμε ισοδυναμια?η σε αλλες σχεσεις που καταληγουμε καπου κ χρησιμοποιουμε σε αυτη που καταληξαμε πειραζει αν δεν βαλω ισοδυναμια?

Hurr · 12-09-08

Αρχική Δημοσίευση από _ann_:
να ρωτησω κατι ?δεν ξερω ποτε πρεπει να βαζουμε ισοδυναμιες.για το ευθυ και το αντιστροφο,οκ..ποτε αλλοτε?στις εξισωσεις πειραζει αν δεν βαλουμε ισοδυναμια?η σε αλλες σχεσεις που καταληγουμε καπου κ χρησιμοποιουμε σε αυτη που καταληξαμε πειραζει αν δεν βαλω ισοδυναμια?

Οταν μετασχηματίζεις τα δεδομενα σου ωστε να φτασεις στο ζητούμενο οι συνεπαγωγές αρκούν. Διοτι ουσιαστικα λένε οτι αν ισχύουν τα δεδομενα σου ισχύει και το ζητουμενο

Αν αρχιζεις την αποδειξη σου απο το ζητουμενο πρεπει να συνεχισεις οπωσδήποτε με ισοδυναμιες ωστε να φτασεις σε μια ισοδυναμη προταση την οποια μπορεις να αποδειξεις.

Αυτα πολυ γενικά

Φιλιον_Τερας · 12-09-08

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Είναι
$(z+bar{z})epsilon RRightarrow f(z+bar{z})=z+bar{z}$
$(zbar{z})epsilon RRightarrow f(zbar{z})=zbar{z}$
Άρα
$(f(z)-z)(f(z)-bar{z}) == f(z)f(z)-zf(z)-bar{z}f(z)+zbar{z}= f(zz)-(z+bar{z})f(z)+f(zbar{z})=f(z^2)-f(z+bar{z})f(z)+f(zbar{z})=f(z^2)-f((z+bar{z})z)+f(zbar{z})=f(z^2-z(z+bar{z})+zbar{z})=f(0)=0$
...

μα το z δεν ανηκει στο r
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από _ann_:
να ρωτησω κατι ?δεν ξερω ποτε πρεπει να βαζουμε ισοδυναμιες.για το ευθυ και το αντιστροφο,οκ..ποτε αλλοτε?στις εξισωσεις πειραζει αν δεν βαλουμε ισοδυναμια?η σε αλλες σχεσεις που καταληγουμε καπου κ χρησιμοποιουμε σε αυτη που καταληξαμε πειραζει αν δεν βαλω ισοδυναμια?

η ισοδυναμια δηλωνει οτι παντα η σχεση σου μπορει να επιστρεψει πισω χωρις προβλημα. δηλαδη μπορεις να φτασεις απο το τελος στην αρχη.

οι μιγαδικοι εμφανιζουν προβληματα στα μετρα για αυτο οταν βαζεις σε μια σχεση μιγαδικων μετρα βαζεις συνεπαγωγη

το σχολικο βιβλιο στις ισοδυναμιες εκφραζεται με ή γιατι λεγεται οτι εχει καταργηθει αυτο το συμβολο

ρωτα τον καθηγητη σου για περισσοτερες πληροφοριες
ειναι λιγο off topic

Cosdel · 13-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Όταν οι συντελεστές δεν ειναι μιγαδικοί δεν ισχύει παντα
πχ ${x}^2-i=0$ εχει ριζες τα $frac{sqrt{2}}{2}(1+i)$ και $-frac{sqrt{2}}{2}(1+i)$ που φυσικα δεν ειναι συζυγείς
-----------------------------------------
Οι τυποι του Vieta ισχύουν για μιγαδικους συντελεστές.
Δοκιμασε τους

Αυτο με την αρνητικη διακρινουσα, ισχυει ΠΑΝΤΑ οταν μιλαμε για τριωνυμο της μορφης:

αx^2 + βx + γ = 0 με α, β, γ ∈ R, και α ≠ 0.

Στο παραδειγμα σου δεν εχεις τετοιο τριωνυμο.

Hurr · 13-09-08

Όταν οι συντελεστές ειναι μιγαδικοι δεν ισχύει παντα! Αυτο ηθελα να πω...
Το διορθωσα τωρα

Cosdel · 13-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Όταν οι συντελεστές ειναι μιγαδικοι δεν ισχύει παντα! Αυτο ηθελα να πω...
Το διορθωσα τωρα

Α τοτε ΟΚ. Εχεις δικιο. Και εγω αυτο ελεγα

zidane4ever · 13-09-08

μου εχει λυθει η απορια

.

manos66 · 15-09-08

Θεωρούμε την συνάρτηση f:C->C με τις επομενες ιδιοτητες:
α)f(z1+z2)=f(z1)+f(z2) για καθε z1,z2 ανήκειC
β)f(z1z2)=f(z1)f(z2) >> >> >>
γ)f(α)=α για καθε α ανηκει R
Να αποδειξετε οτι f(z)=z η f(z)=συζυγή του z.

ΜΙΑ ΑΚΟΜΗ ΛΥΣΗ
$f^2(i)= f (i)^.f(i)= f (i^.i) = f (i^2) = f (-1)= -1 = i^2$
άρα f (i) = i ή f (i) = -i.

:iagree: Αν f (i) = i, τότε :
f (z) = f (α + βi) = f (α) + f (βi) = α + f (β) f(i) = α + βi = z, για κάθε z $\epsilon$ C
:iagree: Αν f (i) = -i, τότε :
f (z) = f (α + βi) = f (α) + f (βi) = α + f (β) f(i) = α - βi = $\bar{z}$ , για κάθε z $\epsilon$ C

ΣΩΣΤΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ από Ηurr
Αν $(f(z)-z)(f(z)-\bar{z})=0$ για καθε z στο C
δεν συνεπαγεται
οτι f (z) = z, για καθε z στο C ή f (z) = $\bar{z}$ για καθε z στο C

manos66 · 15-09-08

ΑΣΚΗΣΗ
Θεωρούμε την εξίσωση

όπου a,b,c $\epsilon C^*$ και

,

οι ρίζες της.

Να δείξετε ότι αν

τότε

είτε

ΛΥΣΗ
Τύποι Vieta

$z_1+z_2=-\frac{ab}{a^2}=-\frac{b}{a}(1)$

$z_1^.z_2=\frac{c^2}{a^2}(2)$

$\frac{b}{c}\epsilon R\Leftrightarrow \frac{b}{c}=\frac{\bar{b}}{\bar{c}} \Leftrightarrow b\bar{c}=\bar{b}c\Leftrightarrow b\bar{c}\epsilon R(3)$

Θα δείξω ότι
$\left| z_1\right|=\left| z_2\right| \eta^{'} \frac{z_1}{z_2}\epsilon R \Leftrightarrow \\z_1\bar{z}_1=z_2\bar{z}_2 \eta^{'} \frac{z_1}{z_2}=\frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} \Leftrightarrow\\z_1\bar{z}_1-z_2\bar{z}_2=0 \eta^{'} z_1\bar{z}_2-z_2\bar{z}_1=0 \Leftrightarrow\\(z_1\bar{z}_1-z_2\bar{z}_2)(z_1\bar{z}_2-z_2\bar{z}_1)=0 \Leftrightarrow\\z_1^2\bar{z}_1\bar{z}_2-z_1z_2\bar{z}_1^2-z_1z_2\bar{z}_2^2+z_2^2\bar{z}_1\bar{z}_2=0 \Leftrightarrow\\ \bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2)-z_1z_2(\bar{z}_1^2+\bar{z}_2^2)=0\Leftrightarrow \\ 2Im(\bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2)i=0 \Leftrightarrow \\\\ Im(\bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2)=0 \Leftrightarrow\\ \bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2)\epsilon R$

Aπό (1) , (2) και (3) έχουμε :
$\bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2) = \frac{\bar{c}^2}{\bar{a}^2}[(z_1+z_2)^2-2z_1z_2]= \frac{\bar{c}^2}{\bar{a}^2}[(-\frac{b}{a})^2-2\frac{c^2}{a^2}]=\frac{(b\bar{c})^2-2\left| c\right|^2}{\left| a\right|^2} \epsilon R$

Hurr · 15-09-08

Μια αλλη λυση
${z}_{1}+{z}_{2}=-\frac{b}{a}\Rightarrow {({z}_{1}+{z}_{2})}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
${z}_{1}{z}_{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$
Με διαιρεση των δυο σχεσεων κατα μελη ( ${z}_{1},{z}_{2},c$ διαφορα του μηδενος)
εχουμε οτι
$\frac{{({z}_{1}+{z}_{2})}^{2}}{{z}_{1}{z}_{2}}=$ $\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$
Επειδη b/c ανήκει στο ΙR
$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}+\frac{{z}_{2}}{{z}_{1}}+2 \epsilon IR\Rightarrow\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}+\frac{{z}_{2}}{{z}_{1}}\epsilon IR$
Θετω $w=\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$
$w+\frac{1}{w}\epsilon IR$
$w+\frac{1}{w}=\overline{w+\frac{1}{w}}$
Μετα απο πραξεις
$(w-\overline{w})({|w|}^{2}-1)=0$
Αρα τελικα $w=\overline{w}$ (w ανηκει στο IR) η $|w|=1$
Με αντικατασταση του w με τo z1/z2 εχουμε το ζητουμενο

serina · 23-09-08

Θα ήθελα την βοήθειά σας διότι παιδεύτηκα με αυτές τις 2...

Aν ${z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in C*$ και ισχύει $\left|{z}_{1} \right|=\left|{z}_{2} \right|=\left|{z}_{3} \right|= 1$ τότε:

α) Να αποδείξετε ότι $\bar{z1}= \frac{1}{z1}$ (είναι ${z}_{1}$ κανονικά αλλά δεν βρήκα πως θα μπορέσω να το γράψω στο φόρουμ)

β) Να αποδείξετε ότι
$\left|{z}_{1} + {z}_{2} + {z}_{3}\right| = \left|\frac{1}{z}_{1} + \frac{1}{z}_{2} + \frac{1}{z}_{3}\right|$

γ) Αν $w= \frac{{z}_{1} + {z}_{2} +{z}_{3}}{{z}_{1}{z}_{2} + {z}_{1}{z}_{3} + {z}_{2}{z}_{3}}$ τότε ισχύει $\left|w\right|= 1$

Άσκηση 2

1)Να βρεθεί ο γτ των εικόνων M(z) των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει $z\bar{z} + i(z-\bar{z}) = 2$
Απ. Κ (0,1) κ ρ= $\sqrt{3}$

2) Να βρείτε ποιοι από τους προηγούμενους μιγαδικούς έχουν ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο

manos66 · 23-09-08

ασκηση 1
α) $\left|z_1 \right|=1\Leftrightarrow \left|z_1 \right|^2=1\Leftrightarrow z_1\bar{z}_1=1\Leftrightarrow \bar{z}_1=\frac{1}{z_1}$

β) Όμοια :
$\bar{z}_2=\frac{1}{z_2}$
$\bar{z}_3=\frac{1}{z_3}$

$\left|z_1+z_2+z_3 \right|=\left|\ ^\frac{}{z_1+z_2+z_3} \right|=\left|\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3 \right|=\left|\ \frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3} \right|$

$\gamma) \left|z_1+z_2+z_3 \right|=\left|\ \frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3} \right|= \left|\ \frac{z_2z_3+z_1z_2+z_1z_3}{z_1z_2z_3} \right|=\frac{\left|\ z_2z_3+z_1z_2+z_1z_3 \right|}{\left|z_1 \right|\left|z_2 \right|\left|z_3 \right|}\\= \left|\ z_2z_3+z_1z_2+z_1z_3 \right|$

$\left|w \right|=\left|\frac{z_1+z_2+z_3}{z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1} \right|= \frac{\left|z_1+z_2+z_3\right|}{\left|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1\right|}= 1$
-----------------------------------------
ασκηση 2
α) z = x + yi
$z\bar{z} + i(z-\bar{z})= 2\Leftrightarrow x^2+y^2+i^.2yi=2\Leftrightarrow x^2+y^2-2y=2\Leftrightarrow x^2+y^2-2y+1=3\Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=\sqrt{3}^2$
άρα ο ζητούμενος γ.τ. είναι κύκλος με κέντρο Κ(0,1) και ακτίνα ρ= $\sqrt{3}$

β) Κάνοντας σχήμα βρίσκουμε ότι :

ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο
$z_1=(1-\sqrt{3})i$
ενώ ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι ο
$z_2=(1+\sqrt{3})i$

miv · 23-09-08

Χαλαρές είναι και οι δύο και συνήθως από τις κλασικές που μπαίνουν δεύτερο θέμα.

serina · 23-09-08

Τώρα που τις βλέπω όντως... Δεν έχω ιδέα γιατί κολλησα... :what:

Μάλλον είχε πήξει το μυαλό μου και δεν τις ξανακοίταξα μετά!

Πάντως ευχαριστώ πάρα πολύ!!!:thanks:

Boom · 25-09-08

εχω μια ασκηση στους μιγαδικους για αυριο..οποιος μπορεσει ας βοηθησει..

αν για τους μιγαδικους z,w ισχυει |z-w|=|z|+|w| να αποδειξετε οτι ο μιγαδικος u=z/w ειναι αρνητικος πραγματικος αριθμος

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος