Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[vimaproto]

παιδια μπορει καποιος να μου πει πως λυνεται αυτο: Α=χ/ΙχΙ- ριζα χ^2/χ αν χ διαφορο του 0

Προφανώς εννοείς ποια είναι η τιμή του Α.
Οταν ο χ δεν είναι μηδέν το κλάσμα
Αρα Α=0

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[IasonasM]

Η f έχει πεδίο ορισμού το A=R.
Για κάθε x1, x2 ανήκει R με f(x1)=f(x2) ισχύει (f(x1)^3)=(f(x2)^3), οπότε (f(x1)^3)+f(x1)=(f(x2)^3)+f(x2) => x1=x2.
Άρα η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε x ανήκει Α, y ανήκει f(A) ισχύει y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

Επομένως (f-1)(y)=(y^3)+2y. Παρατηρούμε ότι η f-1 έχει πεδίο ορισμού το f(A)=R και πεδίο τιμών το A=R. Η f-1 είναι συνεχής στο f(A), οπότε και η f είναι συνεχής στο A.

(f-1)(0)=0 <=> f(0)=0

f συνεχής στο A => f συνεχής στο 0 => lim(x->0)f(x)=f(0)=0

Αυτό γιατί ισχύει;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[panabarbes]

Αυτό γιατί ισχύει;

Δεν είχα σκοπό να αφήσω απάντηση στο θέμα, αλλά ακριβώς την ίδια σκέψη έκανα και εγώ.

Γραφικά μπορείς να καταλάβεις ότι ισχύει, αν πάρεις την συμμετρική γραφική παράσταση μιας οποιασδήποτε f συνεχούς ως προς την ευθεία y=x. (με τον όρο ότι η f είναι ''1-1'' πάντα)

Παρ'όλα αυτά, στο σχολικό βιβλίο δεν τεκμηριώνεται κάπου ως θεωρία και,για τον λόγο αυτό, δεν ξέρω κατά πόσο είναι αποδεκτό στις εξετάσεις.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αυτό γιατί ισχύει;

Είναι θεώρημα: Αν η f είναι αντιστρέψιμη και συνεχής στο x0 τότε η f-1 είναι συνεχής στο f(x0).

Η απόδειξη είναι απλή και την έχω γράψει παλαιότερα σε αυτή τη συζήτηση. Για να το χρησιμοποιήσεις στις πανελλήνιες εξετάσεις πρέπει να το αποδείξεις πρώτα.

Παρ'όλα αυτά, στο σχολικό βιβλίο δεν τεκμηριώνεται κάπου ως θεωρία και,για τον λόγο αυτό, δεν ξέρω κατά πόσο είναι αποδεκτό στις εξετάσεις.

Στην τελευταία σελίδα των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων γράφει:

Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[IasonasM]

Γραφικά μπορείς να καταλάβεις ότι ισχύει, αν πάρεις την συμμετρική γραφική παράσταση μιας οποιασδήποτε f συνεχούς ως προς την ευθεία y=x. (με τον όρο ότι η f είναι ''1-1'' πάντα)

Ναι, γραφικά "φαίνεται" αλλά, όπως αναφέρεις, χωρίς απόδειξη δεν ...

Είναι θεώρημα: Αν η f είναι αντιστρέψιμη και συνεχής στο x0 τότε η f-1 είναι συνεχής στο f(x0).

Σου βρίσκεται πρόχειρα η απόδειξη ή το που περίπου είναι η απόδειξη γιατί είναι και 230+ σελίδες thread

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[panabarbes]

Είναι θεώρημα: Αν η f είναι αντιστρέψιμη και συνεχής στο x0 τότε η f-1 είναι συνεχής στο f(x0).

Η απόδειξη είναι απλή και την έχω γράψει παλαιότερα σε αυτή τη συζήτηση. Για να το χρησιμοποιήσεις στις πανελλήνιες εξετάσεις πρέπει να το αποδείξεις πρώτα.



Στην τελευταία σελίδα των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων γράφει:

Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Δεν είπα κάτι διαφορετικό.

Είπα ότι δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο, δηλαδή δεν μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε αυθαίρετα και να το δεχτούν = θα χρειαστεί να αποδειχθεί προηγουμένως!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Σου βρίσκεται πρόχειρα η απόδειξη ή το που περίπου είναι η απόδειξη γιατί είναι και 230+ σελίδες thread

Είναι απλή και καλό θα ήταν να την προσπαθήσεις μόνος σου ως άσκηση.

Η f με πεδίο ορισμού Α είναι αντιστρέψιμη, οπότε
y=f(x) <=> x=(f-1)(y), x ανήκει A, y ανήκει f(A)

Η f είναι συνεχής στο x0 ανήκει A => lim(x->x0)f(x)=f(x0). Θέτουμε y0=f(x0) <=> x0=(f-1)(y0).

Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητής x=(f-1)(y). Έχουμε:
lim(y->y0)(f-1)(y)=lim(x->x0)x=x0=(f-1)(y0)

Άρα lim(y->y0)(f-1)(y)=(f-1)(y0) που σημαίνει ότι η f-1 είναι συνεχής στο y0=f(x0).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[IasonasM]

Ευχαριστώ πολύ. Το προσπάθησα αλλά είχα κολλήσει σε αυτό το σημείο :

lim(y->y0)(f-1)(y)=lim(x->x0)x

Γιατί όντως όταν x->x0 τότε y->y0 αλλά δεν γνωρίζω το αντίστροφο για να αλλάξω μεταβλητή.
Βέβαια αν ξεκινήσω από το δεξί μέλος της ισότητας μου φαίνεται οκ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Διονύσης13]

Καταρχην την ασκηση την εχω λυσει, οποτε μαλλον επρεπε να την βαλω στο αλλο θεμα. Εγω εκανα το εξης και απεφυγα το παραπανω. Εκει που βρισκουμε τον τυπο της f-1 εφαρουμε, οποτε εχουμε f(x^3 + 2x)=x αρα επεται οτι limf(x^3+2x) οταν x-->0 κανει μηδεν. Θετω u= χ^3 + 2χ και το βγαζω.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[M@r!@n@]

εστω f παραγωγίσιμη σε όλο το R και για καθε xeR ισχύει f(x + x^3) = 1 + x^3 να βρεθει η εφαπτομενη της Cf στο 2..εχω βρει το f(2) αλλα κολλησα στο οριο του λογου μεταβολλής!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[panabarbes]

Εφόσον η συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R και αφού η συνάρτηση g(x)=x+x^3 είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική, τότε ορίζεται και είναι παραγωγίσιμη στο R η σύνθεση των f και g.Επίσης, η πολυωνυμική στο δεξί μέλος είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R. Επομένως παραγωγίζοντας την σχέση κατά μέλη προκύπτει:

f'(x+x^3)(3x²+1)=3x² , για κάθε xεR

Επομένως για x=1: 4f'(2)=3 άρα f'(2)=3/4

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[mary-blackrose]

View attachment 55095

View attachment 55096

View attachment 55097
Γεια σας..προσπαθω εδω και πολλες ωρες τις παραπανω ασκησεις....οποιος μπορει ας βοηθησει..pleassee..δεν μπορω να βγαλω ακρη...
το πρωτο οριο το χ->2
το δευτερο το χ->1
το τριτο χ->+00

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[aris-bas]

παιδια ζητω και γω απεγνωσμενα βοηθειααα......
να βρεθουν τα α,β ε R ωστε:





το ξερω ειναι πολλα αλλα ειμαι απελπισμενος..τα δοκιμασα ολα και δεν καταφερα κανενα..

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vimaproto]

View attachment 55095

View attachment 55096

View attachment 55097
Γεια σας..προσπαθω εδω και πολλες ωρες τις παραπανω ασκησεις....οποιος μπορει ας βοηθησει..pleassee..δεν μπορω να βγαλω ακρη...
το πρωτο οριο το χ->2
το δευτερο το χ->1
το τριτο χ->+00

3) Διαιρώ τους όρους του κλάσματος με χ² και αντικαθιστώντας το χ με +οο προκύπτει και κλπ

2) Ονομάζω το κλάσμα φ(χ) και χ²+αχ+β=|χ-1|φ(χ) και λαμβάνοντας το όριο παίρνω 1+α+β=0.limφ(χ) ==> 1+α+β=0 ==> β=-α-1 και ο αριθμητής γίνεται χ²+αχ-1-α=(χ-1)(χ+1+α) και το κλάσμα Από δω και πέρα κάτι λείπει στα δεδομένα για να βρω τον α και στη συνέχεια τον β. Η συνέχεια δική σου

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[*Serena*]

πως αποδεικνύω ότι η αντιστροφη μιας συνεχούς και παραγωγισιμης συνάντησης είναι συνεχης και παραγωγισιμη?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

πως αποδεικνύω ότι η αντιστροφη μιας συνεχούς και παραγωγισιμης συνάντησης είναι συνεχης και παραγωγισιμη?

Αυτό δεν ισχύει. Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 τότε η αντίστροφή της f-1 δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμη στο f(x0). Συγκεκριμένα ισχύουν οι εξής προτάσεις:

1) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο x0 τότε η f-1 είναι συνεχής στο f(x0)
2) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0) διάφορο 0 τότε η f-1 είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) με (f-1)΄(f(x0))=1/f΄(x0)
3) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0)=0 τότε η f-1 δεν είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) και η γραφική παράσταση της f-1 έχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο σημείο (f(x0),x0) την ευθεία x=f(x0)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[*Serena*]

Αυτό δεν ισχύει. Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 τότε η αντίστροφή της f-1 δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμη στο f(x0). Συγκεκριμένα ισχύουν οι εξής προτάσεις:

1) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο x0 τότε η f-1 είναι συνεχής στο f(x0)
2) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0) διάφορο 0 τότε η f-1 είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) με (f-1)΄(f(x0))=1/f΄(x0)
3) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0)=0 τότε η f-1 δεν είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) και η γραφική παράσταση της f-1 έχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο σημείο (f(x0),x0) την ευθεία x=f(x0)

η παραγωγός της αντίστροφης στο (2) που λες γιατί είναι έτσι?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

η παραγωγός της αντίστροφης στο (2) που λες γιατί είναι έτσι?

https://methodikoedu.gr/files/3713/2197/3319/_.pdf

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[*Serena*]

κατάλαβα... ας μου δώσει ο θεός εμπνευση!!! ευχαριστώ πάντως

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=SQRT((x^2)+1)+αx-b με πεδίο ορισμού το Α=R. Για x>0 η f γράφεται ισοδύναμα:
f(x)=SQRT[(x^2)(1+(1/(x^2))]+αx-b=x*SQRT(1+(1/(x^2))+x(α-(b/x))=x*[SQRT(1+(1/(x^2))+α-(b/x)]

Είναι lim(x->+oo)+oo και lim(x->+oo)[SQRT(1+(1/(x^2))+α-(b/x)]=α+1
Επειδή lim(x->+oo)((x^2)+1)=lim(x->+oo)(x^2)=+oo τότε lim(x->+oo)SQRT((x^2)+1)=+oo

(α) Αν α=0 τότε f(x)=SQRT((x^2)+1)-b. Επειδή lim(x->+oo)SQRT((x^2)+1)=+oo τότε lim(x->+oo)f(x)=+oo
(β) Αν α>0 τότε επειδή lim(x->+oo)(αx-b)=lim(x->+oo)(αx)=+oo είναι lim(x->+oo)f(x)=+oo
(γ) Αν -1<α<0 τότε α+1>0 και συνεπώς lim(x->+oo)f(x)=+oo
(δ) Αν α<-1 τότε α+1<0 και συνεπώς lim(x->+oo)f(x)=-oo

(ε) Αν α=-1 τότε f(x)=SQRT((x^2)+1)-x-b. Για x>|b| η f γράφεται ισοδύναμα ως εξής:
f(x)=SQRT((x^2)+1)-x-b=SQRT((x^2)+1)-(x+b)=[(x^2)-1-((x+b)^2)]/[SQRT((x^2)+1)+(x+b)]=[-2bx+1-(b^2)]/[SQRT((x^2)+1)+x+b]
f(x)=[-2b+((1-(b^2))/x)]/[SQRT(1+(1/(x^2)))+1+(b/x)]

Επομένως lim(x->+oo)f(x)=(-2b+0)/(1+1+0)=(-2b)/2=-b

Συνοψίζοντας η μοναδική περίπτωση το όριο lim(x->+oo)f(x) να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός είναι για α=-1. Άρα α=-1 και lim(x->+oo)f(x)=-b=2 => b=-2

Άρα α=-1 και b=-2. Ο τύπος της f είναι f(x)=SQRT((x^2)+1)-x+2.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.