Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Jonas · 2013-09-25T18:10:03+0300

Αρχική Δημοσίευση από Unforgiven21:
παιδια οποιος ξερει ας μου λυσει τα παρακατω

να βρειτε το μηγαδικο z αν ισχυει: z^2 - 2zi -1 +2i = 0

Σε τέτοιες ασκήσεις, αντικαθιστούμε πάντα τον μιγαδικό με x+yi, όπου x,y πραγματικοί. Τροποποιούμε την εξίσωση κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να έχουμε στο αριστερό μέλος μία παράσταση και στο δεξί το 0 και παίρνουμε τελικά το πραγματικό μέρος του αριστερού μέλους να είναι ίσο με 0, το ίδιο και για το φανταστικό, λύνοντας το σύστημα που προκύπτει ως προς x,y. Η λύση:

Βλα · 2013-09-25T19:29:51+0300

Αρχική Δημοσίευση από Jonas:
Σε τέτοιες ασκήσεις, αντικαθιστούμε πάντα τον μιγαδικό με x+yi, όπου x,y πραγματικοί. Τροποποιούμε την εξίσωση κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να έχουμε στο αριστερό μέλος μία παράσταση και στο δεξί το 0 και παίρνουμε τελικά το πραγματικό μέρος του αριστερού μέλους να είναι ίσο με 0, το ίδιο και για το φανταστικό, λύνοντας το σύστημα που προκύπτει ως προς x,y. Η λύση:

Το "πάντα" δεν ισχύει πάντα

Για παράδειγμα σε αυτήν την άσκηση μπορούσες να κερδίσεις χρόνο βγάζοντας κοινό παράγοντα το -2i και με το υπόλοιπο z²-1 εκτελώντας τη διαφορά τετραγώνων προκύπτει: -2i(z-1) + (z-1)(z+1)= (z-1)(z+1-2i) και έχει ήδη λυθεί.

Εδώ βέβαια ήταν μικρό το κακό, αλλά μπορεί να βρεθείς σε άσκηση που το θέσιμο θα σε οδηγήσει σε πολλές πράξεις.
Γενικότερα, πιστεύω ότι το να θέτεις είναι ο χειρότερος τρόπος λύσης. Εγώ τουλάχιστον το χρησιμοποιούσα μόνο όταν δεν είχα τίποτα άλλο να κάνω, σαν τελευταία επιλογή.

Jonas · 2013-09-25T20:18:01+0300

Αρχική Δημοσίευση από Βλα:
Το "πάντα" δεν ισχύει πάντα

Για παράδειγμα σε αυτήν την άσκηση μπορούσες να κερδίσεις χρόνο βγάζοντας κοινό παράγοντα το -2i και με το υπόλοιπο z²-1 εκτελώντας τη διαφορά τετραγώνων προκύπτει: -2i(z-1) + (z-1)(z+1)= (z-1)(z+1-2i) και έχει ήδη λυθεί.

Εδώ βέβαια ήταν μικρό το κακό, αλλά μπορεί να βρεθείς σε άσκηση που το θέσιμο θα σε οδηγήσει σε πολλές πράξεις.
Γενικότερα, πιστεύω ότι το να θέτεις είναι ο χειρότερος τρόπος λύσης. Εγώ τουλάχιστον το χρησιμοποιούσα μόνο όταν δεν είχα τίποτα άλλο να κάνω, σαν τελευταία επιλογή.

Σ΄ευχαριστώ! Θα το έχω υπόψη.

Maria_Spring · 2013-09-26T10:56:22+0300

Μπορεί κανείς να μου δώσει ένα χεράκι βοηθείας; Βρίσκομαι στην παράγραφο της αντίστροφης συνάρτησης και ο καθηγητής μου μας έδωσε κάτι δύσκολες ασκήσεις. Το σκεπτικό της λύσης θέλω μόνο! :worry:

1)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 1/x και h(x) =1/ x+2 με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ = (0, + άπειρο)
α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε f o g = h
β) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε φ o f = h

2) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει (f o f) (x) + x = 0 για κάθε x ε R (1)
Να αποδειχτεί ότι: I) η f είναι συνάρτηση 1-1
ΙΙ) η f δεν είναι γνησίως μονότονη
ΙΙΙ) η f είναι περιττή
ΙV) f(0) = 0

:hmm:

Ευχαριστώ προκαταβολικά!

nPb · 2013-09-26T11:07:54+0300

Αρχική Δημοσίευση από Maria_Spring:
1)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 1/x και h(x) =1/ x+2 με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ = (0, + άπειρο)
α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε f o g = h
β) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε g o f = h

ΛΥΣΗ- ΥΠΟΔΕΙΞΗ

1). Πρέπει να καταλάβεις ότι η σύνθετη συνάρτηση σημαίνει ότι:

(fog)(x)=f(g(x)) ---> το οποίο και σημαίνει: ότι το x της f είναι το g(x)

οπότε f(g(x))=h(x) => 1/g(x) = 1/ x+2 και με πράξεις βγαίνει η g(x)

(έκανα αντικατάσταση όπου x το g(x) για την f, δηλαδή, f=1/g)

όντως η g είναι εκείνη η συνάρτηση που ικανοποιεί την συνθήκη (ισότητα) που θέλουμε: fog=h (να κάνεις επαλήθευση πάντα)

Y.Γ. Στο (β) εννοείς να βρεθεί μια συνάρτηση g και όχι φ, έτσι; Το διόρθωσα στο post σου. Στο χρόνο που έχω θα σου απαντήσω και τη δεύτερη άσκηση.

nPb · 2013-09-26T11:28:44+0300

Σημαντική κατανόηση:

Μετάφραση του πεδίου ορισμού: Τι σημαίνει διάστημα Δ=(0,+οο)

το διάστημα Δ εξαιρεί τιμές που "καταστρέφουν" την f και h

σημαίνει ότι οι δυο συναρτήσεις παίρνουν όλες τις τιμές του IR αρχομένου του μηδενός 0, πλην του μηδενός 0, δηλ., το x δεν μπορεί να είναι μηδέν, που σημαίνει ότι τα χ παίρνουν τιμές από και 1,2,3,..., +οο

μάλιστα η f=1/χ δεν μπορεί να οριστεί για x=0 (προσοχή αυτό!!!): διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται

(η συνάρτηση h=1/χ+2 δεν μπορεί να οριστεί για χ= -2, γιατί οδηγούμαστε πάλι σε χ=0, βέβαια το διάστημα Δ δεν περιέχει αρνητικές τιμές, ουσιαστικά εξαιρεί τιμές που "καταστρέφουν" την h, όπως το χ= -2)

vasnik · 2013-09-26T16:58:44+0300

Στην δευτερη που θελει g(f(x)) δοκιμασε αυτο
g(1/x)= 1/(x+2) θετω 1/χ= ω (1) <=> x=1/ω (2)
<= μεσω της (1), (2)=> g(ω) = 1/(1/ω+2) <=> g(ω)= 1/[ (1+2ω)/ω]<=>
g(ω)=ω/(1+2ω)
αρα, g(x)=x/(1+2x)

Maria_Spring · 2013-09-27T09:59:23+0300

Ναι δίκιο έχεις, την ζητάει την φ(x) Συγγνώμη τυπογραφικό λάθος βιασύνης!
Σας ευχαριστώ όλους θερμά για τις απαντήσεις σας!

panabarbes · 2013-09-27T15:27:18+0300

Αρχική Δημοσίευση από Maria_Spring:
Μπορεί κανείς να μου δώσει ένα χεράκι βοηθείας; Βρίσκομαι στην παράγραφο της αντίστροφης συνάρτησης και ο καθηγητής μου μας έδωσε κάτι δύσκολες ασκήσεις. Το σκεπτικό της λύσης θέλω μόνο!

1)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 1/x και h(x) =1/ x+2 με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ = (0, + άπειρο)
α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε f o g = h
β) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε φ o f = h

2) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει (f o f) (x) + x = 0 για κάθε x ε R (1)
Να αποδειχτεί ότι: I) η f είναι συνάρτηση 1-1
ΙΙ) η f δεν είναι γνησίως μονότονη
ΙΙΙ) η f είναι περιττή
ΙV) f(0) = 0

Ευχαριστώ προκαταβολικά!

Θα σου απαντήσω για την δεύτερη άσκηση, δεν ξέρω αν σε πρόλαβα...

Ι) Από την δοσμένη σχέση ισχύει ότι: (fof)(x) + χ=0 <=> (fof)(x)=-x (1)

Επομένως για κάθε χ1,χ2 ε R με f(x1)=f(x2) => f(f(x1))=f(f(x2)) => (fof)(x1)=(fof)(x2) και λόγω της (1) : -x1=-x2 => x1=x2. Άρα η f είναι ''1-1''

ΙΙ) Υπάρχουν διάφορες λύσεις σε αυτό, σου παραθέτω αυτήν που χρησιμοποιούσα εγώ:

Έστω ότι η f είναι γν. αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της. Τότε:
Για x1<x2 => f(x1)<f(x2) => f(f(x1))<f(f(x2)) και,λόγω της (1), -x1<-x2 => x1>x2,άτοπο, αφού υποθέσαμε ότι x1<x2
Όμοια δουλεύουμε και στην περίπτωση της γν. φθίνουσας. Επομένως, η f δεν διατηρεί μονοτονία.

ΙΙΙ)Εφόσον xεR, θέτοντας όπου x το f(x) έχουμε: (fof)(f(x))+f(x)=0 => f(f(f(x)))=-f(x) => f((fof)(x))=-f(x) και λόγω της (1) : f(-x)=-f(x). Φυσικά ισχύει και η πρώτη προυπόθεση, δηλαδή ότι για κάθε xεR και το -xεR,αφού το πεδίο ορισμού είναι το R. Επομένως, η f είναι περιττή.

ΙV) Εφόσον η f είναι περιττή, ισχύει: Για κάθε xεR και το -xεR. Επίσης, ισχύει ότι:
f(-x)=-f(x). Θέτοντας όπου x το 0, παίρνουμε: f(0)=-f(0) => 2f(0)=0 => f(0)=0

Guest 018946 · 2013-09-27T16:18:53+0300

Αρχική Δημοσίευση από nPb:
Σημαντική κατανόηση:

Μετάφραση του πεδίου ορισμού: Τι σημαίνει διάστημα Δ=(0,+οο)

το διάστημα Δ εξαιρεί τιμές που "καταστρέφουν" την f και h

σημαίνει ότι οι δυο συναρτήσεις παίρνουν όλες τις τιμές του IR αρχομένου του μηδενός 0, πλην του μηδενός 0, δηλ., το x δεν μπορεί να είναι μηδέν, που σημαίνει ότι τα χ παίρνουν τιμές από και 1,2,3,..., +οο

μάλιστα η f=1/χ δεν μπορεί να οριστεί για x=0 (προσοχή αυτό!!!): διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται

(η συνάρτηση h=1/χ+2 δεν μπορεί να οριστεί για χ= -2, γιατί οδηγούμαστε πάλι σε χ=0, βέβαια το διάστημα Δ δεν περιέχει αρνητικές τιμές, ουσιαστικά εξαιρεί τιμές που "καταστρέφουν" την h, όπως το χ= -2)

έχεις μεταδοτικοτητα δενν

patben · 2013-09-27T17:20:59+0300

Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z
${(3-2i)}^{2}z+{(1+i)}^{6}+(1-i)z=45-3i$

nPb · 2013-09-27T17:49:42+0300

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
έχεις μεταδοτικοτητα δενν

μίλα καθαρά

chester20080 · 2013-09-27T17:55:17+0300

Αρχική Δημοσίευση από patben:
Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z
${(3-2i)}^{2}+{(1+i)}^{6}+(1-i)z=45-3i$

Δεν έχει κάτι το ιδιαίτερο,κάνεις τις πράξεις και βρίσκεις z=23/2 + 57i/2...Το μόνο που πρέπει να προσεχθεί είναι το (1+[i)^6=[(1+i)^2]^3=(2i)^3=-8i.
Ώπα,δεν είδα που πρόσθεσες το z στον πρώτο όρο!Περίμενε...

panabarbes · 2013-09-27T18:00:59+0300

Αρχική Δημοσίευση από patben:
Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z
${(3-2i)}^{2}z+{(1+i)}^{6}+(1-i)z=45-3i$

Αρχική Δημοσίευση από chester20080:
Δεν έχει κάτι το ιδιαίτερο,κάνεις τις πράξεις και βρίσκεις z=23/2 + 57i/2...Το μόνο που πρέπει να προσεχθεί είναι το (1+[i)^6=[(1+i)^2]^3=(2i)^3=-8i.

Προτού κάνει την διόρθωση, βρήκα το ίδιο αποτέλεσμα με τον chester.
Μετά την διόρθωση, πήγε ως εξής: (κάνε τον πολλαπλασιασμό με τον συζυγή,δεν το τελείωσα)

chester20080 · 2013-09-27T18:06:38+0300

@panabarbes
Ναι και εμένα τώρα τόσο μου βγήκε.Βγαίνει τελικά ως δια μαγείας μετά τις πράξεις z=1+3i!

patben · 2013-09-27T21:17:01+0300

Ευχαριστώ πολύ παιδιά, έκανα λάθος με τις πράξεις και μου έβγαινε συνέχεια λάθος.

dimidimi · 2013-09-28T18:44:50+0300

Μια μικρή βοήθεια γιατί εχω κολλήσει! Κεφαλαιο-μιγαδικοι! Αν ο z κινειται πανω σε μια ευθεια (ε1): x-y+1=0 kai w=2-i(z-1)
a) ν.δ.ο. ο w κινειται σε ευθεια, κάθετη στην (ε1).
Καμιά ιδέα?

dimidimi · 2013-09-28T19:10:11+0300

Καμιά βοήθεια?

chester20080 · 2013-09-28T19:20:32+0300

Αρχική Δημοσίευση από dimidimi:
Μια μικρή βοήθεια γιατί εχω κολλήσει! Κεφαλαιο-μιγαδικοι! Αν ο z κινειται πανω σε μια ευθεια (ε1): x-y+1=0 kai w=2-i(z-1)
a) ν.δ.ο. ο w κινειται σε ευθεια, κάθετη στην (ε1).
Καμιά ιδέα?

Τώρα αν θυμάμαι καλά γιατί έχω ψιλοσκουριάσει...
Έστω z=α+βi,w=χ+ψi.Τότε αφού ο z κινείται στην ε1 ισχύει α-β+1=0<=>α-β=-1 (1)
Αντικαθιστώ στη σχέση w=2-i(z-1) τα w,z, κάνω τις πράξεις και από ισότητα μιγαδικών προκύπτει (λύνοντας ως προς α,β):β=χ-2 και α=1-ψ.Αφαιρώ κατά μέλη και από (1) συνεπάγεται ότι -1=1-ψ-χ+2<=>(ε2)ψ=-χ+4.Αν λ1 ο συντελ. διεύθ. της ε1 και λ2 της ε2 τότε ισχύει λ1*λ2=-1*1=-1 άρα οι δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους.

rebel · 2013-09-28T19:26:57+0300

Αν $z=a+bi$ τότε επειδή ο z κινείται στην συγκεκριμένη ευθεία, θα ισχύει $b=a+1$ . Άρα $z=a+(a+1)i$ οπότε αντικαθιστώντας στην έκφραση του w προκύπτει $w=(3+a)+(1-a)i$ . Αν $w=x+yi$ τότε

$\left. \begin{matrix}x=3+a \\ y=1-a \end{matrix} \right \}$

Η απαλοιφή του α γίνεται εύκολα με πρόσθεση κατά μέλη και έτσι παίρνουμε $x+y=4 \Rightarrow x+y-4=0$ . Η ευθεία με την εξίσωση αυτή είναι προφανώς κάθετη στην ευθεία που κινείται ο z αφού το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης είναι -1.
Εdit:Με πρόλαβαν, το αφήνω για τον κόπο.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Συνημμένα

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος